F(x)=x+5π funksiyani [-π; π] oraliqda fur'ye qatoriga yoying

MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI
TOSHKENT AXBOROT TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI



“Algoritmlarni loyihalash”
fanidan

AMALIY TOPSHIRIQ

Mavzu: 2-amaliy topshiriq
Guruh: CAL010-2
Bajardi: Azizov Zafarbek
Tekshirdi: Ravshanov Anvar
TOSHKENT 2023

1. 
   Vazifa
   

f(x)=x+5π funksiyani [-π; π] oraliqda fur'ye qatoriga yoying.


Javob:

f(x) = a₀ + ∑[n=1 to ∞] (aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx))

Bu formulda a₀, aₙ, va bₙ - Fourier koeffitsiyentlaridir.

Biz f(x) = x + 5π funksiyasini yoyib berish uchun, koeffitsiyentlarni topishimiz kerak.

a₀ ni topish uchun, f(x) ni -π dan π gacha integrallaymiz va natijani π ga bo'lib 2π ga bo'lib bo'limaymiz:

a₀ = (1/π) ∫[-π to π] (x + 5π) dx

= (1/π) [x²/2 + 5πx] | [-π to π]
= (1/π) [(π²/2 + 5π²) - ((π²/2 - 5π²)]
= (1/π) [6π²]
= 6π

aₙ ni topish uchun, f(x) ni -π dan π gacha integrallaymiz, sin(nx) bilan ko'paytiramiz va natijani π ga bo'lib 2π ga bo'lib bo'limaymiz:

aₙ = (1/π) ∫[-π to π] (x + 5π) cos(nx) dx

= (1/π) [x sin(nx)/n + 5π sin(nx)/n²] | [-π to π]
= (1/π) [(π sin(nπ)/n + 5π sin(nπ)/n²) - ((-π sin(-nπ)/n + 5π sin(-nπ)/n²)]
= (1/π) [2π sin(nπ)/n + 10π sin(nπ)/n²]
= (2/n + 10/n²) sin(nπ)

bₙ ni topish uchun, f(x) ni -π dan π gacha integrallaymiz, cos(nx) bilan ko'paytiramiz va natijani π ga bo'lib 2π ga bo'lib bo'limaymiz:

bₙ = (1/π) ∫[-π to π] (x + 5π) sin(nx) dx

= (1/π) [-x cos(nx)/n - 5π cos(nx)/n²] | [-π to π]
= (1/π) [(π cos(nπ)/n + 5π cos(nπ)/n²) - ((-π cos(-nπ)/n + 5π cos(-nπ)/n²)]
= 0

Ushbu koeffitsiyentlarni topganimizga ko'ra, f(x)=x+5π funksiyasining Fourier qatori quyidagicha bo'ladi:

f(x) = 6π + ∑[n=1 to ∞] [(2/n + 10/n²) sin(nx)]

Bu formulada, a₀ = 6π va bₙ = 0 koeffitsiyentlari hisoblanadi.

Natijada, f(x) ni Fourier qatori quyidagicha bo’ladi: