Hosilaning ba’zi qo’llanilishi


Download 71.43 Kb.
Sana18.06.2022
Hajmi71.43 Kb.
#765009
Bog'liq
MUNDARIJA
test simple present en answers, Milliy Goya usti, Referat mavzu Sohadagi faol va nofaol terminlar Buxoro 2021, oliy matematika, artni dinamik boginlarga bolish bogi, МҲХСга ўтиш бўйича чора тадбирлар Узб, 0iqGVteRfyUQ2GO6FcKB, documents uz, 6-taqdimot, Дуб, p45-z28, Chiziqli tenglamalar 1-mustaqil ishi, YADRO FIZIKASINIING TIBBIYOTDA QO\'LLANISHI POZITRON EMISSION TOMOGRAFIYA, 5-мавзу, 3 mavzu

MUNDARIJA


KIRISH
I. BOB. Hosilaning ba’zi qo’llanilishi
1.1. Hosilning tenglamalarni yechishda qo’llanilishi
2.1. Tengsizliklarni yechishda hosilaning qo’llanilishi
II. BOB.
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

KIRISH.
Maktab matematika kursida matematik tahlil elementlari muhim o'rin tutadi. Talabalar matematika, fizika, texnika fanlarining ko‘plab masalalarini yechishda samarali foydalanish mumkin bo‘lgan matematik apparatni o‘zlashtiradilar. Hosila va integralning tili tabiatning ko'plab qonunlarini qat'iy shakllantirish imkonini beradi. Matematika kursida differentsial va integral hisoblar yordamida funksiyalarning xossalari tekshiriladi, ularning grafiklari tuziladi, eng katta va eng kichik qiymatlar uchun masalalar yechiladi, maydonlar va hajmlar hisoblanadi. geometrik shakllar... Boshqacha qilib aytganda, yangi matematik apparatning joriy etilishi elementar usullar bilan yechilmaydigan bir qator masalalarni ko'rib chiqish imkonini beradi. Biroq, matematik tahlil usullarining imkoniyatlari bunday masalalar bilan cheklanmaydi.


Ko'pgina an'anaviy elementar masalalar (tengsizliklar, o'ziga xosliklarni isbotlash, tenglamalarni tadqiq qilish va yechish va boshqalar) hosila va integral tushunchalaridan foydalangan holda samarali yechiladi. Maktab darsliklari va o‘quv qo‘llanmalarida bu masalalarga kam e’tibor beriladi. Shu bilan birga, matematik tahlil elementlaridan nostandart foydalanish o‘rganilayotgan nazariyaning asosiy tushunchalarini chuqurroq anglash imkonini beradi. Bu erda muammoni hal qilish usulini tanlash, uni qo'llash shartlarini tekshirish va olingan natijalarni tahlil qilish kerak. Shunday qilib, ko'pincha rivojlanadigan kichik matematik tadqiqotlar mavjud mantiqiy fikrlash, matematik qobiliyatlari, matematik madaniyati ortib bormoqda.
Elementar matematikaning ko'pgina masalalari uchun ham "elementar" va "elementar bo'lmagan" echimlarga ruxsat beriladi. Hosil va integraldan foydalanish odatda yanada samaraliroq yechim beradi. Yangi matematik apparatning kuchi, go'zalligi va umumiyligini baholash mumkin bo'ladi.
Matematik tahlil usullari nafaqat qo'yilgan vazifalarni hal qilishda qo'llaniladi, balki elementar matematikaning yangi faktlarini olish manbai hisoblanadi.

1.1. Tenglamalarni yechishda hosiladan foydalanish.


Keling, hosila yordamida tenglama ildizlarining mavjudligi masalalarini qanday yechish va ayrim hollarda ularni topish mumkinligini ko'rsatamiz. Avvalgidek, bu erda asosiy rol funktsiyani monotonlik uchun tekshirish va uning ekstremal qiymatlarini topish orqali o'ynaydi. Bundan tashqari, monoton va uzluksiz funktsiyalarning bir qator xususiyatlaridan foydalaniladi.
1. Agar f funktsiya qaysidir oraliqda ortib yoki kamayib ketsa, u holda bu oraliqda f (x) = 0 tengligi ko'pi bilan bitta ildizga ega bo'ladi. Ushbu bayonot to'g'ridan-to'g'ri ortib boruvchi va kamayuvchi funktsiyalarning ta'rifidan kelib chiqadi. f (x) = 0 tenglamaning ildizi y = f (x) funktsiya grafigining x o'qi bilan kesishgan nuqtasining abssissasiga teng.
2. Agar f funksiya aniqlangan va intervalda uzluksiz bo'lsa va uning uchlarida turli belgilar qiymatlarini qabul qilsa, u holda a va b o'rtasida f (c) = 0 bo'lgan c nuqta mavjud.
Vazifa 1.12. Tenglamani yeching
E'tibor bering, bu tenglamaning ildizi. Keling, bu tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligini isbotlaylik. Monotonlik uchun f funktsiyani ko'rib chiqamiz. Hosil. Funktsiya o'z belgisini saqlaydigan intervallarni belgilaylik. Buning uchun biz uni monotonlik uchun tekshiramiz. Hosil. dan beri, keyin da. Demak, funktsiya x ning musbat qiymatlari uchun ortadi; ... Shuning uchun, uchun. Funktsiya juft bo'lgani uchun u hamma uchun ijobiy qiymatlarni oladi. Shuning uchun, f butun son o'qi bo'ylab ortadi. 1-xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Demak, - tenglamaning yagona ildizi.
Vazifa 1.13. Tenglamalar tizimini yechish
Tizim quyidagilarga teng:
Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki, ikkinchidan -. Birinchi x tenglamadan y:, bilan ifodalaymiz. Keyin. qo'yib, biz olamiz yoki. f funksiyaning hosilasi, bu yerda, ga teng. t ning barcha qiymatlari uchun manfiy. Shunday qilib, f funksiyasi kamayib bormoqda. Shuning uchun tenglama ko'pi bilan bitta ildizga ega. Uning ildizi nimaga e'tibor bering. Shunday qilib, tizimning yagona yechimi.
Vazifa 1.14. Tenglama oraliqda bitta ildizga ega ekanligini isbotlang.
Ekvivalent transformatsiyalar orqali tenglama, bu erda shaklga keltiriladi. f funktsiyasi ortib bormoqda, chunki hamma uchun. 1-xususiyatga ko'ra, tenglama ko'pi bilan bitta yechimga ega. f funksiya uzluksiz; bundan tashqari,,. 2-xususiyatga ko'ra, tenglama intervalda ildizga ega.
3-masalada tenglamaning ildizi ma’lum bir intervalga tegishli ekanligini isbotlash talab qilindi. Biz ushbu segmentning oxirida turli belgilar qiymatlarini oladigan segmentda uzluksiz funksiyaning 2 xususiyatidan foydalandik. Bunday muammolarni hal qilishda bu yo'l har doim ham maqsadga olib kelmaydi. Ba'zan differentsiallanuvchi funktsiyalarning quyidagi xossasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Mulk 3(Roll teoremasi). Agar f funksiya oraliqda uzluksiz, (a, b) oraliqda differensiallanuvchi va f (a) = f (b) bo‘lsa, unda shunday nuqta mavjud bo‘ladi.
Geometrik tilda 3-xususiyat quyidagilarni bildiradi: agar, u holda egri chiziq grafigida koordinatali C nuqta mavjud bo‘lib, bunda grafikning tangensi x o‘qiga parallel bo‘ladi.
Vazifa 1.15. uchun tenglama ko‘pi bilan bitta haqiqiy ildizga ega ekanligini isbotlang.
Faraz qilaylik, tenglama kamida ikkita ildizga ega va. f funktsiyasi butun sonlar qatorida differentsiallanadi. Chunki, 3-xususiyaga ko'ra, uning intervaldagi hosilasi ildizga ega. Biroq, uchun, tenglama hech qanday yechimga ega emas. Olingan qarama-qarshilik tenglama bir nechta ildizga ega bo'lmasligini ko'rsatadi.
Vazifa 1.16. Ko'phad,, ekanligini isbotlang.
Koʻpi bilan n ta ildizga ega.
3-xususiyatga ko‘ra, ko‘phadning ikki ildizi orasida uning hosilasining kamida bitta ildizi bo‘ladi. Demak, agar f (x) ko'phadning ildizlari turlicha bo'lsa, uning hosilasi kamida (k-1) ildizga ega bo'lishi kerak. Xuddi shu tarzda - kamida k-2 ildiz va boshqalar, n-chi hosila - kamida (k-n) ildizlar,. Bu mumkin emas, chunki u nolga teng bo'lmagan doimiydir.
Vazifa 1.17. Ko‘phadning ildizi 0 dan 1 () gacha ekanligini isbotlang.
2-xususiyatni maqsadga qo'llash ishlamaydi, chunki. g funktsiyasini ko'rib chiqing, bu erda. Buning uchun f funksiya hosiladir. O'shandan beri, 3-mulkga ko'ra, ba'zilar uchun.
Vazifa 1.18. Tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'qligini isbotlang.
Mayli , keyin. Agar x tenglamaning ildizi bo'lsa, u holda, ya'ni. f funktsiyasi uzluksizligi tufayli har bir ildizning qo'shnisida kamayadi. E'tibor bering, agar tenglamaning ildizlari bo'lsa, ular manfiydir. Ma'lumki, ko'phad n-daraja ko‘pi bilan n ta ildizga ega. Ildizlarning eng kattasi bilan belgilaymiz. Keyin shunday bo'ladi. Chunki, u holda oraliqda f (x) ko'phadning x ildizi bo'lishi kerak. qarama-qarshilikka ega bo'ldi.
Ko'rinishdagi tenglamani ko'rib chiqaylik, bu erda f, g bir xil ta'rif sohalari bilan o'zaro teskari ortib boruvchi funktsiyalardir. Keling, bu tenglama tenglamaga ekvivalent ekanligini ko'rsatamiz. (3)
Haqiqatan ham, ruxsat bering a(3) tenglamaning ildizi, ya'ni. ... Funktsiyaning sohasi ekanligini hisobga olsak g funksiya qiymatlari to‘plamiga mos keladi f aksincha, ular yozilishi mumkin:, yoki, ya'ni. , va tenglamaning ildizidir.
Orqaga, ruxsat bering, lekin. Keyin yoki. birinchi holat. Qarama-qarshilik ikkinchi holatda ham xuddi shunday tarzda olinadi.
Shunday qilib, bitta shaxsiy qabulxona olinadi ekvivalent konvertatsiya tenglamalar.
Vazifa 1.19. Tenglamani yeching.
Keling, bu tenglamani quyidagicha qayta yozamiz. Funktsiya uzluksiz, ortib boruvchi (ikki ortib borayotgan funktsiyaning yig'indisi sifatida va), shuning uchun u teskari xususiyatga ega. Keling, topamiz:,. Demak, f ga teskari funktsiya tenglamaning o'ng tomoniga to'g'ri keladi. Yuqoridagilarga asoslanib, tenglama tenglamaga ekvivalentdir. Tenglamaning ildizi qaysi ekanligi aniq. Keling, tenglamaning boshqa ildizlari yo'qligiga ishonch hosil qilaylik.
Mayli. U holda u ikki musbat sonning o'rta arifmetik va o'rtacha geometrik qiymati orasidagi farq sifatida musbat bo'ladi va.Shunday qilib, h funksiya butun son o'qi bo'ylab ortadi. Chunki, u holda h (x)> 0 uchun va uchun, ya'ni. tenglamaning yagona ildizidir.

1.2. Hosilaning tengsizliklarni yechishda qo‘llanilishi


Differensial hisoblash funksiyalarni o‘rganishda keng qo‘llaniladi. Hosildan foydalanib, funksiyaning monotonlik intervallarini, uning ekstremal nuqtalarini, eng katta va eng kichik qiymatlarini topish mumkin.
Agar f funktsiya ma'lum oraliqning har bir nuqtasida musbat (salbiy) hosilaga ega bo'lsa, u holda bu oraliqda ortadi (kamayadi). Monotonlik oraliqlarini topishda shuni yodda tutish kerakki, agar funktsiya intervalda ortib (kamaysa) bo'lsa. (a, b) va nuqtalarda uzluksizdir a va b, keyin segmentda ortadi (kamayadi).
Agar nuqta x0 funksiyaning ekstremum nuqtasidir f va bu nuqtada hosila bor, keyin f / (x 0 )=0. Ekstremum nuqtada funksiyaning hosilasi bo'lmasligi mumkin. Domenning lotin nolga teng yoki mavjud bo'lmagan ichki nuqtalari kritik deyiladi. Berilgan kritik nuqtada funksiyaning ekstremumga ega ekanligini aniqlash uchun ekstremum mavjudligi uchun quyidagi yetarli mezonlardan foydalaning.
Agar funktsiya f nuqtada uzluksiz x0 va bunday nuqtalar mavjud a, b, nima f / (x0)> 0 (f / (x0) oraliqda (a, x0) va f / (x0) / (x0)> 0) intervalda (x0, b), nuqta x0 funksiyaning maksimal (minimal) nuqtasidir f eng katta va eng kichik qiymatlarni topish f segmentida faqat qiymatlarni solishtiring f nuqtalarda a, b va segmentdan kritik nuqtalarda ushbu natijalar tengsizliklar bilan bog'liq ko'plab elementar muammolarni hal qilish uchun qo'llaniladi. Faraz qilaylik, ma'lum bir intervalda tengsizlik mavjudligini isbotlash kerak f (x) g (x). belgilaymiz f (x)-g (x) bo'ylab F (x) sikldan foydalanish F / (x) eng kichik qiymatni toping F bu oraliqda. Agar u salbiy bo'lmasa, u holda ko'rib chiqilgan intervalning barcha nuqtalarida F (x) 0, ya'ni f (x) g (x).
Vazifa 1.1. Buni isbotlang (e + x) e-x > (e-x) e + x uchun 0
Bu tengsizlik quyidagilarga teng: (e-x) ln (e + x)> (e + x) ln (e-x).
Mayli f (x) = (e-x) ln (e + x) - (e + x) ln (e-x),
keyin f / (x) = - ln (e + x) + (e-x) / (e + x) -ln (e-x) + (e + x) / (e-x).
Chunki (e-x) / (e + x) + (e + x) / (e-x) = 2 (e) 2 + x 2 ) / (e 2 -x 2 )>2,
ln (e + x) + ln (e-x) = ln (e 2 -x 2 ) 2 =2,
keyin f / (x)> 0 da 0. Demak, funktsiya f oraliqda ortadi (0, e). Funktsiya f (0) - davomiy. Shuning uchun bu nuqta o'sish oralig'iga kiritilishi mumkin. Shu darajada f (0) = 0, a f bilan ortadi keyin 0x f (x)> 0 da 0 Bu yerdan biz 1-masala yechimini olamiz.
Vazifa 1.2... Tengsizlikni isbotlang tg k a + ctg k a2 + k 2 cos 2 2a, 0 – tabiiy.
Tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin: (ctg k / 2 a – tg k / 2 a) 2 k 2 cos 2 2a.
qo'yamiz f (a) = ctg n a – tg n a – 2n * cos 2a, qayerda n = k / 2.
Keyinchalik, f / (a) = - (n / gunoh 2 a) ctg n-1 a - (n / cos 2 a) tg n-1 a + 4n * sin 2a = - n ((ctg n-1 a + tg n-1 a) + (ctg n + 1 a + tg n + 1 a) - 4sin 2a) - n (2-2sin 2a) at 0 .
Bu yerda, avvalgi masalada bo'lgani kabi, biz o'zaro teskari musbat sonlar yig'indisi 2 dan katta yoki teng ekanligidan foydalandik. Shunday qilib, intervalda 0 funktsiyasi f kamayadi. Shu nuqtada a = / 4 shuning uchun u uzluksizdir (0 ; /4] kamayib boruvchi intervaldir f. Bu oraliqdagi funksiyaning eng kichik qiymati f (/ 4) = 0. Demak, f (a) 0 da 0 . Ko'rsatilgan interval uchun tengsizlik isbotlangan. Agar /40 – a Biroq, almashtirilganda tengsizlik o'zgarmaydi a ustida /2 – a. 2-muammo hal qilindi.
Vazifa 1.3. Qaysi biri e yoki e dan katta?
Muammoni hal qilish uchun biz ikkita noma'lumli tenglamaning echimlari mavjudligi haqidagi savolni tekshiramiz: a b = b a , a> 0, b> 0. Arzimas ishni yo'q qiling a = b va aniqlik uchun biz buni taxmin qilamiz a ... Kirishning simmetriyasi tufayli a va b tenglamaga, oxirgi eslatma fikrlashning umumiyligini cheklamaydi. Tenglama ekanligi aniq a b = b a tenglamaga teng b * (ln a) = a * (ln b), yoki
(ln a) / a = (ln b) / b.
Mayli f (x) = (ln x) / x(bitta). (1) tenglama yechimlarining mavjudligi qiymatlarning mavjudligiga teng x 1 va x 2 (x 1 2 ) shu kabi f (x 1 ) = f (x 2 ). Bunday holda, juftlik (x 1 , x 2 ) (1) tenglamaning yechimidir. Boshqacha qilib aytganda, to'g'ri chiziq bor yoki yo'qligini aniqlash talab qilinadi y = c, kesishuvchi funktsiya f kamida ikki xil nuqtada. Buning uchun biz funktsiyani tekshiramiz f... Uning hosilasi f / (x) = (1 – ln x) / x 2 belgilashda f bitta tanqidiy nuqtaga ega x = e. Da 0 / (x)> 0 funktsiyasi f ortadi va at x> e f / (x) 0 funksiyasi f kamayadi. Shuning uchun, nuqtada x = e f eng katta qiymatini oladi (1 / e). Funktsiyadan beri (ln x) / x uzluksiz bo'lib, intervalgacha ortadi (0, e], keyin barcha qiymatlarni - dan oladi 1 / e... Xuddi shunday, intervalda . Funktsiyani o'rganish natijalaridan f quyidagi bayonotlar:
3. Agar b> a> e, keyin a b > b a .
Shunday qilib, agar (a, b) tenglamaning yechimidir a b = b a, keyin 1, b> e... Bundan tashqari, har bir belgilangan qiymat uchun 1faqat bitta ma'no bor b> e shu kabi a b = b a
3-muammoning savoliga javob berish uchun qo'yish kifoya a = e, b = va (1) bayonotidan foydalaning. shunday , e> e... 3-muammo hal qilindi.
Vazifa 1.4. Ikki sayyoh bir xil yo'l bo'ylab ketishdi. Birinchi kuni ular bir xil masofani bosib o'tishdi. Keyingi kunlarning har birida birinchi sayyoh bosib o'tgan masofani avvalgilariga nisbatan bir xil masofaga, ikkinchisi esa bir xil marta oshirdi. Ma'lum bo'lishicha, sayohatning n-kunida (n> 2) turistlar yana bir xil masofani bosib o'tishgan. Birinchi sayyoh n kun ichida ikkinchisiga qaraganda uzoqroq yo'lni bosib o'tganini isbotlang.
Birinchi turistning n kunda bosib o‘tgan masofasi arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisiga, ikkinchisi esa geometrik progressiyaning birinchi n ta hadining yig‘indisiga teng. Bu masofalarni navbati bilan belgilaylik S n va S n / . Agar a- progressiyaning birinchi a'zosi, d- arifmetik progressiyaning farqi; q Demak, geometrik progressiyaning maxraji

Tenglash n-chi a'zolar progressiyani topamiz
Keyin, bu erda q> 1 (muammo bayoni bo'yicha). Agar shuni ko'rsatsak 4-masala hal bo'ladi , qayerda n> 2, q> 1 (2)
n = 3 uchun bizda aniq tengsizlikka teng. (2) tengsizlik uchun amal qiladi, deb faraz qilsak n = k, biz buni isbotlaymiz n = k + 1... Bizda ... bor
Dalilni to'ldirish uchun iborani tekshirish kifoya k> 2. Bu erda lotinga murojaat qilish tavsiya etiladi.
uchun hosila ijobiy bo'lsin x> 1. Shunday qilib f da x> 1 ortadi. Chunki f (1) = 0 va funksiya f nuqtada uzluksiz x = 1, keyin f (x)> 0 da x> 1, ya'ni. f (q)> 0. Shunday qilib, S n > S n / . 4-muammo hal qilindi.


 
Download 71.43 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling