I. harakat tenglamalari

I. HARAKAT TENGLAMALARI. 

  

Mexanik  sistema  holatini  aniq  belgilash  uchun  zarur  bo’lgan  mustaqil 

kattaliklar  soni  sistema  erkinlik  darajasi  deyiladi.  Masalan:  N   ta  moddiy  nuqtadan 

iborat  sistemaning  erkinlik  darajasi  3N ga  tengdir.  Mustaqil  kattaliklar  albatta 

nuqtalarning dekart koordinatalari bo’lishi shart emas. 

Erkinlik darajasi  N  bo’lgan sistema holatini to’la xarakterlovchi  N  ta istalgan 

1

2

,

...

N

q q

q

  kattaliklar  shu  sistemaning  umumlashgan  koordinatalari  deb, 

i

i

dq

q

dt



 

hosilalar esa uning umumlashgan tezliklari deb ataladi. 

Tezlanishlar 

i

q

  ni  koordinatalar 

i

q

  va  tezliklar 

i

q

  bilan  bog’lovchi 

munosabatlar harakat tenglamalari deyiladi. 

Mexanik  sistemalar  harakat  qonunining  eng  umumiy  ifodasi  eng  kichik  ta’sir 

printsipi (yoki Gamilton printsipi) deb ataluvchi printsip orqali beriladi.  

Bu printsipga ko’ra har bir mexanik sistema Lagranj funktsiyasi deb ataluvchi  



 



1

2

1

2

,

, ...

,

,

, ...

,

, ,

N

N

L q q

q

q q

q

t

L q q t



 

(1.1) 

funktsiya bilan xarakterlanadi. 

Harakat tenglamasi esa ta’sir (ta’sir integrali, ta’sir funktsiyasi) deb ataluvchi 

quyidagi ifodaning  

2

1

( , , )

t

t

S

L q q t dt





 

(1.2) 

harakat  davomida  minimal  (ekstremum)  qiymatga  erishishi  shartidan  topiladi 





0

S





 va Lagranj tenglamalari deb ataladi: 

0

i

i

d

L

L

dt q

q













  





1,2 ...

i

N



 

(1.3) 

Lagranj  funksiyasi 

L   ma’lum  aniqlikda  topiladi.  Bir-biridan  koordinata  va 

vaqtning  ixtiyoriy  funktsiyasidan  olingan  to’la  hosilaga  farqlanuvchi  Lagranj 

funktsiyalari bir xil harakat tenglamalariga olib keladi:  





 

 

, ,

,

,

,

d

L q q t

L q q t

f q t

dt







 

(1.4) 

 

Lagranj  funktsiyasining  fizik  ma’nosi  uning  kinetik  va  potentsial  energiyalar 

ayirmasiga tengligidadir:  

L

T

U

 

 

(1.5) 

T - kinetik energiya, U - potentsial energiya. 

To’la energiya Lagranj funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalanadi:  

i

i

i

L

E

q

L

q











 

(1.6) 

Umumlashgan impulsning aniqlanishi esa quyidagichа: 

i

i

L

P

q







 

(1.7) 

Umumlashgan kuch ham xuddi shuningdek aniqlanadi: 

i

i

L

F

q







 

(1.8) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.1. Berilgan Lagranj funktsiyasidan harakat tenglamalarini topish. 

1-masala. 

2

2

2

2

q

q

L





. 

Yechilishi.  Masalani  yechishda  Lagranj  tenglamasining  (1.3)  ko’rinishidan 

foydalaniladi. Masalaning berilishiga asosan: 

 

;

L

d

L

d

q

q

q

q

dt q

dt





 









. 

Demak, Lagranj tenglamasiga ko’ra  q

q

 

. 

 

2–masala.  

2

2

tq

L



 

Yechilishi. Lagranj funktsiyasi vaqtga oshkora bog`liq holda berilgandir. 

 

0,

L

d

L

d

tq

q

t q

q

dt q

dt









 





 

Demak, 

0,

q

t q





 

q

q

t

 

 . 

 

3–masala. 

2

2

2

sin

cos

2

2

L



 











. 

Yechilishi.  Lagranj  funktsiyasining  berilishidan  sistemaning  erkinlik  darajаsi 

2

N



 ga tengdir. 

1

q

 va 

2

q

 larga esa 



 va 



 lar mos keladi. Lagranj tenglamasi (1.1) 

esa har ikkala koordinataga mos ravishda 2 ta tenglamadan iborat bo`ladi: 

d

L

L

dt















, 

 

d

L

L

dt















. 

Lagranj funktsiyasining ko`rinishidàn: 

2

sin

cos

sin

L



 

















, 

 

 

d

L

d

dt

dt















, 

 

0

L









, 

2

2

( sin

)

sin

2

sin

cos

d

L

d

dt

dt





 





 









 









. 

Demak,  

2

1

sin 2

sin

2













,  

2

ctg







 

. 

 

 

 

1.1.–Misollar. 

Quyidagi  Lagranj  funktsiyalari  bilan  xarakterlanuvchi  sistemalarning 

tezlanishlarini toping: 

1. 





2

2

2

1

2

2

q

q

q

L







. 

2. 

2

1

L

q

q

  



. 

3. 

2

2

2

1

2

2

2

r

r

L









. 

4. 

1

1

2

L

Uv

Uv





. 

5. 









2

2

1

2

L

x

y

xy

yx









. 

6. 



 



2

2

2

2

1

2

L

x

y

x y

xy









. 

7. 



 



2

2

2

2

1

1

2

2

L

x

xy

y

x

xy

y













. 

8. 









2

2

2

2

2

1

2

2

m

L

mg



 













. 

9. 





2

2

2

1

2

1

2

2

1

2

2

2

m

m

k

L





 









. 

10. 













2

2

2

2

cos

2

L

ma



 

  













 

11. 









2

2

2

2

1

2

1

1 2

2

2

m

L





 

  











 

12. 

2

2

2

1 1

2 2

2

1

(

)

2

m

m

L





  









. 

13. 





2

2

2

2

t

e

x

x

L









. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.2. Ekvivalent Lagranj funktsiyalari. 

 

Bir  birlaridan  doimiyga  va  koordinata  va  vaqtning  ixtiyoriy  funktsiyasidan 

olingan to'la hosilaga farqlanadigan, hamda ixtiyoriy doimiyga ko'paytirish natijasida 

hosil bo`ladigan Lagranj funktsiyalari bir xil harakat tenglamasiga olib keladi. 

To`la  hosilani  tashlab  yuborish  yo'li  orqali  ekvivalent  Lagranj  funktsiyasini 

tuzishga masalalar ko'raylik: 

1-masala.    

3

0,

k

x

x

a





 

Yechilishi.  Berilgan  ifodaga 

cos

x

t



  ni  qo'shib  va  ayirib  yozish  natijasida 

quyidagi ifodani olamiz: 









sin

cos

cos

sin

cos

sin

d

d

L

x

t

x

t

x

t

x

t

x

t

L

x

t

dt

dt

  











 



, 

 

cos

L

x

t

  

. 

L  ham,  L



 ham bir xil harakat tenglamasiga keltirishini ko'raylik: 

0

L

x









,  



 



sin

cos

d

L

d

t

t

dt

x

dt











, 

  cos

0

t



. 

 

2-masala.  Dekart  koordinatalari  bilan  quyidagicha  bog`lanishda  bo`lgan 

koordinata sistemasida moddiy nuqtaning Lagranj funksiyasi yozilsin: 

2

v

x







,  y

v





. 

Yechilishi.  Ma`lumki,  moddiy  nuqtaning  Lagranj  funktsiyasi  quyidagicha 

aniqlanadi:  

2

2

2

( )

( )

2

2

m dS

m dS

L

T

U

U q

U q

dt

dt





  















. 

Bu yerda 

2

dS - мазкур koordinat sistemasidagi uzunlik elementining kvadrati. 

( )

U q – 

faqatgina koordinataga bog`liq potensial energiya. 

T -

 

kinetik energiya. 

Dekart koordinat sistemasida:  

2

2

2

2

dS

dx

dy

dz







 va 

2

2

2

(

)

( , , )

2

m

L

x

y

z

U x y z









. 

Yuqoridagi bog`lanishdan:  

2

v

x







,  

 

1

2

2

v

v

y

v











  va 

2

0,

k

x

x







. 

3-masala. Egri chiziq bo`ylab harakatlanayotgan zarraning Lagranj 

funksiyasi tenglamasi yozilsin. 

Yechilishi. Egri chiziqli ortogonal koordinat sistemalarning Dekart 

koordinat sistemalari bilan bog`lanish yaxshi ma'lum. Koordinat tekisliklari 

kesishgan yerda hosil bo`lgan chiziqlarning tenglamalari odatda parametrik 

ko`rinishida beriladi: 

 

i

i

x

x q



,  q - parametr. 

 

 

 

2

1

,

2

L q q

mh q q

V q





,  

 

2

i

dx

h q

dq





 







,  

 

 





V q

U r q



. 

Bu erda 

 

h q  - Lame koofitsiyentlari Lagranj tenglamasiga (1.3) dan: 

 

2

0

2

m dh

V

mh q q

q

dq

q











 

Agardan yoyning uzunligini kiritsak:  

 

S

h q q



, 

  

 

S

h q q



,  

 

 

1

U r

V

mS

r

S

q

h

 



 

 

 



. 

Ekvivalent tenglamani olamiz. 

Parametr sifatida yoy uzunligini olsak 

 

i

i

x

x S



 Lagranj funktsiyasi 

 





2

2

m

L

S

U r S





 ko`rinishi oladi. 

 

4-masala. Lagranj tenglamasini (1.3)  





 

 

, ,

,

f

L q q t

L qq

q t

t











 

almashtirishda o`zgarmay qolishini ko`rsating. 

Yechilishi. Haqiqat ham 

i

i

df

f

f

q

dt

t

q













 ekanligini hisobga olsak (1.3) 

tenglamaga 

z

z





 almashtirish bajarish natijasida birinchi hadida 

i

d

f

dt q





 ga 

teng "ortiqcha" qo`shiluvchi, ikkinchi hadida esa xuddi shunday 

i

df

q

dt

 







 



 

"ortiqcha" qo`shiluvchilar paydo bo`lishadi va ular bir-birlari bilan qisqarib 

ketishadi.  

Xuddi shuningdek 

 

z

z

t



  

 

almashtirish ham Lagranj tenglamasini 

o`zgartirmay qolishini ko`rsatish qiyin emas.   

 

1.2.–

 

Misollar. 

To`la  hosilani  tashlab  yuborish  yo`li  bilan  ekvivalent  Lagranj  funksiyasi 

tuzing: 

1. 

2

1

(

)

2

L

q

t

 



. 

2. 

2

1

(

)

2

L

q

q

 



. 

3. 

L

xy

yx

 



. 

4. 

L

txx

 

. 

5. 

cos

L

t



 

. 

6. 





2

2

2

1

2

L

q

q



 



. 

7. 





2 2

2

2

m

L

axt

a t

 



. 

8. 





2

2

sin

2

ml

L

ml

t



 

 

 





. 

9. 

2

sin

sin

cos

2

t

L

t









 



. 

10. 

2

sin sin

cos

L

t

t









 



 

11. 

sin

L

a e

t

 





 

 

12. 

2

2

(

cos )

2

2

t

t

m

me

L

e











 





. 

Moddiy nuqtaning Lagranj funktsiyasini yozing: 

13. Sferik koordinat sistemasida. 

14. Qutb koordinat sistemasida. 

15. Silindrik koordinat sistemasida. 

16. Dekart koordinatalari bilan quyidagi bog`lanishda bo`lgan koordinatalarda: 

а) 









sin

,

1 cos

x

R

y

R















. 

b) 

,

x

y



 



 



. 

v) 

,

,

x Uv y

v U z

z



 



. 

g) 

,

,

U

x

y

vU z

z

v







. 

d) 

,

x

y



 





 

. 

e) 

,

,

U

x

Uv y

z

z

v







. 

j) 

,

,

U

x

x y

z

U v

v







. 

z) 

cos ,

sin ,

2

x

y

z

 

















. 

i) 

2

2

(

1)(1

) cos ,

x

 











 

2

2

(

1)(1

) sin ,

y













  z





. 

17. 

2

1

L

x

  

  Lagranj  funksiyasida 

,

x

qch

sh

  





 

,

t

q sh

ch

  





 

almashtirish bajarib  q  va 



 lar orqali Lagranj funksiyasining ifodasi topilsin.