Funksiyaning differensiali


Download 178.99 Kb.
Pdf ko'rish
Sana24.04.2020
Hajmi178.99 Kb.
#101217
Bog'liq
1. Funksiyaning differensiali


Funksiyaning differensiali 

)

(x



f

y

  funksiyaning  differensiali  deb,  uning  orttirmasining  erkli 



o’zgaruvchi   ning orttirmasiga nisbatan chiziqli bo’lgan bosh qismiga aytiladi. 

)

(x



f

y

  funksiyaning  differensiali 



dy

  bilan  belgilanadi.  Funksiyaning 

differensiali  uning  hosilasi  bilan  erkli  o’zgaruvchi  orttirmasining  ko’paytmasiga 

teng: 


x

x

f

dy



)

(

'



    yoki      

x

y

dy



'

Ravshanki, 



x

dx



. Shu sababli 

dx

x

f

dy

)

(



'

     yoki      



dx

y

dy

'



Differensial geometrik  jixatdan 

)

(x



f

y

  funksiya  grafigiga 



)

,

(



y

x

M

  nuqtada 

o’tkazilgan o’rinma ordinatasining orttirmasiga teng (20- shakl). 

Funksiyaning  differensiali 



dy

    uning 



y

  orttirmasidan 



x

  ga  nisbatan 



yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorga farq qiladi. 

 

1- shakl 



 

Agar 


)

(x



u

u

  va 



)

(x



v

v

  funksiyalar  differensiallanuvchi  bo’lsa,  u  holda  



differensialning  ta’rifi  va  differensiallash  qoidalaridan  bevosita  differensialning 

asosiy xossalariga ega bo’lamiz: 

1.  

,

0



)

(



C

d

 bunda S — o’zgarmas. 

2. 

.

)



(

Cdu

Cu

d



3. 

.

)



(

dv

du

v

u

d



. 

4. 

.

)



(

dv

du

v

u

d



 

5. 



,

)

(



2

v

udv

vdu

v

u

d



 bunda 

0



v

. 

6. 

.

)



(

'

'



)

(

'



)

(

du



u

f

dx

u

u

f

u

df





1-Misol. 



x

tg

y

2

4



 funksiya differensialini toping.  



Yechish. Oldin berilgan funksiyaning hosilasini topamiz: 

.

2



sec

2

8



2

cos


1

2

8



2

3

2



3

x

x

tg

x

x

tg

y



 

U holda 


xdx

2

xsec



2

tg

8



dy

2

3



)



(x

f

y

  funksiyaning  ikkinchi  tartibli  differensiali  deb  birinchi  tartibli 



differensialdan olingan differensialga aytiladi va 

)

(



2

dy

d

y

d

 



kabi belgilanadi. 

)

(x



f

y

 



funksiyaning 

n

tartibli 



differensiali 

neb 


)

1

(





n

-tartibli 

differensialdan olingan differensialga aytiladi, ya’ni: 

).

(



1

y

d

d

y

d

n

n



 

)

(x



f

y

  funksiya  berilgan  bo’lib,  bunda    —  erkli  o’zgaruvchi  bo’lsa,  u 



holda uning yuqori tartibli differensiallari ushbu formulalar bo’yicha hisoblanadi:  

.

,...,



'

'

'



,

"

)



(

3

3



2

2

n



n

n

dx

y

y

d

dx

y

y

d

dx

y

y

d



 

2-misol. 

)

1

(ln





x



x

y

 funksiyaning ikkinchi tartibli differensialini toping. 



Yechish.  Berilgan  funksiyaning  birinchi  va  ikkinchi  tartibli  hosilalarini 

topamiz: 

.

1

"



,

ln

1



1

ln

'



x

y

x

x

x

x

y





 

Demak, 



xdx

dy

ln



.

1



2

2

dx



x

y

d

 



Funksiyaning  dy   differensiali  uning  y

  orttirmasidan 



dx

x



  ga  nisbatan 

yuqori tartibli cheksiz kichik miqdorga farq qiladi, shu sababli 



dy

y



 yoki 

,

)



(

'

)



(

)

(



x

x

f

x

f

x

x

f





 

bundan 


,

)

(



'

)

(



)

(

x



x

f

x

f

x

x

f





 

formulaga ega bo’lamiz, bu formula funksiya qiymatlarini taqribiy hisoblashlarda 

ko’llaniladi. 

3-misol. 

15

,



0

arcsin


 ning takribiy qiymatini hisoblang. 

Yechish

x

y

arcsin


  funksiyani  qaraymiz: 

15

,

0





x

01



,

0





x

  deb  olib  va 



x

x

x

x

x





)'

(arcsin


arcsin

)

arcsin(



  formuladan foydalanib topamiz: 

.

534



.

0

011



.

0

6



01

.

0



5

.

0



1

1

5



.

0

arcsin



51

.

0



arcsin

2







 

Shunday qilib, 



534

,

0



15

,

0



arcsin

 radian. 



 

Teylor teoremasi (1685-1731y., ingliz matematigi). 

 

)



(x

f

y

  funksiya 



a

x

  nuqtani  o’z  ichiga  olgan  biror  oraliqda 



)

1

(





n

 

tartibgacha barcha hosillarga ega bo’lsa,  



 



 



1

1

2



)

(

)!



1

(

)



(

!

)



(

....


)

(

!



2

)

(



)

(

!



1

)

(



)

(

)



(

















n

n

n

n

a

x

n

a

x

a

f

a

x

n

a

f

a

x

a

f

a

x

a

f

a

f

x

f

 



formula o’rinli bo’ladi, bunda 

1

0



,



  bo’lgan  son. Bu  formulaga  qoldiq  hadi, 



Langranj formasida 

 






1

1

)



!

1

)



(







n



n

n

a

x

n

a

x

a

f

x

R

 



bo’lgan, Teylor formulasi deyiladi. Teylor formulasida 

0



a

 bo’lsa, 

 

 


1

1

2



)!

1

(



)

(

!



)

0

(



...

!

2



)

0

(



!

1

)



0

(

)



0

(

)



(











n

n

n

n

x

n

x

f

x

n

f

x

f

x

f

f

x

f

 



formula hosil bo’ladi. Bunga Makloren formulasi deyiladi. 

Teylor  va  Makloren  formulalari  funksiyalrni 



x

  ning  darajalari  bo’yicha 

yoyishda va taqribiy hisoblashlarda katta ahamiyatga ega.  

1-misol.  Ushbu 

 


1

3

2





x



x

f

funksiya 



1



;

1



  intervalning  ichki 

0



x

 

nuqtasida  o’zining  eng  kichik  qiymatiga  erishsa  ham,  bu  funksiya  uchun  Ferma 



teoremasining xulosasi o’rinli emas. Shuni ko’rsating. 

Yechish. Berilgan funksiya 

0



x

 nuqtada o’zining eng kichik qiymatiga 

erishadi. Biroq funksiya shu 

0



x

 nuqtada chekli hosilaga ega emas. Bu ushbu 

 

   


3

3

2



1

0

0



x

x

x

x

f

x

f

x

f









 

nisbatning 

0





x

 da chekli limitga ega emasligidan kelib chiqadi. 

Demak, Ferma teoremasining sharti bajarilmaydi. Binobarin, teoremaning 

xulosasi o’rinli emas. 



2-misol.  Ushbu 

 


3

2





x

x

f

  funksiya  [-1;  2]  segmentda  Lagranj 

teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi? 

Yechish. Ravshanki, berilgan funksiya [-1; 2] segmentda uzluksiz va 



2

;

1



 

intervalda 



 

x

x

f

2



 xosilaga ega. 

Demak, 

 


3

3





x

x

f

  funksiya  [-1;  2]  segmentda  Lagranj  teoremasiga  ko’ra 

shunday s nuqta (-1 < c < 2) topiladiki, 

   


 

 


c

c

f

f

f

2

1



2

1

2







 

bo’ladi. Keyingi tenglikdan 

2

1



c

 ekanini topamiz. 



Yuqori  tartibli  hosilalar. 

)

(x



f

y

  funksiyaning  ikkinchi  tartibli  hosilasi 



deb,  uning   hosilasidan  olingan  hosilaga,  ya’ni 

)

(





y

  ga  aytiladi.  Ikkinchi  tartibli 

hosila quyidagilarning biri bilan belgilanadi:               

2

2

/



),

(

,



dx

y

d

x

f

y







)

(x



f

y

 funksiyaning 



n

-tartibli hosilasi deb uning 

)

1

(





n

 tartibli hosilasidan 

olingan  hosilaga  aytiladi  va  quyidagilarning  biri  bilan  belgilanadi 

)

(n



y

,   


)

(

)



(

x

f

n



n



n

dx

y

d

/

.  



Ta’rifga ko’ra 

 




)

1

(



)

(

n



n

y

y

.

 



1-misol. 

3

2



)

7

2



(



x

y

 funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini toping. 



Yechish. 



2

2

2



2

2

2



2

3

2



)

7

2



(

12

4



)

7

2



(

3

)



7

2

(



)

7

2



(

3

)



7

2

(













x

x

x

x

x

x

x

y







).

7

10



)(

7

2



(

12

)



8

7

2



)(

7

2



(

12

4



)

7

2



(

2

)



7

2

(



12

)

7



2

(

)



7

2

(



12

)

7



2

(

12



)

(

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2

2

2



2





















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

y

 

Demak,



)

7

10



)(

7

2



(

12

2



2





x



x

y



2-misol



n

x

y

 



 

funksiyaning 



n

tartibli hosilasini toping. 



Yechish

1





n



nx

y

2



)

1

(





x

n

x

n

n

y

,  


3

)

2



)(

1

(








n

x

n

n

n

y





x



n

n

n

n

x

n

n

n

n

n

n

y

x

n

n

n

n

y

n

n

n

n

2

...



)

3

)(



2

)(

1



(

)

2



(

...


)

3

)(



2

)(

1



(

,

....



,

)

3



)(

2

)(



1

(

)



1

(

)



1

(

4



)

4

(















 

!



1

2

3



...

)

3



)(

2

(



1

(

)



(

n

n

n

n

n

y

n





 



)

!

(n



 

1

 dan 



n

 gacha bo’lgan sonlar ko’paytmasining qisqa yozilishi). 



 

Download 178.99 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling