I bob ehtimollikning geometrik ta’rifi 6

1.2. Ehtimollar nazariyasiniaksiomatik asosda qurish

Sovet matematigi S.N.Brenshteyn 1917 yilda birinchi bo`lib ehtimollar nazariyasini aksiomatik asosda qurishga harakat qildi. Akademik A. N.Kolmogorov tomonidan kiritilgan ehtimollar nazariyasining aksiomalari funksiyalarning metrik nazariyasiga asoslangandir. Ω-biror to`plam, F–uning qism to`plamlarining biror sistemasi bo`lsin. Agar
F;
A_i F;i= 1, 2,…, n dan F kelib chiqsa,
A F dan F kelib chiqsa, F sistema algebra tashkil etadi deyiladi. Odatda, Ω-elemntar hodisalar fazosi, -fazoning elementlari, nuqtalari elementar hodisalar, F ning elementlari esa hodisalarning -algebrasi deyiladi.
1.2.1-Ta’rif. Agar Ω to`plam va bu to`plamning qism to`plamlaridan iborat F -algebra berilgan bo`lsa, u holda o`lchovli fazo berilgan deyiladi va uni<Ω,F> kabi belgilanadi.
-algebraning ta’rifidan foydalanib, F ekanligi kelib chiqadi.
Ω-muqarrar hodisa, esa mumkin bo`lmagan hodisa deyiladi.
Endi quyida A. N. Kolmogorov aksiomalarini keltiramiz:
1–aksioma. Ixtiyoriy A F hodisaga uning ehtimoli deb ataluvchi P(A)≥0 son mos qo`yilsin.
2–aksioma. P(Ω)=1.
3–aksioma. Qo`shish aksiomasi. Agar {A_n} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo`lmasa, u holda

Ehtimollar nazariyasining ko`pgina masalalarini hal qilishda 3–aksioma o`rniga undan kuchliroq bo`lgan aksiomaga zarurat tug`iladi.
3^I–aksioma. Qo`shishning kengaytirilgan aksiomasi. Agar {A<sub>n</sub>} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo`lmasa, u holda

Ehtimolning bu aksioma bilan berilgan xossasi uning sanoqli additivligi deyiladi.
3^I–aksiomani unga ekvivalent quyidagi uzluksizlik aksiomasi bilan almashtirish mumkin.
3^II–aksioma. Uzluksizlik aksiomasi. Agar F –algebraga tegishli bo`lgan B<sub>1</sub>,B<sub>2</sub>, …,B<sub>n</sub>,… tasodifiy hodisalar uchun B<sub>1</sub> B<sub>2</sub> … B<sub>n</sub> … bajarilsa va o`rinli bo`lsa, u holda bo`ladi.
3^I–aksioma va 3^II–aksiomaning teng kuchli ekanligini ko`rsatamiz.
3<sup>I</sup>–aksiomadan 3<sup>II</sup>–aksiomaning kelib chiqishini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, B₁,B₂,…,B_n,… tasodifiy hodisalar uchun B₁ B₂ … B_n … bo`lsin va bajarilgan bo`lsin, u holda B_n hodisa uchun

bajariladi.
Bu qo`shiluvchilar juft–jufti bilan birgalikda bo`lmagan uchun 3^I–aksioma va P( )=0 ga ko`ra

ya’ni P(B_n) yaqinlashuvchi qator ning qoldiq hadidir, demak, da
3^II–aksiomadan chekli additivlik bajarilganda 3^I–aksiomaning kelib chiqishini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,…, A<sub>n</sub>,… juft–jufti bilan birgalikda bo`lmagan hodisalar bo`lib, bo`lsin, u holda Agar B_n ro`y bersa, A<sub>i</sub> (i ≥ n) lardan birortasi ro`y beradi. A_k lar juft–jufti bilan birgalikda bo`lmagani uchun A<sub>i+1</sub>, A<sub>i+2</sub>, … ro`y bermaydi. Demak, B_i+1,B_i+2,…… lar ro`y berishi mumkin bo`lmagan hodisalar bo`ladi, bu esa ning mumkin bo`lmagan hodisa ekanini ko`rsatadi, u holda 3<sup>II</sup>–aksiomaga ko`ra da , ammo ligidan

<Ω,F,P> uchlik ehtimollik fazosi deyiladi. Shunday qilib, ehtimollik fazosi <Ω,F,P> o`lchovli fazo va F da berilgan manfiy bo`lmagan, normallashtirilgan, sanoqli additiv P o`lchovdan iborat bo`lar ekan, P o`lchov ehtimolning o`lchovi deyiladi.
Odatda, aksiomalar sistemasiga quyidagi talablarni qo`yishadi:
Aksiomalar sistemasining o`zaro zid emasligi.
Aksiomalar sistemasining o`zaro bog`liq emasligi.
Aksiomalar sistemasining to`laligi.
Ehtimollar nazariyasining aksiomalar sistemalari o`zaro zid emas, chunki berilgan aksiomalarni qanoatlantiradigan real obektlar mavjud.
Misol. Elementar hodisalar fazosi

bo`lsin. Har bir elementar hodisaga sonni mos qo`yamiz, U holda lar teng ehtimolli hodisalar bo`ladi. Ω yordamida
F={Ω, V, { },…, { },…} algebrani tuzamiz, bu sistema 2<sup>n</sup> ta elementdan iborat bo`ladi. F ga tegishli har bir A hodisa ushbu ko`rinishda yoziladi:

A hodisaning ehtimoli deb quyidagi yig`indini olamiz:

Agar I to`plamning quvvati k bo`lsa,

bo`ladi. F algebrada aniqlangan bu P(A) funksiya barcha aksiomalarni qanoatlantirishini tekshiramiz:
Darhaqiqat, misolimizda
bo`lgani uchun dir;
Haqiqatan ham, ligidan

kelib chiqadi;
bo`lsa,
Agar shartlar bajarilsa, . Faraz qilaylik, I<sub>1</sub> ning quvvati k<sub>1</sub>, I<sub>2</sub> ning quvvati k<sub>2</sub> bo`lsin, u holda

va

bo`ladi. Demak, Kolmogorov aksiomalari sistemasi zid emas ekan.
Ehtimollar nazariyasining aksiomalari sistemasi to`la emas, ya’ni tayin bir Ω uchun –algebra F da ehtimollik o`lchovi P ni turlicha usulda aniqlash mumkin. Agar tajribamiz shashqaltosh tashlashdan iborat bo`lsa, u holda {e_i}, i=1;2;3;4;5;6 hodisalarning ehtimolini shashqaltoshning qandayligiga qarab

yoki, masalan,
;

deb qabul qilish mumkin. Bu aksiomalar sistemasini to`la emasligi uning kamchiligi emas.

Ehtimolning xossalari

P(V)= 0.
Bu natija V Ω=Ω tenglikdan va 2,3–aksiomalardan kelib chiqadi.
P( )=1–P(A).
Bu xossa va dan kelib chiqadi.
Agar bo`lsa, u holdaP(A)≤P(B). dan bu munosabat kelib chiqadi.
.
Bu xossaning isboti 3–xossadan va 1,2–aksiomalardan kelib chiqadi.
, chunki, .
Bu xossaning isboti 5–xossadan kelib chiqadi.
Faraz qilaylik, hodisalar berilgan bo`lsin, u holda


Bu munosabat Bul formulasi deyiladi.

Haqiqatan ham, deb belgilasak, u holda


tenglik o`rinli. Demak,

Misol. O`rniga qo`yishlar haqidagi masala. nta element berilgan bo`lsin. Tasodifiy ravishda bu elementlar ikki marta o`rinlashtiriladi. Hech bo`lmaganda bitta o`rnida qolish ehtimoli topilsin. Hamma o`rin almashtirishlar soni . Aytaylik, hodisa k–elementning o`z o`rnida qolishi bo`lsin. Bu hodisa imkoniyatga ega. ning ehtimoli esa

hodisa k va l elementlarning o`z o`rnida qolish hodisasidan iborat bo`lsin:

va hokazo

hodisa hech bo`lmaganda bitta elementning o`z o`rnida qolish hodisasidir. Shunday qilib, Bul formulasidan foydalansak,



Qavs ichidagi ifoda ning yoyilmasidagi birinchi ta haddan iborat. Shuning uchun, da