Funksiyaning hosilasi va differensiali


Download 243.95 Kb.
bet1/10
Sana02.04.2022
Hajmi243.95 Kb.
#622484
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
6-mavzu. FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI
5 маъруза хосмас интеграллар Чегаралари чексиз хосмас интегралл, DOC-20181023-WA0022, худойберганов, 01, aniq integ..., KO\'FN dan test, 1212, Algebra va analiz asoslarini faoliyatli yondashuv asosida oqitishda oquv masalaridan foydalanish metodikasi, Algebra va sonlar nazariyasi узб 200та (1курс), Mavzu, 33-8 3210 xat vazirlik, 1-semestr geom, @ilmuziyo2010 QMII, @ilmuziyo2010 Irrigatsiya Qarshi filial

FUNKSIYANING HOSILASI VA DIFFERENSIALI


Funksiyaning hosilasi va differensiali tushunchalari matematik analiz-ning fundamental tushunchalaridandir.
Biz ushbu bobda funksiya hosilasi va differensiali tushunchalari bilan tanishamiz, funksiyalarning hosilasi va differensialini hisoblashni, shuningdek, differensial hisobning asosiy teoremalarini o’rganamiz.
1 – §. Funksiyaning hosilasi.
10. Funksiya hosilasining ta’rifi. Faraz qilaylik, y f (x)funksiya
(a,b) intervalda berilgan, x0 (a,b) , (x0  x)(a,b) bo’lsin.
Ma’lumki,
y  f (x0)  f (x0  x) f (x0)
funksiya orttirmasi muayyan funksiya va x0 nuqtalarda xga bog’liq bo’ladi.
1 – ta’rif. Agar
lim y lim f (x0 x) f (x0)
x0 x x0 x
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyanig x0 nuqtadagi hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi odatada,
dy

f (x0) yoki yxx0 , yoki dx x x0
belgilar yordamida yoziladi.
Demak,
f (x0)  limx0 yx  limx0 f (x0  xx)  f (x0)
Bunda x0 x x deb olaylik, unda x xx0 va x 0 da x x0 bo’lib, natijada
lim y  lim f (x0  x) f (x0)  lim f (x) f (x0)
x0 x x0 x x0 xx0
bo’ladi. Demak, f (x) funksiyanig x0 nuqtadagi hosilasi x x0 da
f (x) f (x0)

xx0
nisbatning limiti sifatida ham ta’riflanishi mumkin:
f (x0)  limx0 f (xx)xf0(x0) . (6.1)
Ravshanki, f (x) funksiya (a,b)intervalning har bir x nuqtasida hosilaga ega bo’lsa, bu hosila x o’zgaruvchining funksiyasi bo’ladi. Misollar qaraylik.

  1. f (x)  C const funksiya uchun, y  0

lim y  0
x0 x
bo’lib, y  0 bo’ladi.

  1. f (x)  x funksiya uchun y  x

lim y  lim x 1
x0 x x0 x
bo’lib, y 1 bo’ladi.

v) f (x)  x funksiya uchun x0  0 nuqtada y  x bo’lib,

lim y  lim x
x0 x x0 x
limit mavjud bo’lmaydi. Demak, bu funksiya x0  0 nuqtada hosilaga ega emas.
6.1−misol. f (x)  ex funksiyaning x 1 nuqtadagi hosilasi topilsin.
Funksiya hosilasining (6.1) ta’rifidan foydalanib, topamiz:
y  lim ex e  lim et1 e elim et 1  elnee.
x 1 x1 x 1 t0 t t0 t
Demak, (ex)x1 e.
6.2–misol. f (x)  ln x ( x  0 ) funksiyaning ixtiyoriy x  0 nuqtadagi hosilasi hisoblansin.
Berilgan funksiyaning x nuqtadagi orttirmasi
y  ln(x  x) ln x  ln1 x , (x  0)
x
bo’lib,
x
y 1  x  1  x x
 ln1   ln1 
x x x x x
bo’ladi. Ma’lumki,
x
limln1 x x 1 x0  x
(qaralsin 5−bob). Unda lim y 1 limit o’rinli bo’ladi. Demak, (ln x)  1 x0 x x x
.
6.3–misol. f (x)  cos x funksiyaning ixtiyoriy xR nuqtadagi hasilasi hisoblansin.
Bu funksiya uchun
x x
y cos( xx )cosx2sin( x )sin
2 2
bo’lib,
sin x
lim y  lim sin(x x) lim 2 sin x
x0 x x0 2 x0 x
2
bo’ladi. Demak, (cosx)  sin x (xR).

6.4–misol. f (x)  x (x  0) funksiyaning x(0,) nuqtadagi hosi-lasi topilsin.
Bu funksiyaning hosilasi x o’zgaruvchining ushbu
y  lim x  x x  lim 1  1
x0 x x0 x  x x 2 x
funksiya bo’ladi.
2−ta’rif. Agar
lim y  lim f (x0  x)  f (x0)
x0 x x0 x
 lim y  lim f (x0  x)  f (x0) 

x0 x x0 x
mavjud va chekli bo’lsa, bu limit f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi deb ataladi. Funksiyaning x0 nuqtadagi o’ng (chap) hosilasi f (x0  0) ( f (x0 0) ) kabi belgilanadi.


Odatda funksiyaning o’ng va chap hosilalari bir tomonli hosilalar deb ataladi. Masalan, f (x)  x funksiya uchun lim y 1 , lim y  1 bo’ladi.
x0 x x0 x

Demak, f (x)  x funksiyaning x  0 nuqtadagi o’ng hosilasi 1 ga, chap hosilasi 1 ga teng.
y
1−eslatma. Agar x 0 da nisbatning limiti aniq ishorali
x
cheksiz bo’lsa, uni ham f (x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi deb yuritiladi. Bunday holda f (x)funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi  (yoki -) ga teng deyiladi.
20. Hosilaning geometrik va mexanik ma’nolari.
a). Hosilaning geometrik ma’nosi. f (x) funksiya (a, b) intervalda uzluksiz bo’lib, x0 (a, b) nuqtada f (x0) hosilaga ega bo’lsin:
f (x0)  limx0 f (x0  xx)  f (x0) .
f (x) funksiyaning garafigi biror Г chiziqni ifodalasin deylik. (30chizma).
Endi Г chiziqqa uning M0(x0, f (x0)) nuqtasida urinma o’tkazish masalasini qaraymiz.

Г chiziqda M0 nuqtadan farqli M(x0 x, f (x0 x)) nuqtani olib, bu nuqtalar orqali  kesuvchi o’tkazamiz.  kesuvchining OX o’qi bilan tashkil etgan burchagini  bilan belgilaylik. Ravshanki,  burchak x ga bog’liq bo’ladi:  (x).
Agar  kesuvchining M nuqta Г chiziq bo’ylab M0 ga intilgandagi (ya’ni x 0 dagi) limit holati mavjud bo’lsa, kesuvchining bu limit holati Г chiziqqa M0 nuqtada o’tkazilgan urinma deb ataladi. Urinma – to’g’ri chiziqdan iborat.
Ma’lumki, M0 nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq M0 nuqtaning koor-dinatalari hamda bu chiziqning burchak koeffitsienti orqali to’liq aniqlanadi. f (x) funksiya grafigiga M0 nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud bo’lishi uchun
lim (x) 
x0
limitning mavjudligini lo’rsatish yetarli, bunda  urinmaning OX o’q bilan tashkil etgan burchagi. MM0P dan
MP y f (x0  x) f (x0)

tg (x)    , M0P x x
bundan esa
f (x0 x) f (x0)
 (x)  arctg
x
bo’lishini topamiz. u arctgt funksiyaning uzluksizligidan foydalansak,
f (x0  x)  f (x0)
lim  (x)  lim arctg
x0 x0 x

arctglimx0 f (x0  xx)  f (x0)arctgf (x0) 
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, lim (x) mavjud va
x0
 lim (x)  arctg f (x0)
x0
bo’ladi. Keyingi tenglidan
f (x0 )  tg
bo’lishini topamiz. Shunday qilib, f (x) funksiya x0 (a,b) nuqtada f (x0 ) hosilaga ega bo’lsa, bu funksiya grafigiga M 0 (x0 , f (x0 )) nuqtada o’tkazilgan urinma mavjud. Funksiyaning x0 nuqtasidagi hosilasi f (x0 ) esa bu urinmaning burchak koeffitsientini ifodalaydi. urinmaning tenglamasi esa ushbu y f (x0)  f (x0)(x x0)
ko’rinishda bo’ladi.
b). Hosilaning mexanik ma’nosi. Moddiy nuqtaning harakati s f (t) qoida bilan ifodalangan bo’lsin, bunda t vaqt, s shu vaqt
ichida o’tilgan yo’l (masofa). Bu qonun bo’yicha harakat qilayotgan nuqtaning t0 momentdagi oniy tezligini topish masalasini qaraylik. t vaqtning t0 qiymati bilan birga t0 t (t 0) qiymatini ham olib, bu nuqtalarda s f (t) ning qiymatlarini topamiz. Moddiy nuqta t vaqt ichida
s f (t0  t) f (t0)
masofani o’tadi va uning [t0, t0 t] segmentdagi o’rtacha tezligis f (t0  t) f (t0)

t t
bo’ladi. t 0 da s nisbatning limiti moddiy nuqtaning t0
t
momentdagi oniy tezligi v ni ifodalaydi:
v  lim s  lim f (t0  t)  f (t0) .
t0 t t0 t
Hosila ta’rifiga ko’ra
limt0 f (t0  tt)  f (t0)  f (t0).
Demak, s f (t) funksiyaning t0 nuqtadagi hosilasi mexanik nuqtai
nazardan s f (t) qonun bilan harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t0 momentdagi oniy tezligini bildiradi.

Download 243.95 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling