I bob. Matritsa va determinantlar

I BOB. MATRITSA VA DETERMINANTLAR 



  Matritsalar va ular ustida amallar 



  Matritsa determinanti 



  Matritsa rangi 



  Teskari matritsa 



  Maple tizimida matritsa va determinantlarni hisoblash 

1.1.  Matritsalar va ular ustida amallar. 

m  ta  satr  va  n  ta  ustunli, 

  ta  sonlardan  tuzilgan  to‘g’ri  to‘rtburchakli 

jadvalga 

o‘lchamli matritsa deyiladi. 

Masalan, sonlarning to‘g’ri to‘rtburchakli  

  yoki  

 

jadvali 

o‘lchamli matritsa bo‘ladi. Matritsani ifodalashda kichik ( ) yoki o‘rta [ 

] 

qavslardan 

foydalaniladi. 

o‘lchamlimatritsa, 

ya’nifaqat 

1 

tasatrdantuzilganmatritsasatr-matritsadeyiladi. 

Masalan, 

satr-

matritsahisoblanadi. 

o‘lchamlimatritsa,  ya’nifaqat  1  taustundantuzilganmatritsaustun-

matritsadeyiladi. Masalan, 

ustun-matritsadir.  

Nxn o‘lchamli matritsa kvadrat matritsa deyiladi, n esa uning tartibi deb yuritiladi. 

Masalan, 

  3-tartibli  kvadrat  matritsaga  misol  bo‘la  oladi.  1-tartibli 

matritsa  son  bo‘ladi.  Matritsani  hosil  qiluvchi  sonlar  matritsaning  elementlari 

deyiladi.  

Matritsaning  elementlari,  asosan,  ikki  indeksli  harflar  bilan  belgilanadi, 

masalan, 

 bunda birinchi indeks shu element joylashgan satr nomerini, ikkinchi 

indeks esa ustun nomerini ko‘rsatadi. Masalan, 3x4 o‘lchamli A matritsa umuman 

m

n



m

n















5

2

9

1

6

3













5

2

9

1

6

3

2

3



1

n







9

3

0

6



1

m

























1

7

2





















8

0

1

4

7

6

5

1

3

ij

a

 

ko‘rinishda 

yoziladi 

yoki 

qisqacha

ko‘rinishdabelgilanadi. 

Indekslari  o‘zaro  teng  bo‘lgan  matritsaga  elementlariga    matritsaning 

boshdioganal  elementlari  deyiladi.  Faqat  bosh  dioganal  elementlari  noldan  farqli 

bo‘lgan kvadrat matritsa dioganal matritsa deyiladi va quyidagicha yoziladi: 

. 

Kvadrat  matritsaning  bosh  dioganaldan  yuqorida  (yoki  pastda)  joylashgan 

elementlari  nolga  teng  bo‘lsa  bunday  matritsaga  uch burchakli  matritsa  deyiladi. 

Agar matritsaning tartib nomerlarini saqlagan holda satrlarini ustun, ustunlarini satr 

ko‘rinishda  yozilsa,  bunday  matritsaga  transponirlanganmatritsa,  deb  ataladi.  A 

matritsaga transponirlangan matritsa 

 ko‘rinishda belgilanadi.  

va

. 

Agar 

o‘lchamli A va B matritsalarda ularning mos elementlari teng bo‘lsa, 

ya’ni, 

 bo‘lsa, bu matritsalar teng deyiladi. Bu holda 

 deb yoziladi. 

Matritsalar uchun 

 taqqoslash belgilarining ma’nosi yo‘q. Turli o‘lchamli 

matritsalarning  tengligi to‘g’risida ham  so‘z  yuritilmaydi. 

o‘lchamli A va B 

matritsalarning yig’indisi deb 

 elementlardan tuzilgan 

o‘lchamli 

C matritsaga aytiladi. 

Masalan, 























34

33

32

31

24

23

22

21

14

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

(

), (

1, 2 , 3;

1, 2 , 3, 4 )

ij

A

a

i

j



































nn

a

a

a













0

0

0

0

0

0

0

22

11

T

A



























5

4

0

2

0

2

1

3

0

1

2

1

A























5

2

1

1

4

0

3

2

0

2

0

1

T

A

m

n



ij

ij

b

a



B

A











,

,

,

m

n



ij

ij

ij

b

a

c





m

n



 

o‘lchamli ixtiyoriy 

 matritsalar uchun  



 

; 



 

 

tengliklar o‘rinli. Har bir elementi 0 ga teng bo‘lgan matritsa nolmatritsa deyiladi. 

  tenglikni  qanoatlantiruvchi 

  matritsa  A  matritsaga 

qarama-qarshi matritsadeyiladi. 

  tenlikni  qanoatlantiruvchi  C  matritsa  A  va  B  matritsalarning 

ayirmasideyiladi va 

 kabi belgilanadi.  

  Misol. 

 

A matritsaning 

soniga ko‘paytmasi deb 

 elementlardan tuzilgan 

 matritsaga aytiladi. Bunda quyidagi tengliklar o‘rinli bo‘ladi. 



 

; 



 

; 



 

. 

o‘lchamli  A  va 

o‘lchamli  B  matritsalarning  ko‘paytmasi  deb 

 

elementlardan 

tuzilgan 

o‘lchamli C matritsaga aytiladi va C AB deb belgilanadi. 

Misol.  

 



































































8

8

2

4

6

5

8

3

1

2

2

4

0

5

3

2

4

1

m

n



C

B

A

,

,

A

B

B

A







C

B

A

C

B

A











)

(

)

(

0

)

(

)

(













A

A

A

A

)

(

A



B

C

A





B

A







































































4

2

4

0

2

1

4

3

1

2

2

2

0

5

3

2

4

3



ij

ij

a

c







A

C





A

A

A















)

(

)

(

)

(

A

A









B

A

B

A













)

(

m

r



r

n



rj

ir

j

r

r

i

j

i

j

i

ij

b

a

b

a

b

a

b

a

c















,

1

1

,

2

2

1

1

...

m

n























 





































































































3

0

1

3

2

3

2

1

1

1

)

3

(

1

3

1

2

0

1

1

)

3

(

0

3

1

2

1

1

0

)

3

(

1

3

0

2

3

1

3

1

1

0

1

1

0

Demak,  ikkita  matritsani  ko‘paytirish  mumkin  bo‘lishi  uchun  birinchisining 

ustunlari soni ikkinchisining satrlari soniga teng bo‘lishi kerak ekan. 

Masala.1-jadvalda  ikki  sut  zavodlaridan  uchta  D

1

,  D

2 

va  D

3 

do‘konlarga 

mahsulotni  kunlik  hajmini  jo‘natish  rejasi  keltirilgan.  Har  bir  sut  zavodlaridan 

do‘konlarga eltishning transport xarajatlari mos ravishda 50, 70 va 130 pul birligiga 

teng. Har bir zavodning kunlik transport xarajatini hisoblang.  

1-jadval 

 

Sut zavodlari 

Do‘konlar 

 

D

1

 

D

2

 

D

3

 

1 

20 

35 

10 

2 

15 

27 

8 

 

Amatritsaorqalikunlikmahsulotnieltishrejasiningko‘laminiifodalovchimatritsa

ni, Bmatritsaorqalibirlikmahsulotnieltishningtransportxarajatlariniifodalaymiz,  

, В = (50, 70, 130). 

U holda transport xarajatlari quyidagicha topiladi:  

АВ

T

 = 

. 

Demak,  kunlik  transport  xarajatlari  uchun  birinchi  zavod  4750  p.b.,  ikkinchi 

zavod esa, 3680 p.b. sarf qiladi. 

Masala.  A  va  B  mahsulotlar  plastik,  po‘lat  va  shishadan  tayyorlanadi.  Har  bir 

mahsulotga qancha xom ashyo sarflanishi 2-jadvalda ko‘rsatilgan. 

2-jadval 

 

plastik 

po‘lat 

shisha 

A mahsulot 

3 

1 

0.5 

B mahsulot 

4 

0.5 

2 

 

Firmaga  xom  ashyo  ikkita 

  zavoddan  keltirilgani  uchun  transport 

xarajatlari har bir xom ashyo uchun turlicha bo‘lib, u 3—jadvalda ko‘rsatilgan. 

3-jadval 

2 0 3 5 1 0

1 5

2 7

8

A





 







  

  

  

   













8

   

27

  

15

10

  

35

  

20





































































3680

4750

130

8

 

70

27

50

15

130

10

70

35

50

20

130

70

50

Y

X ,

 

X zavod 

Y zavod 

Plastik 

10 

9 

Po‘lat 

22 

26 

Shisha 

14 

14 

 

Berilgan ma‘lumotlardan foydalanib har bir mahsulotni har bir zavodda ishlab 

chiqarish uchunsarflangan xarajatni toping. 

Harbirmahsulotgazarurbo‘lganxomashyomiqdoriniifodalovchi 

 

ishlab chiqarish matritsasini va birlik xarajatlarni ifodalovchi 

 

Birlik  xarajatlar  matritsasini  qaraymiz.  A  mahsulotning  X  zavoddagi  umumiy 

xarajatlarini toppish uchun A mahsulot uchun zarur bo‘lgan xom ashyo birliklarini 

xom ashyolarning X zavoddagi mos xarajat birliklariga ko‘paytirib o‘zaro qo‘shish 

kerak. Matritsalar ko‘paytmasi

ning 

 elementi bu xarajatni beradi. 

 

Ko‘paytmaning 

  elementi  A  mahsulotning 

  zavoddagi  xarajatlarini 

beradi.  Ikkinchi  satrning  elementlari  B  mahsulotning 

  va 

  zavodlardagi 

xarajatlarini beradi. 

Matritsalarni ko‘paytirishda har doim ham AB BA tenglik bajarilavermaydi. 

Quyidagi xossalar o‘rinli. 



 

; 



 

; 

. 















2

5

,

0

4

5

,

0

1

3

P























14

14

26

22

9

10

C

PC

11

a

















































77

79

60

59

14

14

26

22

9

10

2

5

.

0

4

5

.

0

1

3

PC

12

a

Y

X

Y



)

(

)

(

BC

A

C

AB



BC

AC

C

B

A







)

(

CB

CA

B

A

C







)

(

Matritsaning darajalari A

0

=E, 

,  

, …, 

 tengliklar 

bilan aniqlanadi. Bu yerda A kvadratik matritsa. Diagonal elementlari 1 ga, qolgan 

elementlari 0 ga teng bo‘lgan 

 

matritsabirlikmatritsadeyiladi. 

IxtiyoriyAmatritsauchun

tengliko‘rinli.  

1.2. Matritsa determinanti. 

  Ikkinchi tartibli 

 

matritsaning determinanti deb 

 songa aytiladi. Bu determinant  

 

yoki 

 simvol, yoki biror   harfi bilan belgilanadi. 

  Misol.  

. 

Uchinchi tartibli 

   

 

 

 

 

(1) 

matritsaning determinanti deb  

   

(2) 

songa aytiladi. (2) ifoda juda sodda tarkibga ega. (1) matritsa elementlaridan o‘ngda 

uning 1- va 2- ustunlarini yozamiz. 

A

A



1

AA

A



2

A

A

A

n

n

1



































1

...

0

0

...

...

...

...

0

...

1

0

0

...

0

1

E

A

EA

AE



















22

21

12

11

a

a

a

a

A

12

21

22

11

a

a

a

a



22

21

12

11

a

a

a

a

|

| A



10

4

1

)

3

(

2

3

1

4

2







































33

32

31

23

22

21

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

33

21

12

32

23

11

31

22

13

32

21

13

31

23

12

33

22

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a















 

(2) 

ifodadato‘g’richiziqlarbilano‘chirilganelementlarningko‘paytmalariishtiroketgan. 

Pastgayo‘nalganto‘g’richiziqlardagielementlarko‘paytmasimusbatishorabilan, 

qolganlarimanfiyishorabilanolingan. 

Misol. 

 

tartibli  

   

 

 

 

 

(3) 

kvadrat matritsani qaraymiz. Agar matritsaning i satrini va 

ustunini o‘chirsak, 

n-1 tartibli 

 

matritsa hosil bo‘ladi. Bu matritsaning determinanti (1.3) matritsa 

 elementning 

minori  deyiladi  va 

  bilan  belgilanadi. 

  son 

  elementning 

algebraik to‘ldiruvchisi deyiladi va 

 bilan belgilanadi.  

32

31

33

32

31

22

21

23

22

21

12

11

13

12

11

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

 















  

1

0

2

1

0

2

1

0

d e t

3

2

2

3

2

2 3

2

2

4

5

2

4

5

2

4

1

2 5

0

2

2

2

3 4

2 2

2

4

2

1

5 3 0

1 0

0

2 4

8

8

0

3 4 .

A







 











 

  

 

  

  

  



 

 

  

 











 



n































nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...

...

...

...

...

...

...

2

1

2

22

21

1

12

11



j









































































nn

j

n

j

n

n

n

i

j

i

j

i

i

n

i

j

i

j

i

i

n

j

j

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

....

...

...

...

1

,

1

,

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

,

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

,

1

1

1

,

1

1

,

1

11

ij

a

ij

M

ij

j

i

M





)

1

(

ij

a

ij

A

n-tartibli  (3)  matritsaning 

  determinanti  uning  ixtiyoriy  ustuni  (satri) 

elementlarini ularga mos algebraik to‘ldiruvchilarga ko‘paytmalarining yig’indisiga 

teng, yani 

, 

, 

, 

. 

Misol.  D  = 

,  determinantni  ikkinchi  ustun  bo‘yicha  yoyib 

hisoblang. 

. Determinantni ikkinchi ustun bo‘yicha yoyamiz: 

D = 

 

= 

. 

Misol.Bosh  dioganaldan  yuqorida  joylashgan  elementlari  nolga  teng  bo‘lgan 

determinantni hisoblang 

A = 

, 

Determinantni birinchisatrbo‘yichayoyamiz: 

. 

Hosil bo‘lgan determinantni yana birinchi satr bo‘yicha yoyamiz: 



nj

nj

j

j

j

j

A

a

A

a

A

a











...

2

2

1

1

n

j

,...,

2

,

1



in

in

i

i

i

i

A

a

A

a

A

a











...

2

2

1

1

n

i

,...,

2

,

1



2

       

1

        

4

1

-

     

5

        

3

3

       

2

-

      

1

1 2

1 2

2 2

2 2

3 2

3 2

a

A

a

A

a

A







 











20

1

-

   

3

3

      

1

1

1

2

     

4

3

      

1

1

5

2

     

4

1

-

   

3

1

2

2

3

2

2

2

1





























1 1

2 1

2 2

3 1

3 2

3 3

1

2

3

0

0

... 0

0

... 0

... 0

- - - - - - - - - - - - - - - - -

...

         

 

    

 

 

   

 

 

 

 

 

 

            

  

 

     

       

  

 

      

     

  

 

     

   

 

 

n

n

n

n n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2 2

3 2

3 3

1 1

1 1

1 1

2

3

0

... 0

... 0

- - - - - - - - - - -

...

 

 

 

 

        

  

 

    

 

 

 

 

   

 

n

n

n n

a

a

a

A

a

A

a

a

a

a





. 

va h.k. davom ettirsak 

. 

Determinantlar uchun quyidagi xossalar o‘rinli: 



  Ikki  ustuni  (satri)ning  o‘rni  almashtirilsa,  determinantning  ishorasi 

almashadi; 



  Biror ustuni (satri)ning elementlari nolga teng bo‘lsa, determinant nolga 

teng; 



  Agar  biror  ustuni  (satri)ning  elementlari  biror  songa  ko‘paytirilsa, 

determinant  shu  songa  ko‘payadi,  ya’ni  biror  ustun  (satr)  elementlarining 

umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqariga chiqarish mumkin; 



  Ikki  ustuni  (satri)  elementlari  mos  ravishda  proportsional  bo‘lsa 

determinant nolga teng; 



  Biror ustuni (satri)ning elementlari bir songa ko‘paytirilib boshqa ustuni 

(satri)ning mos elementlariga qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi. 

Misol. Determinantni hisoblang. 

. 

. Determinantning ikkinchi satridan boshlab, barcha satrlarni birinchi satrga 

elementlarini mos ravishda qo‘shamiz. Natijada quyidagi matritsaga kelamiz: 

.

 

3 3

4 3

4 4

1 1

2 2

3

4

0 ... 0

... 0

- - - - - - - - - - -

...

 

 

 

 

       

  

 

    

 

 

   

n

n

n n

a

a

a

A

a

a

a

a

a





1 1

2 2

n n

A

a a

a



L

1

2

3 ...

-1

0

3 ...

-1

- 2

0 ...

- - - - - - - - - - - - - -

-1

- 2

- 3 ... 0

n

n

n

































              

    

              

  

  

        

  

  

  

  

  

1

2

3

0

2

6

2

0

0

3

2

0

0

0

                ...  n

                ...   n

                 ...  n

                ...   n

L

Bu  matritsaning  qiymati  berilgan  matritsa  qiymatiga  teng  bo‘ladi.  Bu 

uchburchakli matritsa bo‘lgani uchun uning qiymati 

 tengdir. 

 

1.3. Matritsa rangi. 

Ixtiyoriy A matritsaning k ta yul va k ta ustunlarini ajratamiz. Ajratilgan ustun 

va  satrlar  kesishgan  joyidagi  elementlardan  k  tartibli  matritsa  tuzamiz.  k  tartibli 

matritsaning determinantiga matritsaning k tartibli minori deyiladi. Noldan farqli 

minorlarning  eng  katta  tartibiga  matritsaning  rangi  deyiladi  va 

  kabi 

belgilanadi.  Agar  matritsaning  rangi    bo‘lsa  unda  noldan  farqli    tartibli  minor 

mavjud  bo‘lib,  tartibi 

  dan  katta  bo‘lgan  barcha  minorlar  nolga  teng  bo‘ladi. 

Ravshanki quyidagi munosabat o‘rinlidir 

0 



 r(A) 



 min (m, n). 

Matritsa  rangi  kengaytirish  yoki  elementar  almashtirishlar  yordamida 

aniqlanadi. Matritsa rangini kengaytirish usulida yechishda kichik tartibli minordan 

boshlab yuqori tartibli minorlarni hisoblashga o‘tiladi. Agar noldan farqli k tartibli 

minor hisoblangan bo‘lsa k+1 tartibli minor k tartibli minorni kengaytirish hisobiga 

amalga oshiriladi.  

Matritsani elementar almashtirishlarga quyidagilar kiradi: 

1) ixtiyoriy ikki satrlarni (ustunlarni) almashtirish, 

2) satr (ustun) elementlarini noldan farqli songa ko‘paytirish, 

3)  biror  satrga  (ustunga)  boshqa  satr  (ustun)  elementlarini  biror  songa 

ko‘paytirib qo‘shish. 

Agar biror A matritsani chekli sondagi elementar almashtirishlar yordamida  B 

matritsaga  keltirilsa  bular  ekvivalent  matritsalar  deyiladi.  Ekvivalent  matritsa 

ranglari teng bo‘ladi. Matritsalar ekvivalent bo‘lsa A~B ko‘rinishda belgilanadi.  

Matritsaning boshlang’ich bosh dioganallari 1 bo‘lib (bosh dioganaldagi 1 lar 

soni nol bo‘lishi ham mumkin) qolgan elementlar nolga teng bo‘sa bunday matritsa 

kanonik ko‘rinishdagi matritsa deyiladi. 

Misol. Quyidagi matritsa kanonik matritsadir. 

!

n

)

( A

r

r

r

r

. 

Elementar almashtirishlar yordamida har qanday matritsani kanonik ko‘rinishga 

keltirish mumkin. 

Misol. Kengaytirish usuli bilan matritsa rangini toping. 

. 

Birinchi  tartibli  minorlar  matritsa  elementlaridan  iborat.  Masalan,  birinchi 

tartibli  minor  (element)  sifatida 

  elementni  olaylik,М

1

  =  1.  Ikkinchi  satr  va 

uchinchi  ustun  yordamida  kengaytirib  M

2 

= 

,  noldan  farqli  minor  hosil 

qilamiz.  М

2   

minorni  kengaytirib  uchinchi  tartibli  minor  hosil  qilamiz.  Bunday 

minorlar  ikkita  (ikkinchi  yoki  to‘ttinchi  ustunlar  yordamida).  Bu  minorlarni 

hisoblaymiz: 



 0. 

Shunday qilib kengaytirilgan uchinchi tartibli minorlarning qiymatlari nolga 

teng bo‘lgani uchun matritsa rangi 2 ga teng. 

Misol. Quyidagi matritsa rangini toping va kanonik ko‘rinishga keltiring:  

А= 

 . 

Ikkinchi satrdan birinchisini ayirib, o‘rinlarini almashtiramiz: 

. 





















0

    

0

    

0

    

0

   

0

0

    

0

    

0

    

1

   

0

0

    

0

    

0

    

0

    

1





















6

      

6

      

2

-

  

1

-

0

       

3

      

4

      

2

2

-

    

1

-

    

2

      

1

11

a

1       - 1

2        3

6

     

6

    

1

-

0

     

3

     

2

2

-

  

1

-

   

1

  

,

0

6

      

2

-

   

1

-

3

      

4

       

2

1

-

    

2

       

1



2

3

5

3

2

3

4

3

- 1

- 3

5

6

- 1

3

- 5

              

  

               

   

         

         

























1

1

2

2

1

2

3

5

- 3

- 2

5

6

- 1

3

- 5

         -          

               

   

         

         























Birinchi  satrni 2  ga ko‘paytirib  ikkinchi satrdan  ayiramiz;  birinchi satrni  5 ga 

ko‘paytirib uchinchidan ayiramiz: 

; 

uchinchi satrdan ikkinchini ayirib,  

В = 

, 

B  matritsa  A  ga  ekvivalentdir.  B  matritsa  rangi  2  ga  teng  shuning  uchun  A 

matritsaning  rangi  ham  2  ga  teng:  r(A)=2.  B  matritsani  kanonik  ko‘rinishga 

keltiramiz.  Birchi  ustunni  kerakli  songa  ko‘paytirib,  qolgan  ustunlardan  ayirish 

hisobiga birinchi satrning birinchi elementidan boshqa barcha elementlarini nolga 

keltiramiz. Ikkinchi ustundan qolgan ustunlarni kerakli songa ko‘paytirib, kanonik 

matritsa hosil qilamiz:  

. 

1.4.  Teskari matritsa. 

Kvadratik matritsani olaylik.  

. 

Matritsa determinatini 



 =det A bilan belgilaylik.  

Agar 

 bo‘lsa A ga xosmas, agar 

 bo‘lsa A ga xos matritsa deyiladi.  

Agar A va B matritsalar uchun АВ = ВА =E bo‘lsa B ga A ga teskari matritsa 

deyiladi.  

1

1

2

2

1

0

1

9

- 7

0

0

1

9

- 7

0

         -          

               

       

               

     























1

1

2

2

1

0

1

9

- 7

0

0

0

0

0

0

         -          

               

       

                        























1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

                        

                          

                        





















1 1

1 2

1

2 1

2 2

2

1

2

...

...

...

...

...

...

...

n

n

n

n

n n

a

a

a

a

a

a

A

a

a

a



























  

 

 

   

 

 

   

 

 

   

  

 

    

    

    

 

  

 

0





0





Teorema.A  matritsaning  teskari  matritsasi  mavjud  bo‘lishi  uchun  uning 

determinanti noldan farqli bo‘lishi zarur va yetarli. 

A  ga  teskari  matritsa  А



1 

ko‘rinishda  belgilanadi.  Teskari  matritsa  quyidagi 

formula yordamida hisoblanadi.  

А



1

 = 

, 

Bu yerda  А

 i j

  a

 i j 

elementning algebraik to‘ldiruvchisi.  

Misol. Berilgan matritsaga teskari matritsani toping  

А = 

 . 

Matritsa determinantini hisoblaymiz.  

det А = 

 = 27 



 0, 

bo‘lgani uchun teskari matritsa mavjud va uni  

, 

formula yordamida topamiz. Algebraik to‘ldiruvchilarni aniqlaymiz: 

   

 

   

 

 

 

 































n n

 n

 n 

 

n 

n 

  

  ... A

  A

A

 ...

    ...   

...    ...

  ... A

   A

A

 ... A

   A

A

2

1

2

22

12

1

21

11

1





















2

      

2

      

1

2

-

   

1

      

2

1

      

2

-

   

2

2

      

2

       

1

2

-

   

1

       

2

1

      

2

-

    

2

1 1

2 1

3 1

1

1 2

2 2

3 2

1 3

2 3

3 3

1

  

A     A     A

A

A     A

   A

Δ

A     A

  A

























,

6

4

2

2

     

2

2

-

   

1

)

1

(

1

+

1

11











A

,

6

)

2

4

(

2

      

1

2

-

   

2

)

1

(

2

+

1

12















A

,

3

1

4

2

     

1

1

     

2

)

1

(

3

+

1

13











A

,

6

)

2

4

(

2

     

2

  

1

     

2

)

1

(

1

+

2

21

















A

,

3

1

4

2

     

1

1

     

2

)

1

(

2

+

2

22











A

,

6

)

2

4

(

2

      

1

2

-

   

2

)

1

(

3

+

2

23















A

   

 

 

Demak, 

. 

Teskari matritsani hisoblashni Gauss usulida ham amalga oshirish mumkin. Bu 

usul quyidagi qadamlardan iborat bo‘ladi: 

1)  berilgan  A  matrtsaning o‘ng  tomoniga  uning  tartibiga  teng  bo‘lgan  birlik  E 

matritsani yoziladi; 

2)  Gauss usulidan foydalanib kengaytirilgan 

matrtsada A matritsa birlik 

matritsaga keltiriladi; 

3)  hisoblash jarayonida E matritsa o‘rnida teskari matritsa 

 hosil bo‘ladi. 

Sxematik  ko‘rinishda  teskari  matritsani  topish  jarayoni 

 

ko‘rinishda bo‘ladi. 

Misol. Elementar almashtirishlar yordamidaА= 

 matritsaga teskari 

matritsani toping. 

Berilgan  matritsaning  o‘ng  tomoniga  birlik  matritsani  joylashtiramiz:

.  Bu  matritsaning  chap  qismini  ustun  bo‘yicha  elementar 

almashtirishlar  yordamida  birlik  matritsaga  keltiramiz. Matritsaning  chap  qismida 

qanday  almashtirishlar  bajarsak  o‘ng  qismida  ham  shunday  almashtirishlar 

bajaramiz. 

Birinchi 

va 

ikkinchi 

ustunlar 

o‘rinlarini 

almashtiramiz:   

,

3

1

4

2

-

  

1

 

1

    

2

)

1

(

1

+

3

31













A

,

6

)

2

4

(

2

-

  

2

1

     

2

)

1

(

2

+

3

32















A

,

6

4

2

1

      

2

2

-

   

2

)

1

(

3

+

3

33











A















































2

      

2

-

    

1

2

      

1

     

2

-

1

      

2

      

2

9

1

6

       

6

-

     

3

6

       

3

      

6

-

3

       

6

       

6

27

1

1

A

(

|

)

A

E

1

A



1

(

|

)

(

|

)

A E

E

A

























2

       

3

      

7

4

       

2

      

5

1

-

    

1

      

2





















1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

 

2

3

7

4

2

5

1

-

1

2



.  Uchinchi  ustunga  birinchi  ustunni 

qo‘shamiz,  ikkinchi  ustunga  birinchi  ustunni  -2  ga  ko‘paytirib  qo‘shamiz: 

.  Birinchi  ustundan  ikkinchi  ustunni  2  ga  ko‘paytirib 

ayiramiz, 

uchinchidan 

ikkinchi 

ustunni 

6 

ga 

ko‘paytirib 

ayiramiz: 

.  Birinchi  va  ikkinchi  ustunlarga  uchinchi  ustunni 

qo‘shamiz: 

. 

Oxirgi 

ustunni 

-1 

ga 

ko‘paytiramiz: 

.  Vertikal  chiziqdan  o‘ng  tomonda  joylashgan  kvadratik 

matritsa 

berilgan 

matritsaga 

teskari 

matritsa 

bo‘ladi. 

Shunday 

qilib, 

. 

 





















1

0

0

0

1

0

0

0

1

 

 

2

3

7

4

2

5

1

-

1

2





















1

0

0

0

0

1

0

1

0

 

 

2

7

3

4

5

2

1

-

2

1





















1

0

0

1

2

-

1

0

1

0

 

 

5

1

3

6

1

2

0

0

1





















1

0

0

13

2

-

5

6

-

1

2

-

 

 

1

-

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

0

6

13

1

0 0

1 0

0 - 1

   

- 8 - 5 -

18 11

1

1









































1

-

1

1

13

-

11

18

6

5

-

8

-

 

 

1

0

0

0

1

0

0

0

1



















 





1

-

     

1

       

1

 

13

-

   

11

     

18

6

      

5

-

    

8

1

A