I. Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan, Kramer va matrisalar usulida yeching

I.Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan, Kramer va matrisalar usulida yeching
1.Gauss-Jordan usuli(Kengaytirilgan matrisani qo‘llash)

n ta noma’lumli n ta chiziqli tеnglamalar sistеmasini yеchishning samarali usullaridan biri sistеmaning kеngaytirilgan matritsasini qo‘llashdan iborat bo‘lib,

bu usul nazariy jihatdan tеskari matritsani qurish mavzusi matеriallariga asoslangan.Gauss usulining Jordan modifikatsiyasi mazmun-mohiyati quyidagidan iborat: dastlabki normal ko‘rinishda berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi quriladi. Sistemani teng kuchli sistemaga aylantiruvchi elementar almashtirishlardan foydalanib, kengaytirilgan matritsaning chap qismida uchburchakli matritsa hosil qilinadi. Yoki uning qismostida birlik matritsa hosil qilinadi.Bunda, birlik matritsadan o‘ngda yechimlar ustuni hosil bo‘ladi. Tenglamalar sistemasini kengaytirilgan matritsadan foydalanib yechish Gauss –Jordan modifikatsiyasi ham deb yuritiladi.
1-mashq.Tenglamalar sistemasini yeching:

Yechish.Gauss almashtirishlarini amalga oshirishda almashtirishlarni tenglamalarning o‘zi bilan emas, ularning koeffisentlaridan tuzilgan kengaytirilgan matrisa yordamida amalga oshirish qulaydir. Sistemaning kengaytirilgan matrisasi:

1-qadam:
1-hol.Ko‘rinib turibdiki,  Demak, birinchi satrni mos ravishda
(-1) va (-3) ga ko‘paytirib, ikkinchi va uchunchi satrga qo‘shamiz va ikkinchi va uchunchi satirdan ni(koeffisentini nolga aylantiramiz) yo‘qotamiz:

2-qadam:  .Endi ikkinchisatrni (-4) ga ko‘paytirib, uchunchi satrga qo‘shamiz va uchunchi satrdan ni(koeffisentini nolga aylantiramiz)
yo‘qotamiz:

Oxirgi matrisadan foydalanib, ekvivalent tenglamalar sistemasini yozamiz:

Bundan, teskari yo‘l bilan, oxirgi tenglamadan  ikkinchisidan

Birinchi tenglamadan

ni yoki (2;-3;-1) –sistemasining yechimini topamiz.
2-hol.Bu holda sistemani teng kuchli sistemaga aylantiruvchi elementar almashtirishlardan foydalanib, kengaytirilgan matritsaning chap qismida yoki uning qism ostida birlik matritsa hosil qilinadi. Bunda, birlik matritsadan o‘ngda yechimlar ustuni hosil bo‘ladi. Gauss-Jordan usulini quyidagicha sxematik ifodalash mumkin: ~ . Bunda, A chiziqli tеnglamalar sistеmasining asosiy matritsasi, В esa ozod hadlar ustun-matritsasi.

Demak, sistemasining yechimi: (2;-3;-1) .

2 Kramer usuli
Uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
(1)

Yechish. Tenglamalar sistemasini yechish uchun noma’lumlar oldidagi koeffisientlardan iborat determinant va uchta yordamchi determenant tuzamiz.
, , ,
Bu determenantlarni hisoblab, agar bo‘lsa ,quyidagi nisbatlar
, ,
orqali tenglamalar sistemasining yechimlarini topamiz.
Uchinchi tartibli determenant quyidagicha hisoblanadi.

3 Matrisa usuli. Quyidagi matrisalarni tuzamiz:
, ,
U holda, (1) tenglamalar sistemasini quyidagicha yozish mumkin.
АХ=В,
Bu yerdan, agar 0 bo‘lsa, u holda
, va
So‘ngi tenglik tenglamalar sistemasining matrisaviy yechimidan iborat.
Bu yerda, - Aga teskari matritsa, Е esa birlik matrisa.
2-mashq. Uch noma’lumli uchta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yeching.
1)Kramer usuli. Avvalo, noma’lumlar oldidagi koeffisentlardan tuzilgan determinantni hisoblaymiz.

Demak,Δ0.Endi yordamchi determinantlarni hisoblaymiz:
,
,
.
Yechim, , , ,
yoki , х=-1, y=0, z=1;Javob (1;0;1).
2) Matrisaviy usul. Belgilashlar kiritamiz:

Tenglamalar sistemasini matrisaviy usulda yechish uchun ham avvalo hisoblaymiz, chunki, bo‘lsa, A matrisaga teskari matrisa mavjud va sistema yagonayechimga ega bo‘ladi.

Demak, . Algebraik to‘ldiriruvchilarni hisoblaymiz va teskari matritsani topamiz:
, ,
, , ,
, , yoki
Shunday qilib,

Bu yerdan, x=-1,y=0,z=1.

Birinchi topshiriq


Tenglamalar sistemasini Gauss-Jordan, Kramer va matrisalar usulida yeching
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.


Talaba gurux jurnalidagi raqamiga mos variantni bajarishi lozim.