Geyne-Borel lemmasi

Geyne-Borel lemmasi

Lemmas haqida

Geyne-Borel lemmasi (shuningdek, Borel-Lebeg lemmasi yoki chekli qoplama lemmasi) tahlilda asosiy rol o‘ynaydigan quyidagi faktdir:

Lemmas haqida

Haqiqiy chiziq segmentini qamrab oluvchi har qanday cheksiz intervallar tizimidan ushbu segmentni ham qamrab oluvchi chekli quyi tizimni tanlash mumkin.

Bu taklifni ko'p o'lchovli holatga umumlashtirish Geyne-Borel lemmasi deb ham ataladi

Geyne-Borel lemmasini umumiy holatda shakllantirish uchun biz qoplama tushunchasini kiritamiz.

Geyne-Borel lemmasini umumiy holatda shakllantirish uchun biz qoplama tushunchasini kiritamiz.

Toplamlar tizimi:

indeksi qandaydir A to'plamdan o'tsa, X to'plamning qoplami deyiladi, agar

Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami deyiladi.

Agar qoplamning bir qismi, masalan , - ning kichik to’plami, o'zi X to'plamining qoplamini tashkil qiladi, shunaqada - ning kichik qoplami deyiladi.

Lemma

fazoda X yopiq cheklangan to‘plam bo‘lsin. X to'plamini qamrab olgan har qanday ochiq to'plamlar tizimidan bo'lganda, X to'plamini ham qamrab oladigan chekli quyi tizimni ajratib ko'rsatishimiz mumkin.

Qisqacha aytganda, ular shunday deyishadi: fazosidagi yopiq chegaralangan to'plamning har bir ochiq qopqog'ida cheklangan pastki qopqoq mavjud. Qopqoq ochiq to'plamlardan iborat bo'lsa, ochiq deyiladi.

Isbot

Bu isbot Bolzano usuli (bisektsiya) bilan amalga oshiriladi va uyalangan segmentlar bo'yicha Koshi-Kantor lemmasiga asoslanadi. Ko'p jihatdan chegara nuqtasida Bolzano-Weierstrass lemmasining isbotiga o'xshaydi.

Isbot

Segment cheksiz intervallar tizimi bilan qoplansin. Faraz qilaylik, dan chekli oraliqlar berilgan segmentni qamrab olmaydi. segmentini ikkita teng segmentga boʻling: va .

Isbot

Ulardan kamida bittasini dan chekli intervalli quyi tizim qamrab olmaydi. Keling, uni deb nomlaymiz va buning uchun ikkiga bo'linish jarayonini takrorlaymiz.

Обозначим его и повторим для него процедуру деления пополам.

Isbot

Har bir bosqichda segmentlarni yarmiga bo'lishda davom etib, biz uzunligi nolga moyil bo'lgan ichki o'rnatilgan segmentlar ketma-ketligini olamiz, shunday qilib, bu ketma-ketlikning har bir segmentini dan chekli sonli intervallar bilan qoplab bo'lmaydi.

Isbot

Ammo agar segmentlar qisqarish nuqtasi bo'lsa, u holda segmentda yotganligi sababli, u tizimining qandaydir intervalga kiritilishi kerak .

Isbot

Keyin ketma-ketlikning barcha segmentlari, qaysidir sondan boshlab, oraliq bilan qoplanadi, bu esa ushbu segmentlarning tanlanishiga zid keladi. Olingan qarama-qarshilik Geyne-Borel lemmasining to'g'riligini isbotlaydi.