I bob ehtimollikning geometrik ta’rifi 6

I.BOB EHTIMOLLIKNING GEOMETRIK TA’RIFI

1.1. Ehtimollikning geometrik ta’rifi

Biror G soha berilgan bo`lib, bu soha G<sub>1</sub> sohani o`z ishiga olsin, . G sohaga tavakkaliga (tasodifan) tashlangan nuqtaning G₁ sohaga ham tushishi ehtimolini topish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Binobarin, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga albatta tushsin va uning biror G₁ qismiga tushish ehtimoli shu G₁ qismining o`lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga 0 proporsional bo`lib, G₁ ni G ning qayerida joylashganiga bog`liq bo`lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli

bu yerda mes inglizcha so`zidan olingan bo`lib, o`lchov ya’ni uzunlik, yuza, hajm ma’nosini bildiradi.
formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan P funksiya ehtimolining barcha xossalarini qanoatlantirishini ko`rish qiyin emas.
Misol. L uzunlikka ega bo`lgan kesmaga tavakkaliga nuqta tashlansin. Tashlangan nuqta kesmaning o`ratasidan ko`pi bilan l masofada yotish ehtimolini toping.
Yechish. Yuqoridagi shartni qanoatlantiradigan nuqtalar to`plami dan iborat (umimiylikka zarar yetkazmasdan, kesmaning o`rtasini sanoq boshi deb qabul qilamiz). Bu kesmaning uzunligi 2l ga teng. Demak, qaralayotgan hodisaning ehtimoli

Misol. Ikki do`st soat 9 bilan 10 o`rtasida uchrashmoqchi bo`lishdi. Birinchi kelgan kishi do`stini chorak soat davomida kutishi shartlashib olindi, agar bu vaqt mobaynida do`sti kelmasa, u ketishi mumkin. Agar ular soat 9 bilan 10 o`rtasidagi ixtiyoriy momentda kelishi mumkin bo`lib, kelish momentlari kelishilgan vaqt mobaynida tasodifiy bo`lib, bu momentlar o`zaro kelishilib olingan bo`lmasa, u holda bu ikki do`stning uchrashish ehtimoli qanchaga teng?
Yechish. Birinchi kishining kelish momenti x, ikkinchi kishiniki esa y bo`lsin. Ularning uchrashishlari uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. x va y larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz. Ro`y berishi mumkin bo`lgan tomonlari 60 bo`lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug`diruvchi imkoniyatlar shtrixlangan yuzdan iboratdir. Izlanayotgan Ehtimol shtrixlangan yuzning kvadrat yuziga bo`lgan nisbatiga teng (1.8-chizma):

1.1.8-chizma(Ikki do`st uchrashuvi haqidagi masala)



Misol. (Byuffon masalasi.) Tekislikda bir-biridan 2α masofada turuvchi parallel to`g`ri chiziqlar o`tkazilgan. Tekislikka uzunligi 2l (l<α) bo`lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignanaing birorta to`g`ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. x orqli ignaning o`rtasidan unga yaqinroq bo`lgan parallelgacha bo`lgan masofani va φ orqali igna bilan bu parallel orasidagi burchakni belgilaymiz (1.1.9-chizma).

1.1.9-chizma(Ignani tavakkaliga tashlash masalasi)
x va φ kattaliklar ignaning holatini to`la aniqlaydi. Ignaning barcha holatlari tomonlari a va π bo`lganto`g`ri to`rtburchak nuqtalari bilan aniqlanadi. Ignaning parallel tog`ri chiziq bilan kesishishi uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. Qilingan farazlarga ko`ra izlanayotgan ehtimol 1.1.10-chizmadagi shtrixlangan yuzning to`g`ri to`rtburchak yuziga nisbatiga teng bo`ladi:


1.1.10-chizma(Ignaning parallel tog`ri chiziq bilan kesishishi)
Byuffon masalasi otishlar nazariyasiga oid ko`pgina masalalarni hal etishda muhimdir. Bundan tashqari, Byuffon masalasidan π sonining qiymatini tajriba yo`li bilan hisoblashda foydalanish mumkin. Haqiqatan ham,yechilgan masaladan formula hosil bo`ladi. Ignani tashlash yordamida π ni aniqlash uchun juda ko`p tajribalar o`tkazilgan. Ulardan ba’zi birlarining natijalarini keltiramiz.

Tajriba o`tkazgan kishi	Yili	Igna tashlashlar soni	π ning eksperimental qiymati
Foks Latssarini	1894 1901	1120 3408	3.1419 3.1415929

Tajribalar soni yetarlicha katta bo`lganda

formula o`rinli bo`lib, bunda n-tajribalar soni, m-ignaning parallel chiziqlardan birini kesib tushgan hollari sonidir.
Ehtimollikning statistik ta’rifi
Shartlar kompleksi o`zgarmas bo`lganda biror A hodisaning ro`y bermasligi ustida uzoq kuzatishlar o`tkazilganda, uning ro`y berishi yoki ro`y bermasligi ma’lum turg`unlik (barqarorlik) xarakteriga ega bo`ladi. A hodisaninig n ta tajribada ro`y berishlar sonini –v deb olsak, u holda juda ko`p sondagi kuzatishlar seriyasi uchun nisbat deyarli bir xil bo`lib qolaveradi. nisbat A hodisaning ro`y berish chastotasi deyiladi. Chastotaning turg`unlik xususiyati birinchi bor, demografik xarakterdagi hodisalarda ochilgan. Laplas londonda, Peterburgda va butun Fransiyada yig`ilgan juda ko`p statistik materiallarga tayanib, tug`ilgan o`g`il bolalar soninig jami tug`ilgan bolalar soniga nisbati ga tengligini ko`rsatadi. Bu sonning bir necha o`n yillar mobaynida o`zgarmay qolishini statistik ma’lumotlar tasdiqladi.
Tangani tashlash misolini qaraylik. Bunda tajriba natijasi ikkita holatdan iborat: G–“gerb” yoki R­“raqam”. Bu tajribada G yoki R tushushini oldindan aytish qiyin, chunki tanganing qaysi tomoni bilan tushushiga ta’sir etuvchi hamma faktorlarni e’tiborga olishimiz mumkin emas. Xuddi shuningdek, bitta lotoreya biletini sotib olgan kishiga yutuq chiqishi yoki chiqmasligi, yoki juda murakkab elektron hisoblash mashinasining belgilangan muddatgacha yo undan so`ng ishdan chiqishi ham juda ko`p faktorlarga bog`liq. Bunday paytda alohida tajribaning biror qonunuiyatni ochishi juda qiyin. Biroq tajribalar soni oshirib borilsa, ma’lum bir qonuniyatni payqash mumkin.
Tangani n marta tashladik deb faraz qilaylik va birinchi n ta tajribada “gerb” tushishlar sonini n<sub>r</sub> deb belgilaylik. Quyidagi shaklni yasaymiz: abssissa o`qida o`tkazilgan tajribalar sonini, ordinatalar o`qida esa nisbatni belgilab boramiz. n ning ortib borishi bilan nuqtalarni tutashtiruvchi siniq chiziq chiziqqa yaqinlashadi (1.1.11-chizma).

1.1.11-chizma( da nisbiy chastotaning
ehtimolga yaqinlashishi)
Bu holatni tekshirish maqsadida Byuffon tangani 4040 marta tashladi, shulardan 2048 marta gerb tushdi, chunonchi gerb tushish chastotasi
Pirson tangani 24000 marta tashlaganda, shulardan 12012 tasida gerb tushdi, . Bu hol umumiy xarakterga ega: bir xil sharoitda o`tkazilgan tajribalar ketma-ketligida u yoki bu hodisani ro`y berishi chastotasi biror soniga “yaqinlashib” boradi.
Bu tajribalarda G tushish chastotasi o`zgarmas son atrofida tebranyapti, shu ni simmetrik tanga tashlaganda G (gerb) tushishi hodisasining ro`y berish ehtimoli deb olish tabiiy. Agar tajribalar soni yeterlicha ko`p bo`lsa, u holda shu tajribalarda qaralayotgan A hodisaning ro`y berish chastotasi biror o`zgarmas son atrofida turg`un ravishda tebransa, shu p sonni A hodisanaing ro`y berish ehtimoli deb qabul qilamiz. Bunday usulda aniqlangan ehtimol hodisaning statistik ehtimoli deyiladi. Mizes hodisaning ehtimolini ushbu munosabat yordamida kiritgan:

Ehtimolning bu ta’rifi juda noqulay, chunki biror hodisaning ro`y berishi chastotalari ketma–ketligi turli eksperimentlar o`tkazilganda turlicha bo`ladi. Bundan tashqari, amalda biz chastotalar ketma–ketligini emas, balki uning chekli elementlarini olgan bo`lamiz. Hamma ketma–ketlikni olib bo`lmaydi. Shu sababli, ehtimollar nazariyasini aksiomalar asosida qurish maqsadga muvofiqdir.