I bob ko`p o`lchovli masalalar uchun ayirmali sxemalar 2 1-§. O`zgaruvchilarni ajratish usuli

MUNDARIJA

I BOB KO`P O`LCHOVLI MASALALAR UCHUN AYIRMALI SXEMALAR 2
1.1-§. O`zgaruvchilarni ajratish usuli. 2
1.2-§. Kuchsiz approksimatsiya. 11
II BOB YO`NALISHLAR BO`YICHA AJRATISH USULI. 15
2.1-§ Ko’p o’lchamli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamasi 15
2.2-§. Ko’p o’lchovli issiqlik o’tkazuvchanlik tenglamalarni sonli yechish usullari. 19
2.3-§. Ko‘p o‘lchovli ayirmali sxemalarni tadqiq qilish. 24
TAVSIYA ETILADIGAN ADABIYOTLAR 35

Xulosa
Savollar
Adabiyotlar

I BOB KO`P O`LCHOVLI MASALALAR UCHUN AYIRMALI SXEMALAR

1.1-§. O`zgaruvchilarni ajratish usuli.

O`zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilish uchun zarur bo`lgan ayrim ma’lumotlarni keltiramiz. Matematik fizikada keng qo`llaniladigan o`zgaruvchilarni ajratish metodidan ayirmali sxemalarni tadqiq etishda ham foydalanish mumkin. Ushbu metodni qo`llash bir nechta o`zgaruvchilarga bog`liq bo`lgan dastlabki masalani kam o`zgaruvchilardan bog`liq bo`lgan soddaroq masalalarga ajratishga imkon beradi. Bunda, odatda, ayrim koordinatalar yo`nalishi bo`yicha xos qiymat muammosi paydo bo`ladi. Aynan shu holat ayirmali sxemalarni qo`llaganda ham o`rinli bo`ladi. Dastlab sodda ayirmali operatorlar uchun xos qiymatlarni izlash masalasini qaraymiz. Bu yerda keltirilgan ma’lumotlardan kelgusida o`zgaruvchilarni ajratish metodini qo`llaganda foydalanish mumkin bo`ladi.

O`zgaruvchilarni ajratish usulini issiqlik o`tkazuvchanlik tenglamasi uchun vaznli sxema misolida ko`rib o`taylik:
(8.1)
bu yerda

esa sohada kiritilgan ayirmali to`r.
Ikkinchi tartibli ayirmali operator uchun qo`yilgan ushbu masalani qaraylik

Bu masalaning notrivial yechimi – ya’ni masalaning xos funksiyalari va ularga mos xos qiymatlarini topish talab etilgan bo`lsin. Masalani indeksli ko`rinishda yozamiz

Uning yechimini

ko`rinishda izlaymiz,bu yerda aniqlanishi lozim bo`lgan parametr. Bu holda

munosabat o`rinli bo`ladi. Olingan ifodani ayirmali sxemaga qo`yib ushbuga ega bo`lamiz

Qo`yilgan masalaning notrivial yechimini izlayotganimiz uchun, ya’ni ekanligini inobatga olsak, oxirgi tenglikdan

tenglik kelib chiqadi va undan

ekanligini aniqlash mumkin. Endi parametr ning qiymatini shunday tanlaymizki, chegaraviy shartlar

ni qanoatlantirsin. bo`lganda chegaraviy shart ixtiyoriy uchun o`z-o`zidan bajariladi. bo`lganda tenglikka, bundan ekanligini aniqlaymiz:
1) Shunday qilib qo`yilgan masalaning xos qiymatlari va xos funksiyalari quyidagi ko`rinishda bo`ladi

2) Xos qiymatlar uchun quyidagi tengsizliklar o`rinli:

va ularning barchasi musbat.
3) Turli xos qiymatlar va ga mos keluvchi xos funksiyalar ushbu skalyar ko`paytma ma’nosida o`zaro ortogonal, ya’ni
.
Haqiqatan ham Grinning ikkinchi formulasiga asosan

bo`ladi, chunki va turli xos qiymatlar ga mos xos funksiyalardan iborat. Oxirgi tenglikdan va ning o`zaro ortogonalligi kelib chiqadi:
.
4) Xos funksiya ning normasi

ga teng. Bu yerda norma quyidagi skalyar ko`paytma ma’nosida tushuniladi

Murakkab bo`lmagan almashtirishlar o`tkazamiz

Ushbu belgilashni kiritib va , ekanligini e’tiborga olib, quyidagiga ega bo`lamiz

Bu qiymatni yuqoridagi ifodaga qo`yamiz:

va talab qilingan ifoda isbotlanganligini ko`ramiz.
Shunday qilib, ushbu to`r funksiyalari to`plami

skalyar ko`paytma ma’nosida ortogonallashgan va normallashgan sistemani tashkil etadi:

5) Ayirmali to`r da funksiya berilgan hamda bo`lsin. Bu holda funksiyani xos funksiyalar ning yig`indisi ko`rinishida ifodalash mumkin

qator koeffitsientlari ushbu munosabatlar orqali aniqlanadi

bunda Parseval tengligi o`rinli bo`ladi

Ushbu tenglikni isbotlaymiz. Haqiqatan ham

chunki
Ayirmali sxema (8.1) ning turg`unligini chegaraviy shartlar birjinsli bo`lgan holda o`zgaruvchilarni ajratish metodi bilan tadqiq etamiz. Ushbu ayniyatlardan foydalangan holda

sxema (8.1) ni birjinsli chegaraviy shartlar bilan quyidagicha yozib olamiz
(8.2)
Ma’lumki, sxema (8.2) turg`un bo`ladi, agar uning yechimi uchun ushbu baho o`rinli bo`lsa
(8.3)
bu yerda –to`r qadamlari va dan bog`liq bo`lmagan musbat o`zgarmaslar, – to`rdagi biror-bir normalar.
bo`lsin. Bu holda baho (8.3)
(8.4)
ayirmali sxema (8.2) ning boshlang`ich shart bo`yicha turg`unligini ifodalaydi. Agarda boshlang`ich shart bo`lsa, u holda
(8.5)
sxema (8.2) ning o`ng tomon bo`yicha turg`unligini anglatadi.
Masala (8.2) ning yechimi uchun baho (8.3), sxema (8.2) ning boshlang`ich shart bo`yicha va o`ng tomon bo`yicha turg`unligini ifodalaydi.
Ayirmali masala (8.2) ning yechimini quyidagi yig`indi ko`rinishida ifodalaymiz
,
bu yerda –ushbu birjinsli tenglamaning yechimi
(8.3a)
esa birjinsli bo`lmagan tenglamaning birjinsli boshlang`ich shart bilan yechimi:
(8.3b)
Ayirmali sxema (8.3) ning boshlang`ich shart bo`yicha turg`unligini tadqiq etish uchun masala (8.3a) ning yechimini baholash lozim. Shu maqsadda o`zgaruvchilarni ajratish usulidan foydalanamiz va baho (8.4) ni fazodagi to`r normasi bo`yicha olamiz.
, bu yerda
Masala (8.3a) ning yechimini ikkita funksiyaning ko`paytmasi ko`rinishida ifodalaymiz, ulardan biri faqat dan bog`liq, ikkinchisi esa bo`lib, u faqat ga bog`liq bo`ladi, bu holda deb olamiz. Ushbu ifodani (8.3a) ga qo`yamiz va quyidagilarni inobatga olamiz

Bu holda

munosabat o`rinli bo`ladi, bu yerda –ajratish parametri. Bundan
bu yerdan ,
ekanligini aniqlaymiz.
uchun xos qiymatlarni izlashning ayirmali masalasini hosil qilamiz (Shturm-Liuvill ayirmali masalasi):

Yuqorida ko`rsatib o`tilganidek ushbu masala quyidagi notrivial yechimga – xos funksiyalarga ega bo`ladi

hamda bu xos funksiyalar quyidagi xos qiymatlarga mos keladi.

Xos funksiyalar ortonormallashgan sistemani tashkil etadi.

Parseval tengligi o`rinli bo`ladi
(8.4)
bu yerda –ixtiyoriy to`r funksiyasi ning qatorga yoyilmasi koeffitsientlari, funksiya va to`rda berilgan va uning chegaralari da nolga aylanadi:

Shunday qilib, masala (8.3a) notrivial yechimga ega, bunda ushbu tenglamadan aniqlanadi
yoki (8.5)

–esa ixtiyoriy o`zgarmas.
Tenglama (8.3a) ning ko`rinishdagi yechimi nomerli garmonika deyiladi. U masala (8.3a) ning boshlang`ich shart bilan yechimi bo`lib hisoblanadi. Endi har bir garmonika qaysi shartlar bajarilganda turg`un bo`lishi shartini aniqlaymiz. Quyidagi formulalardan
(8.6)
ko`rinadiki, bo`lganda, bu yerda va u to`r qadamlari va dan bog`liq emas, ushbuni hosil qilamiz

da, ya’ni masala turg`unmas bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda miqdor o`sishi bilan ortmaydi, biror-bir belgilangan uchun:

o`rinli bo`ladi va garmonikalar turg`un.
Agar barcha bo`lsa va o`z navbatida o`rinli bo`ladi, u holda sxema “har bir garmonika bo`yicha turg`un” deyiladi.
Endi ning qanday qiymatlarida ayirmali sxemaning har bir garmonikada turg`unligini ta’minlovchi shart yoki bajarilishini aniqlaymiz. Ushbu formuladan ko`rinadiki, shart bajariladi, agar , ya’ni bo`lsa. bo`lish talabi yoki

sharti bajariladi, agarda yoki

bo`lsa. Bunda shart sharti o`z-o`zidan bajariladi. Chunki va bu holda

bo`ladi va o`z navbatida shart barcha lar uchun bajariladi, agarda
(8.6)
Shunday qilib, barcha garmonikalar aynan bir shart bajarilganda turg`un bo`ladi.
Endi o`zgaruvchilarni ajratish usulini chegaraga ega bo`lgan to`g`ri to`rtburchakli sohada Puasson tenglamasi uchun Dirixle masalasiga qo`llaymiz:
(8.7)
Qaralayotgan sohada va qadamlar bilan to`g`ri to`rtburchakli to`r kiritamiz

ayirmali to`rning chegarasi bo`lsin.
Differensial masala (8.7) ga mos ayirmali masala ushbu ko`rinishda bo`ladi
(8.8)
Ayirmali masala (8.8) ni birjinsli chegaraviy shartlar bilan qaraymiz
(8.3)
bu yerda masala (8.8) ning o`ng tomonidan faqat chegaraga yaqin to`r tugunlarida miqdorga farq qiladi da va ga farqlanadi da.
Ushbu masalaning
(8.4)
–nomerli xos funksiyalari va xos qiymatlari mos ravishda va bo`lsin. Ma’lumki ular quyidagicha aniqlanadi

Masala (8.3) ning yechimini quyidagi yig`indi ko`rinishida izlaymiz
(8.5)
bu yerda Fur’ye koeffitsiyenti faqat ga bog`liq bo`ladi. Ifoda (8.5) ni (8.3) ga qo`yib ushbuga ega bo`lamiz
(8.6)
bu yerda funksiyaning Fur’ye koeffitsiyenti:

Munosabat (8.4) ni va funksiyalarning ortogonalligini inobatga olgan holda (8.6) dan koeffitsiyentlarni quyidagi masalani yechish orqali aniqlaymiz
(8.7)
bu yerda
Bundan ko`rinadiki, koeffitsiyentlar ning funksiyasi sifatida har bir uchun progonka metodi bilan aniqlanadi. Progonka metodi algoritmi marta qo`llaniladi. ni bilgan holda formula (8.5) orqali masala (8.3) ning yechimi topiladi.