Id chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari 1 Chekli farq(ayirma)lar usulining oddiy misoli

ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
2.1 Chekli farq(ayirma)lar usulining oddiy misoli
Keling, model muammosini ko'rib chiqaylik

cheklangan farq(ayirma) usuli yordamida umumiy protsedura quyidagi kabi tasvirlanadi:
1. To‘rni yarating. To'r - bu differensial tenglamaning taxminiy yechimini ifodalovchi funksiya qiymatlarini qidiradigan chekli nuqtalar to'plami. Masalan, butun son parametri n > 0 bo'lsa, biz bir xil Dekart to'ridan foydalanishimiz mumkin

n parametri aniqlik talabiga muvofiq tanlanishi mumkin. Agar biz taxminiy yechim to'rtta muhim raqamga ega bo'lishini xohlasak, masalan
yoki undan kattaroq raqamni olishimiz mumkin.
2. to`rning har bir nuqtasida hosilani qandaydir chekli farq(ayirma) formulasi bilan ifodalash orqali yechim noma’lum bo‘lgan joylarga oid algebraik tenglamalar tizimini olish. Ikki marta differentsiallanuvchi funktsiya uchun bizda
borligini unutmang.
Shunday qilib, x_i to'r nuqtasida biz ikkinchi darajali hosila uchun chekli farq(ayirma) formulasini olish uchun unga yaqin funktsiya qiymatlari yordamida ni xatolik bilan taxmin qilishimiz mumkin.

ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma)lar usuli taxminiy xato bilan ifodalangan formulasi.
Cheklangan farq(ayirma) usulida biz har bir to'r nuqtasida differensial tenglamani, yuqoridagi bilan almashtiramiz

bu erda xatolik mahalliy kesish xatosi deb ataladi (keyinroq qayta ko'rib chiqiladi.)
Shunday qilib, u(x) uchun hamma larda umumiy chekli farq(ayirma) (FD) yechimini (taxminan) quyidagi algebraik tenglamalarning chiziqli tizimining yechimi (agar u mavjud bo‘lsa) sifatida aniqlaymiz:



… = …

… = …


E'tibor bering, har bir to'r nuqtasidagi chekli farq(ayirma) tenglamasi uchta to'r nuqtasida,
ya'ni xi-1, Xi va xi+1 da yechim qiymatlarini o'z ichiga oladi. Ushbu uchta to'r
nuqtalari to'plami chekli farq(ayirma) trafareti deb ataladi.
3. Algebraik tenglamalar sistemasini yeching, har bir to`r nuqtasida taxminiy
yechimni oling. Algebraik tenglamalar sistemasini matritsa va vektor
shaklida yozish mumkin
h2
U2
U3
f(x2)
f(x3)
f(xn-2)
h2 h2
Un-2
Un-1
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
(2.1)
03

2.1 Chekli farq(ayirma)lar usulining oddiy misoli
11
Yuqoridagi chiziqli tenglamalarning tridiagonal tizimini O(C) operatsiyalarida
Crout yoki Cholesky algoritmlari yordamida samarali yechish mumkin,
masalan, Burden and Faires (2010) ga qarang, bunda C doimiy, odatda bu holatda C= 5.
4. Kompyuter kodini amalga oshirish va disk raskadrovka. Chiqishni olish uchun dasturni ishga tushiring.
Natijalarni tahlil qiling va tasavvur qiling (jadvallar, chizmalar va boshqalar).
5. Xatolarni tahlil qilish. Algoritmik izchillik va barqarorlik chekli farq(ayirma)lar usulining
yaqinlashuvini nazarda tutadi, bu haqda keyinroq muhokama qilinadi. Konvergentsiya nuqta
yo‘nalishi bo‘yicha, ya’ni lim u(x) U∞ = 0. Cheklangan farq(ayirma) usuli u(x) yechimning
ikkinchi
tartibli uzluksiz hosilalarga ega bo‘lishi uchun h→0 ni talab qiladi.
2.1.1 Model muammosi uchun Matlab kodi
Quyida biz model muammosi uchun ikki nuqta.m deb nomlangan Matlab funksiyasini ko'rsatamiz
va algoritmni kompyuter kodiga qanday o'zgartirishni ko'rsatish uchun ushbu Matlab funksiyasidan
foydalanamiz.
funktsiya [x, U]
=
ikki_nuqta (a, b, ua, ub, f, n)
ha ha ha
Bu ikki nuqtali matlab funksiyasi quyidagi 30 y ikki
nuqtali chegaraviy masalani yechadi: u''(x) f(x) =
/09
markazlashtirilgan chekli farq(ayirma) sxemasi yordamida.
ha
8/9 Kirish:
/9 a, b: Ikki oxirgi nuqta.
8/09 ua, ub: a va b f da Dirixlet chegara shartlari:
f(x) tashqi funksiyasi.
n: panjara nuqtalari soni.
Chiqish:
ha
/ x: x(1), x(2),...x (n-1) - panjara nuqtalari
8/9 U: U(1), U(2),...U(n-1) 09 da taxminiy yechim
8/9 panjara nuqtalari
h =
(b-a) /n; h1=h*h;
A siyrak (n-1, n-1);
F nollar (n-1,1);
=
i=1:n-2 uchun,
A(i,i) -2/h1; A(i+1, i) =
oxiri
=
1/h1; A(i,i+1)= 1/h1;
A(n-1, n-1) -2/h1;
=
i=1:n-1 uchun,
x(i) a+i*h;
=
F(i) feval (f, x(i));
=
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
12
oxiri
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
F (1)
F (n-1)
F (1) do/h1;
F(n-1) ub/h1;
U = A\F;
qaytish
Dasturning oxiri
Biz Matlab funksiyasini Matlab buyruqlar oynasida to'g'ridan-to'g'ri ikki nuqta
deb atashimiz mumkin, ammo eng yaxshi usul bu barcha Matlab buyruqlarini Matlab fayliga (M-fayl
deb ataladi), bu erda main.m deb ataladi. Buning afzalligi yozuvni saqlashdir va biz xohlagan
vaqtda faylni qayta ko'rib chiqishimiz yoki o'zgartirishimiz mumkin.
Misol uchun, differensial tenglama f(x)=-2 cos(xx), u(0)=0 va u(1)=-1
bo‘lgan (0, 1) oraliqda aniqlangan deylik. Matlab M-faylining namunasi
quyidagicha bo'ladi.
Barcha keraksiz o'zgaruvchilar va grafiklarni o'chiring.
aniq; Hammasini yoping
sen-i-i-i-i-i-ii
a=0; b=1; n=40;
yomg'ir = 1; ub=-1;
Erituvchiga qo'ng'iroq qiling: U - tarmoq nuqtalarida FD
yechimi.
[x, U]
ikki_nuqta (a, b, ua, ub, 'f', n);
ha
ha ha ha ha Xatoni tuzing va ko'rsating ha ha ha ha
uchastka (x, U, 'o'); tutmoq
u-nollar (n-1,1);
i=1:n-1 uchun,
u (i) cos (pi*x(i)); =
oxiri
chizma (x, u)
Xatoni chizing
%%% Haqiqiy yechimni xuddi shu chizmadagi
%%% nuqtalarida chizing.
rasm (2); uchastka(x, U-u)
norma (U-u, inf)
Hisoblangan yechimni chizing
Maksimal xatoni chop eting.
BVP ning aniq yechimi cos(x) ekanligini tekshirish oson. Agar hisoblangan
yechimni chizsak, to‘r nuqtalaridagi haqiqiy yechimga chekli ayirma
yaqinlashadi (plot(x, u, 'o') dan foydalaning) va aniq yechim bilan ifodalanadi.
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
2.1 Chekli farq(ayirma)lar usulining oddiy misoli
(a)
1
13
0,8
0,6
(b)
1,5
× 10-4
1
0.4
0,2
0
0,5
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1
-0,5
-1
0,3
0,4 0,5
0,6
0,7
0,8
0,9 1
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1
-1,5
0
0
2.1-rasm. (a) n = 40 bo'lgan hisoblangan yechimning grafigi (kichik "o") va
aniq yechim (qattiq chiziq). (b) xato syujeti.
0,1 0,2
2.1 (a)-rasmdagi qattiq chiziq, panjara nuqtalaridagi farq(ayirma) unchalik aniq
emas. Biroq, hisoblangan yechim va xato deb ataydigan aniq yechimning farq(ayirma)ini
chizsak, haqiqatan ham O(10-3) ning kichik farq(ayirma)i borligini ko'ramiz,
qarang. Shakl 2.1(b), lekin amalda shunga qaramay, hisoblangan raqamli yechimning
aniqligi bilan kifoyalanishimiz mumkin.
Ushbu misoldan so'rash mumkin bo'lgan savollar:
• Hosillarni taxmin qilish uchun boshqa chekli farq(ayirma) formulalari bormi? Agar shunday
bo'lsa, biz ularni qanday qilib olamiz? O'quvchi elementar raqamli tahlil
darsligida boshqa formulalarga duch kelgan bo'lishi mumkin.
• Cheklangan farq(ayirma)lar usuli ishlaydimi yoki yo'qmi, qanday bilamiz? Agar u
ishlayotgan bo'lsa, qanchalik to'g'ri? Xususan, hisoblangan yechimning xatosi nima?
. Yaxlitlash xatolar hisoblangan yechimga ta'sir qiladimi? Agar shunday bo'lsa,
qanchaga? • Yuqoridagi kabi Dirixlet shartlaridan (faqat funktsiya qiymatlarini
o'z ichiga olgan) boshqa chegaraviy shartlar, xususan Neyman shartlari bilan qanday
ishlaymiz. (hosilalar ishtirokida) yoki aralash chegara shartlari?
• Bizga har xil masalalar uchun har xil chekli farq(ayirma) usullari kerakmi? Agar shunday
bo'lsa, protseduralar o'xshashmi?
• Eng samarali usuldan foydalanayotganimizni qayerdan bilamiz? Cheklangan
farq(ayirma) usullarini samarali amalga oshirish uchun qanday mezonlar mavjud?
Bu savollarga keyingi bir necha boblarda to‘xtalib o‘tamiz.
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,


14
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
2.2 Chekli farq(ayirma)lar usullari asoslari
Teylor kengayishi chekli farq(ayirma) usullarini tahlil qilishda eng muhim
vositadir. Bu cheksiz qator sifatida yozilishi mumkin
u{x+h)=u(x) + hư (x)+++ [u(k),
(x)
+ · agar
u(x) "analitik" (har qanday tartib bilan farq(ayirma)lanadigan) yoki chekli bo'lsa yig'indisi
u(x+h)=u(x) +hư(x)+zu(x)+
hk
u(k)
(E),
+
(2.2)
(2.3)
bu yerda x<differentsiallanadigan bo'lsa. Teylor kengayishining ikkinchi shakli ba'zan kengaytirilgan
o'rtacha qiymat teoremasi deb ataladi. Yuqorida aytib o'tilganidek, chiziqli yoki
chiziqli bo'lmagan algebraik tizimni olish uchun differensial tenglamaning hosilalarini chekli
farq(ayirma) formulalari bilan to'r nuqtalarida ifodalashimiz mumkin. Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan
bir nechta chekli farq(ayirma) formulalari mavjud, ammo ularning aniqligi to'g'ridan-to'g'ri h ning
kattaligiga bog'liq (odatda kichik).
2.2.1 Oldinga, orqaga va markaziy sonli farq(ayirma)
u(x) uchun formulalar
Avval u(x) ning 1/(x) ning birinchi hosilasini x nuqtada yaqin u(xh) funksiya qiymatlari
yordamida ko‘rib chiqamiz, bu yerda h qadam o‘lchami deyiladi. Tez-tez ishlatiladigan
uchta formulalar mavjud:
Oldinga FD:
Orqaga FD:
Au(x):
u(x+h) - u(x)
h
A u(x)=
(2.4)
(2.5)
Markaziy FD:
h
u(x+h) - u(x-h)
2h
~(8).
(2.6)
~(x).
Quyida biz bu chekli farq(ayirma) formulalarini geometrik sezgi va hisob-kitoblardan
olamiz.
Hisoblashdan biz buni bilamiz
u(x) = lim
h→0
u(x + h) - u(x)
h
Faraz qiling | kichik va (x) uzluksiz bo'lsa, biz "(+)-(3) ga yaqin bo'lishini
kutamiz, lekin odatda aniq emas (x). Shunday qilib, birinchisiga yaqinlik.
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.2 Chekli farq(ayirma)lar usullari asoslari
15
x da hosila - bu bilan belgilangan va aniqlangan to'g'ridan-to'g'ri chekli farq(ayirma)
A+u(x)=
h
~u'(x),
(2.7)
bu erda xatolik kiritiladi va h>0 qadam o'lchami, ikki nuqta orasidagi masofa deb
ataladi. Geometrik jihatdan Au(x) ikki nuqtani (x, u(x)) va (x+h, u(x+h)) tutashtiruvchi
chiziqning qiyaligi bo‘lib, hisobda uning nishabga moyilligini tan olamiz. h→→→
0 chegarasidagi x dagi tangens chiziqning h→→→ 0 chegarasida. Au(x) ning '(x) qanchalik
yaqinligini aniqlash uchun, agar u(x) ikkinchi tartibli uzluksiz hosilalarga
ega bo'lsa, kengaytirilgan o'rtacha qiymat teoremasini chaqirishimiz mumkin (Teylor).
seriya) shunday
1
u(x + h) = u(x) + u (x)h + ½ u' (5) n²,
(2.8)
bu yerda 0<Ef (h) =
u(x+h) - u(x)
h
1
- u' (x) = { u″ (E) h = O (h),
(2.9)
shuning uchun taxminiy qiymat va aniq qiymatning farq(ayirma)i sifatida aniqlangan xato h
ga proportsionaldir va diskretizatsiya (2.7) birinchi darajali aniqlik deb ataladi. Umuman
olganda, agar xato shaklga ega bo'lsa
E(h) = Ch.
keyin usul p-chi tartib aniq deb ataladi.
Xuddi shunday, biz orqaga chekli farq(ayirma) formulasini tahlil qilishimiz mumkin
(2.10)
A_u(x)=
u(x) - u(x − h)
h
u(x) ni taxmin qilish uchun, bu erda xato bahosi
(2.11)
E(h)
=
u(x) – u(x − h) _ u{'(x) = —'—'u' (E) h=0(h),
(2.12)
h
shuning uchun bu formula ham birinchi darajali aniq.
Geometrik jihatdan (2.2-rasmga qarang) (x+h, u(x+h)) va (x-h, u(xh))
orqali o‘tuvchi sekant chizig‘ining qiyaligi nishabga yaqinroq
bo‘lishini kutish mumkin. u(x) ning (x, u(x) da) tangens chizig'i, bu tegishli
markaziy chekli farq(ayirma) formulasini ko'rsatadi.
bi(x) =
(x+h)(x-h)
2h
(2.13)
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
16
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
Tangent chiziq da
u(x)
X-h
+h
2.2-rasm. u'(x) ga yaqinlashishi uchun oldinga, orqaga va markaziy
chekli farq(ayirma) formulalarining geometrik tasviri.
birinchi tartibli hosilani yaqinlashtirish uchun aniqroq bo'lishi mumkin. Tegishli
xato bahosini olish uchun biz Teylor kengaytmasida qo'shimcha shartlarni saqlab qolishimiz
kerak:
1
1
u(x+h)=u(x)+hu(x) + hau"(x)㎡. +zu" (x)h³ + 24u(4) (x)h² + ·
1
u(x – h)=u(x) – h(x) + gư ( ) t
1
u" (x)h³ +
1
24
u(4) (x)h² + ··· ‚
olib keladi
Ec(h) =
u(x+h) - u(x-h) 2h
1
-
u' (x) = { u" (5)h² + ·
=0(2) (2.14) -=
O(h²) bu
yerda. .. yuqori tartibli shartlarni anglatadi, shuning uchun markaziy chekli farq(ayirma) formulasi
ikkinchi darajali aniqlikdir. (2.13) ni qayta yozish mumkinligini ko'rsatish oson
du(x)=
u(x+h)-u(x-h) 1
2h
½ (A++ A_) u(x).
D
Boshqa yuqori tartibli aniq formulalar ham mavjud, masalan, uchinchi
tartibli aniq sonli farq(ayirma) formulasi
dzu(x) =
2u(x+h)+3u(x)-6u(xh)+(x-2)
6 soat
(2.15)
2.2.2 Tekshirish va tarmoqni takomillashtirish tahlili
Aytaylik, biz raqamli usul va bog'liq tahlilni o'rgandik yoki ishlab chiqdik.
Agar biz usulni amalga oshirish uchun kompyuter kodini yozishni davom ettirsak,
kodimiz xatosiz va tahlilimiz to'g'ri ekanligini qanday bilamiz? Buning bir usuli -
bu tarmoqni aniqlashtirish tahlili.
Gridni takomillashtirish tahlilini biz aniq yechimni bilgan holda tasvirlash
mumkin. Ruxsat etilgan h dan boshlab, h=0,1 deylik, h ni ikki baravar kamaytiramiz
¹ Albatta, biz buni odatda bilmaymiz va keyinroq muhokama qilinadigan hisoblangan yechimni tasdiqlashning boshqa
usullari mavjud.
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
2.2 Chekli farq(ayirma)lar usullari asoslari
17
Gridni takomillashtirishni tahlil qilish va taqqoslash
100
10-2
FW va BW qiyaligi = 1
10-4
Xato
10-6
10-8
CT qiyaligi = 2
10-10
10-12
10-12
10-10
10-8
10-6
Qadam hajmi h
10-4
10-2
100
2.3-rasm. Log-log grafigi yordamida u'(x) uchun oldinga, orqaga va markaziy
chekli farq(ayirma) formulalarining tarmoqni aniqlashtirish tahlilining syujeti.
Oldinga va orqaga chekli farq(ayirma) uchun egri chiziqlar deyarli bir xil va birinchi
qiyalikga ega. Markaziy formula ikkinchi darajali aniq va uchastkaning qiyaligi
ikkitadir. h kichrayganda, yaxlitlash xatolar aniq bo'ladi va oxir-oqibat
dominant bo'ladi.
xato qanday o'zgarishini ko'ring. Birinchi tartibli usul uchun xato ikki marta
kamayishi kerak, qarang. (2.9) va ikkinchi tartibli usul uchun xatolik to'rt marta
kamayishi kerak, qarang. (2.14) va hokazo. Biz xatolarni h ga nisbatan log-log
shkalasida chizishimiz mumkin, bunda shkalalar ikkala o'qda bir xil bo'lsa, qiyalik
yaqinlashuv tartibidir. Matlab skript faylida ko'rsatilgan to'g'ridan-to'g'ri, orqaga
va markaziy chekli farq(ayirma) formulalari compare.m quyida ko'rsatilgan. Masalan, x =
1 da u(x) = sin x funksiyasini ko'rib chiqing, bu erda aniq hosila albatta cos 1
bo'ladi. 2.3-rasmdagi log-log shkalasida xatoliklarni h ga nisbatan chizamiz. Nishablar,
albatta, to'g'ri konvergentsiya tartibini hosil qiladi. h yanada kamayishi
bilan, yaxlitlash xatolari dominant bo'lib, bu haqiqiy xatolarga ta'sir qiladi.
Shunday qilib, chekli farq(ayirma) usullari uchun biz aniqlikni oshirish uchun h o'zboshimchalik
bilan kichik qabul qila olmaymiz. Bu misol uchun, eng yaxshi / bu bo'lardi
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
18
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
kichikroq xatolik to'g'ridan-to'g'ri va orqaga formulalar uchun h~√e=√10-16~
10-8 bo'lsa, markaziy formula uchun h~e~ 10-5 bo'lsa, bu erda e - mashinaning
aniqligi atrofida. Ko'pgina kompyuterlar uchun Matlabda 10-16. Eng yaxshi
h ni formula xatosi va yaxlitlash xatolarini muvozanatlash orqali aniqlash mumkin.
Markaziy formula uchun ular mos ravishda O(h2) va e/h dir. Eng yaxshi / keyin u /
soat tomonidan baholanadi. Quyida 2.3-rasmni hosil qiluvchi solishtirma.m
nomli Matlab skript fayli keltirilgan.
U' (x) ni yaqinlashtirish uchun oldinga, orqaga, % va
markaziy sxemaning kesish xatolarini solishtiring. Xatoni
chizing va konvergentsiya tartibini taxmin
qiling. u(x) = sin(x) da x=1. Aniq hosila: u' (1)
cos (1).
aniq; hammasini yoping
h = 0,1;
i=1:5 uchun
a (i, 1) = h;
=
a (i,2) = (sin (1+h) - sin (1))/h - cos (1);
=
a (1,3) (sin (1) sin (1-h))/h - cos(1); =
a
(i, 4) (sin (1+h) - gunoh (1-h)) / (2*h) - cos(1);
-
h = h/2;
oxiri
format qisqa e Ushbu
parametrdan birinchi % ni bir nechta muhim
raqamlarni ko'rish uchun foydalaning.
abs
(a);
Matritsaning mutlaq qiymatlarini oling.
Birinchi ustunni ajratib oling, ya'ni
h. a (:,3); e3 = a(:,4);
h1 a(:,1);
=
el a(:,2); e2 =
log(hl, el,h1, e2, hl, e3)
eksa ("teng"); eksa ("kvadrat")
eksa ([6-6-o'q])
gtext ('FW va BW qiyaligi = 1')
gtext ('CD qiyaligi =2')
Matlab dasturining oxiri
Hisoblangan natijalar:
h
oldinga
orqaga
markaziy
ha
1.0000e-01
5.0000e-02
-4.2939e-02
-2.1257e-02
4.1138e-02
2.0807e-02
-9.0005e-04
-2.2510e-04
2.5000e-02
1.2500e-02
6.2500e-03
-1.0574e-02
-5.2732e-03
1.0462e-02
5.2451e-03
-5.6280e-05
-1.4070e-05
-2.6331e-03
2.6261e-03
-3.5176e-06
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
2.3 Aniqlanmagan koeffitsientlar usuli yordamida FD formulalarini chiqarish
19
2.3 Usul yordamida FD formulalarini chiqarish
Aniqlanmagan koeffitsientlar
Ba'zan bizga "bir tomonlama" chekli farq(ayirma) kerak bo'ladi, masalan, birinchi hosilani
qandaydir chegara qiymatida taxminan = b va bunday yaqinlashuvlar ham umumiyroq
ishlatilishi mumkin. Shunday qilib, birinchi hosilani ikkinchi darajali aniqlikka
yaqinlashtirish uchun biz yozadigan aniqlanmagan koeffitsientlar usulidan foydalanib,
u(x), uh) va u(x-2h) qiymatlarini o'z ichiga olgan formulani taxmin
qilishimiz mumkin.
u'(x)~Y₁u(x) + 2(x - h) + 3(x-2h).
-
Teylor kengayishini x rentabellikda chaqirish
u(x)+2(x-h)+3(x-2h)
h3
: (u(x) – hu (x) + '/_ul' (x) = "ru" (x))
=14(x)+ 72 ((u(x) − hul (8) +
+73
((u(x) − 2hu' (x) + + 2 — u″ (x) - 8h3
6
{'"'(x))
+ O( max |¼xh²),
-u""(
4/2
Agar yuqori tartibli atamani e'tiborsiz qoldirsak, u (x) ga yaqin bo'lishi kerak. Shunday qilib, biz o'rnatdik
Bu chiziqli sistemaning yechimi 3 2h' 2 h' 1 2h' 1= 12 73 ekanligini
ko'rsatish
oson
va
shuning
uchun
biz
bir
tomonlama
chekli
ayirma sxemasini (8)= 3 1 ni
olamiz;
u(x)
−
2 u(x − h) + u(-2h) + O(h²). 2 soat
2/
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
(2.16)
Boshqa bir tomonlama chekli farq(ayirma) formulasi h uchun -h ni belgilash orqali darhol
olinadi, ya'ni,
u'(x) =
3
2 soat
2
; u(x) + — u(x + h) ·
h
2 soat
u(x+2h) + O(h²).
(2.17)
03
20
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
Cheklangan farq(ayirma) sxemasini olish uchun polinom interpolyatsiya formulasini
ham farq(ayirma)lash mumkin. Masalan, (x, u(x)) nuqtalar ketma-ketligi berilgan,
i=0,1,2,...,n, Lagranj interpolyatsiya qiluvchi ko‘phad.
n
n
Pu(x)=4(x)u(x), bu yerda (x)= II
i=0
f(x) ni j=0,ji (x-xj) ga yaqinlashtirish mumkinligini
ko‘rsatadi
-
i=0
2.3.1 Ikkinchi tartibli hosilalar uchun FD formulalari
Ikkinchi tartibli hosila "(x) ga yaqinlashish uchun chekli farq(ayirma) formulalarini olish uchun
chekli farq(ayirma) operatorlarini ikki marta qo'llashimiz mumkin, masalan, markaziy sonli farq(ayirma)
formulasi.
AA (8) A+
u(x) - u(x − h)
h
1 (u(x+h) - u(x) u(x) - u(x-h) h
h
(h)-2u(x)
+ u (x+h)
h
=A_A+u(x)=8²u(x)
(2.18)
"(x) ni O(h2) ga yaqinlashtiradi.
Xuddi shu chekli farq(ayirma) operatoridan ikki marta foydalanish bir tomonlama chekli farq(ayirma)
formulasini hosil qiladi, masalan,
A+A+u(x) = (A+)² u(x) = A +² h)
- u(x) h
1
(u(x+2h)u(x+h) h
h
u(x+h)
- u(x) h
u(x)-2(x+h)+(x+2h)
h2
ham
“(x) ga yaqinlashadi, lekin faqat birinchi darajali aniqlik O(h).
Xuddi shunday, chekli farq(ayirma) operatorlari ham mumkin. taxminan olish uchun ishlatiladi
(2.19)
qisman hosilalar uchun tasavvurlar. Biz shunga o'xshash shakllarni nafaqat qisman olamiz
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.4 FD usullarining izchilligi, barqarorligi, konvergentsiyasi va xatolarini baholash
21 hosilalari ux, uxx va boshqalar, balki aralash qisman hosilalar uchun, masalan,
u(x+hy+h) + u(x-h,y-h) - u(x+h,y-h) - u(x -h, y+h)
4 soat 2
ha
(2.20)
agar biz x va y yo'nalishlarida bir xil qadam hajmini qabul qilsak. Bu erda 5 dagi x
pastki belgisidan foydalanamiz, x yo'nalishidagi markaziy chekli farq(ayirma) operatorini belgilash uchun
va hokazo.
2.3.2 Yuqori tartibli hosilalar uchun FD formulalari
Uchinchi tartibli hosilalarni yaqinlashish uchun chekli farq(ayirma) formulalarini
olish uchun biz ham quyi tartibli sonli farq(ayirma) formulalarini yoki aniqlanmagan
koeffitsientlar usulini qo'llashimiz mumkin. Masalan,
A,& u(x)=A+
u(xh)-2(x) + u(x+h)
-u(xh)+3(x) — 3u(x+h)+(x+2)
u” (x) +
h
birinchi darajali aniq. Agar markaziy formuladan foydalansak
-u(x-2)+2u(xh) - 2u(x+h)+(x+2h) 2/13
-4(5)
(x) +.
keyin
biz ikkinchi darajali aniq sxemaga ega bo'lishimiz mumkin. Amalda biz kamdan-kam hollarda
to'rtinchi tartibli hosilalarga muhtojmiz. Yuqori tartibli differentsial tenglamalar uchun biz ularni
odatda birinchi yoki ikkinchi tartibli tizimlarga aylantiramiz.
2.4 Mustahkamlik, barqarorlik, konvergentsiya va xatolik
FD usullarini baholash
Differensial tenglamani yechishda chekli ayirma usuli qo‘llanilganda,
olingan taqribiy yechimning haqiqiy yechim bilan qanchalik
to‘g‘riligini bilish muhimdir.
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
22
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
2.4.1 Global xato
Agar U [U₁, U₂,..., U] yaxlitlash xatosi boʻlmagan chekli ayirma sxemasi orqali
hosil qilingan taxminiy yechimni bildirsa va u= [(x1), u(x2), u(x)] aniq
boʻladi. X1, X2, ..., Xn to'r nuqtalarida yechim, keyin global xato vektori E = U -
u sifatida aniqlanadi. Tabiiyki, biz xato vektorining eng kichik yuqori chegarasini
qidiramiz, bu odatda quyidagi me'yorlardan biri yordamida o'lchanadi:
• Maksimal yoki cheksizlik normasi ||E||∞ = max;{|e;}. Agar bitta tarmoq nuqtasida xato
katta bo'lsa, maksimal norma ham katta bo'ladi, shuning uchun bu norma eng kuchli
o'lchov sifatida qabul qilinadi.
⚫ 1-norma, oʻrtacha meʼyor ||E||1=S sifatida aniqlanadi; hile; ga o'xshash
L' me'yor fe(x) dx, bu erda h=x+1-Xi-
2-norma, boshqa o'rtacha me'yor ||E||2 = (he²)/2 sifatida aniqlanadi, L²
normasiga o'xshash (fe). (x)2 dx)1/2.
Agar ||E|| ≤ Ch', p>0, biz chekli farq(ayirma) usulini p-chi tartibni aniq deb ataymiz. Biz
hisoblash xarajatlarini past ushlab turganda, yuqori darajadagi aniq usuldan
foydalanishni afzal ko'ramiz.
Ta'rif 2.1. Agar lim ||E|| bo'lsa, chekli farq(ayirma)lar usuli konvergent deb ataladi = 0.
h→0
2.4.2 Mahalliy kesish xatolari
Mahalliy kesish xatolari asl differensial tenglama va uning chegara nuqtalaridagi chekli
ayirma yaqinlashuvlari o'rtasidagi farq(ayirma)larga ishora qiladi. Mahalliy qisqartirish
xatolari cheklangan farq(ayirma)li diskretlanishning differentsial tenglamaga qanchalik
yaqinlashishini o'lchaydi.
Masalan, ikki nuqtali BVP uchun
u"(x) = f(x), 0u(0) va u(1)=ub,
Ui-1-2Ui+Uitl chekli farq(ayirma) sxemasining mahalliy
kesish xatosi
=f(ba'zi)
x da, hisoblanadi
Ti
u(x; h) - 2u(x;) + u(x; +h)
h2
-f(x), i=1,2-1.
Shunday qilib, o'ng tomonni chap tomonga siljitganda, biz cheklangan farq(ayirma) tenglamasini
dastlabki differensial tenglamaga o'xshatish uchun qayta tartibga solish yoki
qayta yozish va so'ngra haqiqiy echim u(x) ni U ga almashtirish orqali mahalliy
kesish xatosini olamiz.
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.4 FD usullarining izchilligi, barqarorligi, konvergentsiyasi va xatolarini baholash 23
Mahalliy kesish xatosini quyidagicha aniqlaymiz. P (d/dx) a belgilansin
chiziqli differensial tenglamada u ustidagi differentsial operator, masalan,
• Pu=agar P bo‘lsa, “(x) = f(x) ni bildiradi
d
f
=
dx
• Pu=f u" + au" + bu' + cu= f(x) ni ifodalaydi, agar
dx2; va
P
d
dx
dx3
+a(x) +b(x)
dx2
d
dx
+c(x).
P₁ mos keladigan chekli ayirma operatori bo‘lsin, masalan, “(x) = f(x) ikkinchi
tartibli differensial tenglama uchun mumkin bo‘lgan chekli ayirma operatori bo‘lsin.
Pu(x)=
u(xh)-2u(x)+(x+h)
h2
Ko'proq misollar keyinroq ko'rib chiqiladi. Umuman olganda, mahalliy kesish xatosi
quyidagicha aniqlanadi
T(x)=Pu-Pu,
(2.21)
bu yerda u aniq yechim ekanligi qayd etilgan. Masalan, "(x)=f(x) differensial
tenglamasi va uch nuqtali markaziy farq(ayirma) sxemasi (2.18) uchun
mahalliy kesish xatosi.
u(xh)-2u(x) + u(x+h)
T(x) = Phu – Pu=
h2
u(x − h) - 2u(x) + u(x+h)
-
"(x)
-f(x).
E’tibor bering, mahalliy kesish xatolari yechimdagi yechimga bog‘liq. chekli farq(ayirma)li
stencil (ushbu misolda uch nuqta), lekin global miqyosda (uzoqda) yechimda emas, shuning
uchun mahalliy teg.
(2.22)
Ta'rif 2.2. Cheklangan farq(ayirma) sxemasi izchil if deb ataladi
lim 7(x)= lim (Pu-Pu)=0.
h→0
h→0
(2.23)
Odatda biz izchil chekli farq(ayirma) sxemalaridan foydalanishimiz kerak.
Agar T(x) Ch', p>0 bo'lsa, biz diskretizatsiyani p-tartibli akkumulyator deb aytamiz.
tezligi, bu erda C=0(1) - u(x) yechimga bog'liq xato konstantasi. Cheklangan
farq(ayirma)lar sxemasi mos keladimi yoki yo'qligini tekshirish uchun biz Teylor asosiy
to'r nuqtasi x, mahalliy kesish xatosidagi barcha shartlarni kengaytiramiz. Masalan,
"(x) = f(x) uchun uch nuqtali markaziy chekli farq(ayirma) sxemasi hosil qiladi
T(x)=
u(x − h) - 2u(x) + u(x + h)
-
h2
-u"(x):
"(x) = u(4) (x) + O(²)
12
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
shunday bo'lsinki, 7(x) Ch², bu erda C-max (4)(x)
ya'ni, chekli farq(ayirma)lar sxemasi izchil va diskretizatsiya ikkinchi darajali
aniq.
Endi u" (x) = f(x) uchun boshqa chekli farq(ayirma) sxemasini ko'rib chiqamiz, ya'ni,
f(x), i=1,2,-2,
Bir-2-2Bir-1+u(b)
X-1 da diskretizatsiya T(x-1)=(h²) dan beri ikkinchi darajali aniq, ammo
barcha boshqa grid nuqtalarida mahalliy kesish xatosi
T(x)=
u(x)-2(x+1)+(x+2)
h2
-f(x)= O(h),
ya'ni yechim noma'lum bo'lgan barcha panjara nuqtalarida. Bizda limuzin T(x)=0 bor,
shuning uchun chekli farq(ayirma)lar sxemasi izchil. Biroq, agar biz ushbu chekli farq(ayirma)
sxemasini amalga oshirsak, biz g'alati natijalarga erishishimiz mumkin, chunki u x=a
da chegara shartidan foydalanmaydi, bu aniq noto'g'ri. Shunday qilib, izchillik
sxemaning yaqinlashishini kafolatlay olmaydi va biz boshqa shartni, ya'ni
uning barqarorligini qondirishimiz kerak.
Taqdimotni ko'rib chiqing
I= F + T,
AU = F
A(u-U)=T-AE, (2.24)
Bu erda EU-u, A - chekli ayirma tenglamalarining koeffitsient matritsasi,
F - chegara shartini hisobga oladigan o'zgartirilgan manba atamasi va T -
yechim noma'lum bo'lgan to'r nuqtalarida mahalliy kesish xatosi vektori. Shunday
qilib, agar A birlik bo'lmasa, u holda ||E| = ||4~'T|≤ ||4-¹||||T||.
Biroq, agar A birlik bo'lsa, u holda ||E|| o'zboshimchalik bilan kattalashishi mumkin,
shuning uchun chekli farq(ayirma) usuli yaqinlashmasligi mumkin. Bu yuqoridagi
misolda shunday, markaziy chekli farq(ayirma) sxemasi (2.22) uchun bizda ||E||||-||² bor
va biz buni isbotlashimiz mumkin ||-|| doimiy bilan chegaralanadi.
E'tibor bering, global xato ikkala ||A|| ga bog'liq va mahalliy kesish xatosi
vektori T.
Ta'rif 2.3. Agar A teskari bo'lsa, BVP uchun cheklangan farq(ayirma)lar usuli barqarordir
va
AC, barcha 0 Bu erda C va ho h dan mustaqil bo'lgan ikkita doimiydir.
(2,25)
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.4 FD usullarining izchilligi, barqarorligi, konvergentsiyasi va xatolarini baholash 25
Mustahkamlik va barqarorlik ta'riflaridan va yuqoridagi muhokamadan biz
quyidagi teoremaga erishamiz:
2.4 teorema. Barqaror va barqaror chekli farq(ayirma)lar usuli konvergent hisoblanadi.
Odatda barqarorlikni isbotlash oson, ammo barqarorlikni isbotlash qiyinroq.
“(x)=f(x) uchun markaziy chekli ayirma sxemasining (2.22) yaqinlashuvini isbotlash
uchun quyidagi lemmani qo‘llashimiz mumkin:
Lemma 2.5. Asosiysi AR simmetrik tridiagonal matritsasini ko'rib chiqaylik
diagonallar va diagonallardan tashqari ikkita konstantalar mos ravishda d va o. U holda
A ning xos qiymatlari
Aj=d+2a cos
n+1
va tegishli xos vektorlari x = sin pl n+1
k = 1,
2,...,n.
Lemma
to'g'ridan-to'g'ri
tekshirish orqali isbotlanishi mumkin (Ax = Xx dan). Biz ham qayd etamiz
(2.26)
(2.27)
X xos vektorlari R vektor fazoda o'zaro ortogonal ekanligini.
2.6 teorema. u"(x)=f(x) va Dirixlet chegara sharti uchun markaziy
chekli farq(ayirma) usuli konvergent bo'lib, || E|| ||E|| 2 ≤ Ch³/2.
Isbot Chekli farq(ayirma)lar usulidan biz bilamizki, AER(-1)x(-1) sonli ayirma
koeffitsienti matritsasi va u d= -2/h2 va a=1/h² bilan tridiagonaldir,
shuning uchun A ning xos qiymatlari
2 2
h2
+ COS
2
n
(cos(xh)-1).
A¹ ning xos qiymatlari 1/A va A-¹ ham simmetrik ekanligini hisobga olsak, biz bormi?
1
min
2(1- cos(Th)) 2(1-(1-(h)2/2 + (xh)4/4! +
Tengsizlikdan foydalanish ||A|| ≤√n-1 ||4-¹| |2, shuning uchun bizda bor
||E||∞ ≤ ||A˜¹||∞ ||T||∞ ≤ √n - 1 || A˜¹ || 2 ||T||∞
√n-1
2TS Ch≤ Ch³/2
p2
2 Shuningdek, ||41||2 = olish uchun 1 - cos(h) = 2 sin² identifikatsiyasidan foydalanishimiz mumkin.
=
2(1-cos(h))
4 gunoh2
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.5 ID Self-adjoint BVPS uchun FD usullari
27
va g (n) ~ O (1), taxminan kritik h mahalliy kesish xatosi yaxlitlash xatosi
(kattalik bo'yicha) bilan bir xil bo'lganda yuzaga keladi, ya'ni,
1
1
1 h €1/4,
ya'ni mashinaning aniqligi 10-8 bo'lgan yagona aniqlik uchun taxminan 100 va mashinaning
aniqligi 10-16 bo'lgan ikki tomonlama aniqlik uchun 10,000. Shunday qilib, agar biz bitta aniqlikdan
foydalansak, 100 dan ortiq to'r nuqtalarini olishning ma'nosi yo'q va biz eng yaxshi holatda
taxminan to'rtta muhim raqamni olamiz, shuning uchun biz odatda BVPlarni hal qilish uchun ikki tomonlama
aniqlikdan foydalanamiz. Esda tutingki, Matlab sukut bo'yicha ikki tomonlama aniqlikdan
foydalanadi.
n~
2.5 ID Self-adjoint BVPs uchun FD usullari
Shaklning ID o'z-o'zidan qo'shilgan BVPlarini ko'rib chiqing
(p(x)u'(x))'-q(x)u(x)=f(x), a(2.32)
(2.33)
u(a) = ua, u(b) = yuqoriga yoki
boshqa BC. Bu Sturm-Liouville muammosi deb ham ataladi. Yechimning mavjudligi va
yagonaligi quyidagi teorema bilan ta'minlanadi.
2.8 teorema. Agar p(x) € C' (a, b), q(x) € C" (a, b), f(x) = C(a, b),
q(x) ≥0 va musbat bo'lsa. doimiy p(x) po>0 bo'lsa, u(x) C²(a, b) yagona
yechim mavjud.
Bu erda C(a, b) - [a, b] dagi barcha uzluksiz funksiyalar fazosi, C' (a, b) - [a, b] da
uzluksiz birinchi tartibli hosilaga ega bo'lgan barcha funktsiyalar fazosi va shunga o'xshash.
yoqilgan. Integral shakllar qo'llaniladigan chekli elementlar usullari uchun
zaifroq shartlar mavjudligini keyinroq ko'ramiz. Ushbu teoremaning isboti odatda
rivojlangan differentsial tenglamalar kurslarida beriladi.
Keling, yechim mavjud deb faraz qilaylik va cheklangan farq(ayirma)lar usuliga e'tibor qarataylik
quyidagi bosqichlarni o'z ichiga olgan bunday BVP uchun.
1-qadam: panjara yarating. Oddiylik uchun bir xil Dekart panjarasini ko'rib chiqing
x=a+ih, h=
b-a
n
Bu erda, xususan, xoa, x = b. Ba'zan moslashuvchan panjara afzal bo'lishi
mumkin, ammo markaziy chekli farq(ayirma) sxemasi uchun emas.
2-qadam: Yechim noma'lum bo'lgan har bir to'r nuqtasida hosilalarni chekli farq(ayirma)li
formulalar bilan almashtiring. Ushbu bosqich diskretizatsiya deb ham ataladi.
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
28
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
x=x+h/2 aniqlang, shuning uchun
x+x- =h. Shunday qilib, yarim panjara
o'lchamiga ega bo'lgan odatiy x to'r nuqtasida markaziy chekli farq(ayirma) formulasidan foydalanib, biz h ni olamiz
-qu(x) = f(x)+Ex.
Bu yerda P+P(x+3), qi=g(xi), fi=f(x) va E) Ch2. Birinchi tartibli
hosila uchun markaziy chekli ayirma sxemasini qo'llash keyin beradi
Pit
h
PIA
h
h - qiu(xi) = f(xi) +E+E,
i=1,2.....n-1 uchun.
Uu(x) yakuniy sonli ayirma yechimi chiziqli tenglamalar
tizimining yechimi sifatida aniqlanadi.
(UHI - (P₁j + P₁-4) Ui +P_{ U-1
Pit Uitl
(2,34)
i = 1, 2,...,n - 1 uchun. Matritsa-vektor ko‘rinishida bu chiziqli sistemani yozish mumkin.
P3/2
h2
P1/2
f(x1)-
5 SS
U2
F=
f(xn-2)
U
Un-1.
AU F sifatida, bu
erda P1/2+P3/2
h2
P3/2
h2
91
P3/2+P5/2
h2
-
P5/2
92
h2
A Pn-3/2
h2
Pn-3/2+Pn-1/2
h2
In-1
f(x2)
f(x3)
| f (xn−1) =
Pn-1/2ub
Shuni ta'kidlash kerakki, A simmetrik, manfiy aniq, zaif diagonal dominant va
M-matritsadir. Bu xususiyatlar A ning yagona emasligini kafolatlaydi.
Differensial tenglama konservativ bo'lmagan shaklda ham yozilishi mumkin
p(x)u"+p(x)-qu f'(x),
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
2.6 Umumiy 1D BVPS uchun FD usullari
29
bu erda ikkinchi tartibli chekli farq(ayirma) formulalarini qo'llash mumkin. Biroq,
⚫ p(x) ning hosilasi yoki uning chekli farq(ayirma)iga yaqinlashishi kerak va
⚫ mos keladigan chekli ayirma tenglamalarining koeffitsient matritsasi endi
simmetrik emas, manfiy musbat aniq va diagonal dominant emas. Shuning uchun, iloji
bo'lsa, konservativ bo'lmagan shakldan foydalanishdan qochishga moyilmiz.
Konservativ chekli farq(ayirma)lar sxemasining mahalliy kesish xatosi
q(x)-fi (2.35)
h²
P(d/dx)=(d/dx) (p d/dx) - q differensial operator ekanligini unutmang. T≤ Ch² ekanligini
ko'rsatish oson, lekin ||-||≤ C ekanligini ko'rsatish qiyinroq. Biroq,
tushuntirilganidek, chekli farq(ayirma)lar sxemasining ikkinchi darajali yaqinlashuvini isbotlash uchun
maksimal printsipdan foydalanishimiz mumkin. keyinroq.
2.6 Umumiy 1D BVPs uchun FD usullari
Muammoni ko'rib chiqing
p(x)u(x)+r(x)u(x) − q(x)u(x) = f(x), a(2,36)
u(a) = ua, u(b) = yuqoriga yoki boshqa BC.
(2,37)
r(x) ning kattaligiga qarab foydalanishimiz mumkin bo'lgan ikki xil diskretizatsiya
texnikasi mavjud.
1. Barcha hosilalar uchun markaziy chekli farq(ayirma) diskretizatsiyasi:
Pi
+2
soat
qiUi-fi,
(2,38)
i=1,2,...,n-1 uchun, bu yerda p = p(x) va hokazo. Ushbu diskretizatsiyaning
afzalligi shundaki, usul ikkinchi darajali aniq, ammo kamchilik shundaki,
koeffitsient matritsasi q(x)0 va p(x)>0 bo'lsa ham diagonal dominant bo'lmasligi
mumkin. Agar u ba'zi ilovalarda tezlikni bildirsa, u holda r(x)u(x)
odatda adveksiya atamasi deb ataladi. Adveksiya kuchli bo'lganda (ya'ni, r(x)
katta bo'lsa), markaziy chekli farq(ayirma)ning yaqinlashuvi fizik bo'lmagan tebranishlarga
ega bo'lishi mumkin, masalan, r~1/h bo'lganda.
2. Diffuziya muddati uchun birinchi tartibli hosila va markaziy chekli ayirma sxemasi
uchun yuqoriga burilgan diskretlanish: Ui-1-2Ui+Ui+1
Ui+l-U h2 Ui-1-2Ui+Ui+1
h2
+ri h Ui -
Ui-1
h
Pi
-qUi-fi,
agar
r≥0
bo'lsa,
-q₁U₁=f, r<0 bo'lsa.
Pi
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
30
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
Ushbu sxema, agar q(x) > 0 bo'lsa, chekli farq(ayirma) koeffitsienti matritsasining diagonal
ustunligini oshiradi, lekin u faqat birinchi darajali aniqdir. Diagonal dominant
matritsalar bilan chiziqli tenglamalar tizimini echish ko'pincha osonroq va
aniqroqdir. Agar r(x) juda katta bo'lsa (aytaylik, r(x)|~1/h), yuqoriga burish
sxemasidan foydalangan holda chekli farq(ayirma) yechimi markaziy chekli farq(ayirma) sxemasi
bilan solishtirganda fizik bo'lmagan tebranishlarga ega bo'lmaydi.
E'tibor bering, agar p(x)=1, r(x) = 0 va q(x) < 0 bo'lsa, BVP ID Helmgolts tenglamasi
bo'lib, q(x) katta bo'lsa, echish qiyin bo'lishi mumkin, deylik q( x)~1/soat².
2.7 Chegara shartlari uchun Ghost Point usuli
O'z ichiga olgan hosilalar
Ushbu bo'limda biz Neumann va aralash (Robin) chegara sharoitlariga qanday munosabatda bo'lishni muhokama
qilamiz. Keling, birinchi navbatda muammoni ko'rib chiqaylik
"(x)=f(x), au' (a) = a,
u (b) = ub
x=a da yechim noma’lum. Agar biz bir xil Dekart to'ridan foydalansak x; = a+ih, u
holda U yechimning bir komponentidir. Biz hali ham ichki tarmoq nuqtalarida markaziy
chekli farq(ayirma) diskretizatsiyasidan foydalanishimiz mumkin
h2
=fi, i=1, 2,...,n−1,
lekin a da Neyman chegara sharti berilgan xo = a da qo‘shimcha tenglama
kerak. Yondashuvlardan biri h =a yoki
-Uo+U₁
h2
h
ni
olish
va natijada olingan chiziqli tenglamalar tizimi yana tridiagonal va simmetrik
manfiy aniqlangan:
(2.39)
Vo
h
f(x1)
5 S
U2
f(x2)
-12
h2
Biroq, bu yondashuv faqat 0 bo'lsa, birinchi darajali aniq hisoblanadi.
(2.40)
f(xn-2)
[ƒ(xn−1) · ub
h2
-
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
Un-2,
bu kecha Un-1.
03
2.7 Hosilalarni o'z ichiga olgan chegaraviy shartlar uchun Ghost Point usuli
31
Ikkinchi darajali aniqlikni saqlab qolish uchun sharpa nuqta usuli tavsiya
etiladi, bu erda sharpa to'r nuqtasi x-1=xo-h-a-h qo'shiladi va eritma
[ah, a) oraliqgacha uzaytiriladi. U holda markaziy chekli ayirma sxemasidan
yechim noma'lum bo'lgan barcha to'r nuqtalarida, ya'ni i= 0,1,...,n-1 uchun
foydalanish mumkin. Biroq, endi bizda n ta tenglama va n + 1 noma'lum, shu
jumladan U-1 bor, shuning uchun tizimni yopish uchun yana bitta tenglama kerak.
Qo'shimcha tenglama Neyman chegaraviy sharti uchun markaziy chekli ayirma
tenglamasidir
2 soat
(2.41)
U-U-2hox hosil qiladi. Buni markaziy chekli farq(ayirma) tenglamasiga x = a da,
ya'ni xo da, endi "ichki" panjara nuqtasi sifatida qaralsa, bizda shunday bo'ladi.
U-1-200+ U1
h2
-fo
=fo,
U-2ha-2U0+ U1 h2
-Uo+U1
l + =fo
uchun.
2
h, bu erda koeffitsient matritsasi (2.40) bilan bir xil va yagona farq(ayirma) -
Ushbu ikkinchi tartibli usulda farq(ayirma) oldingi birinchi tartibdagi a/h emas,
o'ng tomondagi vektordagi fo/2+a/h komponentidir. Barqarorlikni muhokama qilish
uchun biz koeffitsient matritsasining xos qiymatlaridan foydalanishimiz mumkin,
shuning uchun koeffitsient matritsasiga teskari 2-norma, ||4||2. Xususiy
qiymatlar yana tegishli uzluksiz muammo bilan bog'lanishi mumkin
"(x)-u 0, '(0) =0, (1)=0.
(2.42)
Xususiy vektorlar ekanligini ko'rsatish oson
uk (x) = cos
pX
2
+kxx)
(2,43)
xos qiymatlar (p/2+kya)² ga to'g'ri keladi, shundan biz arvoh nuqtaga
yondashuv barqaror degan xulosaga kelishimiz mumkin. Konvergentsiya barqarorlik va
izchillikni birlashtirish orqali amalga oshiriladi.
Ikki chekli ayirma usulini 2.4-rasmda taqqoslaymiz, bunda "(x)=f(x)
differensial tenglamasi x=0 da Dirixle chegara shartiga va x=0,5
da Neyman chegara shartiga bo'ysunadi. f( x)cos x, u(0) =
1, (0,5), aniq yechim u(x)= cos TX. 2.4(a)-rasmda ikkala
orqaga cheklidan foydalangan holda to‘rni aniqlashtirish tahlili ko‘rsatilgan.
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
32
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
x 10 Arvoh nuqtasi usulidan xato
(a)
Gridni takomillashtirishni tahlil qilish va taqqoslash
(b)
10-1
Birinchi tartibli usul: qiyalik = 1
-0,5
10-2
10-3
-1,5
Arvoh nuqtasi usuli: qiyalik = 2
1074
104
10"
10-3
Qadam o'lchami h
10°
2.4-rasm. (a) arvoh nuqtasi usulining panjara takomillashtirish tahlili va
birinchi tartibli usul. Egri chiziqlarning qiyaliklari yaqinlashish tartibidir.
(b) arvoh nuqta usulidan hisoblangan yechimning xato grafigi.
-2.5
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
farq(ayirma) usuli (bw_at_bm) va sharpa nuqtasi usuli (ghost_at_b.m). Ikkinchi
darajali usuldagi xato birinchi tartibdagiga qaraganda ancha kichik.
2.4(b)-rasmda biz arvoh nuqta usulining xato grafigini ko'rsatamiz va
x=bdagi xato endi nolga teng emasligini ta'kidlaymiz.
2.7.1 Ghost Point usulining Matlab kodi
funktsiya [x, U]
=
ghost_at_b(a, b, ua, uxb, f,n)
y Bu matlab funksiyasi ikki nuqta quyidagi ilni hal qiladi
ikki nuqtali chegaraviy masala: u''(x) = f(x)
3/9 markaz sonli farq(ayirma) sxemasi yordamida.
09 Kirish:
a, b: Ikki oxirgi nuqta.
/09
j ua, uxb: Dirixle va Neyman chegara shartlari
a va b je
f da: tashqi funktsiya f(x).
3/09
ha
n: panjara nuqtalari soni.
Chiqish:
30/09 x: x(1),x(2),...x(n) to‘r nuqtalari
300 U: U(1), U(2),...U(n) da taxminiy yechim
/0 to'r nuqtasi.
ha
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
2.7 Hosilalarni o'z ichiga olgan chegaraviy shartlar uchun Ghost Point usuli
33
h
=
(b-a)/n; h1=h*h;
A siyrak (n, n);
=
F = nollar (n, 1);
i=1:n-1 uchun,
A(i,i) = -2/h1; A(i+1, i) =
oxiri
=
1/h1;
A(i,i+1)= 1/h1;
A (n,n) -2/h1;
=
A(n,n-1) 2/h1;
=
i=1:n uchun,
x(i) a+i+h;
=
F(i) feval (f, x(i));
=
oxiri
F (1) F(1)
=
ua/hl;
F (n) F(n) 2*uxb/soat;
=
-
U
A\F;
qaytish
2.7.1.1 Matlab drayveri dasturi Quyida
ikki nuqtali BVP ni hal qilish uchun Matlab drayver kodi keltirilgan.
u" '(x)=f(x), au(a) = yomg'ir,
(b)=uxb.
Barcha keraksiz o'zgaruvchilar va grafiklarni tozalang.
aniq;
hammasini yoping
Kiritish
va =0; b=1/2;
yomg'ir
= 1; uxb
- pi;
%%%%%% Qoʻngʻiroqlarni hal qiluvchi: U FD yechimidir
n=10;
k=1;
k=1:5 uchun
[X, U] ghost_at_b(a, b, ua, uxb, 'f',n); =
sharpa
nuqtasi usuli.
u-nollar (n, 1);
i=1:n uchun,
u (i) = cos (pi*x(i));
oxiri
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
34
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
h(k) = 1/n;
%%% Maksimal xatolikni chop eting.
e (k) = norma (U-u, inf);
k = k+1; n=2*n;
oxiri
log-log (h, e, h, e, 'o'); eksa ("teng"); eksa ('kvadrat'),
sarlavha ('Log-log shkalasidagi xato grafigi, qiyalik 2');
rasm (2); syujet (x, U-u); sarlavha ('Xato')
2.7.2 Aralash chegaraviy shartlar bilan ishlash
Aralash chegara holatini diskretlashtirish uchun sharpa nuqtasi usulidan foydalanish
mumkin. Aytaylik, x=a da au' (a) + Bu(a) = 7, bu yerda a 0. U holda chegaraviy
shartni diskretlashimiz mumkin.
2/
28
soat U_1 = U₁ + Uo
2/
yoki
2 + 28 h2 ah 2 Va+ Ufo + Uo 27 ni olish uchun buni x=xo da markaziy chekli farq(ayirma)
tenglamasiga
almashtiring.
(2,44)
yoki
(
1
B
+ h2 ah
Vo+ V₁
2
+
ah'
(2,45)
nosimmetrik koeffitsient matritsasi hosil bo'ladi.
2.8 Chiziqsiz BVPga misol
Chiziqli bo'lmagan differentsial tenglamani diskretlash odatda chiziqli bo'lmagan algebraik
tizimni hosil qiladi. Bundan tashqari, agar biz chiziqli bo'lmagan tizimni hal qila
olsak, taxminiy yechimni olishimiz mumkin. Jarayonni tasvirlash uchun biz ushbu bo'limda
misol keltiramiz.
Quyidagi chiziqli bo'lmagan (kvazilinear) BVPni ko'rib chiqing:
dan
dx2
-u² = f(x), 0(2,46)
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
35
U¡-1 − 2U¡ + Ui+1 – U² = f(xi), i=1,2,...,n− 1.
2.8 Nochiziqli BVPga misol. Agar
markaziy chekli farq(ayirma)lar sxemasini qo'llasak, unda chiziqli bo'lmagan tenglamalar
tizimini olamiz.
(2,47)
Yuqoridagi chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimini bir necha usul bilan echish mumkin:
• Chiziqli bo'lmagan ODE ni chiziqlilashtirish jarayonidan foydalanib taxmin qiling.
Afsuski, barcha linearizatsiya jarayonlari ishlamaydi.
O'zgartirish usuli, bunda chiziqli bo'lmagan atama oldingi yaqinlashuv
yordamida iteratsiyaga yaqinlashadi. Misol uchun, U)(x) boshlang'ich taxminini
hisobga olgan holda, biz yangi taxminiylikni olamiz
-20+1+
i+1
**+= f(xi).
har bir iteratsiyada ikki nuqtali BVPni o'z ichiga oladi. Asosiy tashvishlar
- bu usul yaqinlashadimi yoki yo'qmi va agar u yaqinlashsa, yaqinlashish tezligi
k-0,1,... (2.48)
qiladi.
Nochiziqli tenglamalar tizimini ilg'or usullar, ya'ni quyida tushuntirilgan
Nyuton usuli yoki uning o'zgarishlari yordamida yeching.
Umuman olganda, agar biz F(U)=0 chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimi olinadi
chiziqli bo'lmagan ODE yoki PDE ni diskretlash, ya'ni
F(U, U2, Bir)=0,
F2(U1, U2,..., Um) = 0,
(2,49)
Fm(U1, U2, U)=0,
Bu erda misol uchun bizda m = n - 1 va
F(U1, U2,..., Um) =
U₁-1-20; + Ui+1 - U² — f(xi), i=1, 2,...,n− 1.
h2
Nochiziqli tenglamalar tizimini odatda Nyuton usuli yoki qandaydir
oʻzgaruvchanlik bilan yechish mumkin. Dastlabki taxmin U(0), Nyuton iteratsiyasi
hisoblanadi
U(k+1) Uk) — (J(U))) F(U))
=
(2,50)
yoki
( J(U(k)) AU(k) = −F(U(k)),
U(k+1)= U(k) + AU(k),
k=0,1,...
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03
36
(a)
2.5
ID chegaraviy qiymat masalalari uchun chekli farq(ayirma) usullari
(b)
20
Dastlabki va ketma-ket taxminlar
Xato
2
× 10
E-1.854-4
1.5
Boshlang'ich
10
1
Oxirgi
0,5
0
0
0,5
1
1.5
2
2.5
0
0,5
1
1.5
2
2.5
3
2.5-rasm. (a) chiziqli bo'lmagan tenglamalar tizimiga dastlabki va ketma-ket
yaqinlashishlarning grafigi va (b) xato grafigi.
Bu erda J(U) - Yakobiy matritsasi sifatida belgilangan
OF OF
OF
OF2 OF2
OF2
OFm Fm
Misol muammosi uchun bizda -2-2h2U
1 1
-2-2h²
U₂
1 bor
J(U):
h2
1-2-2/²U-1
Biz Nyuton usulini tpm bo'lmagan Matlab kodida amalga oshirdik.
2.5(a)-rasmda U = x;(p-x;) bilan Nyuton usuli yordamida chiziqli bo'lmagan
BVP ning boshlang'ich va ketma-ket yaqinlashishlarini ko'rsatamiz. N = 40
mesh va tol-10-8 bardoshlik bilan birlashish uchun faqat 6 ta iteratsiya kerak
bo'ladi. To'r nuqtalarida hisoblangan yechimning cheksizlik xatosi E∞ = 1,8540 x
10-4. To'g'ri chiziqda to'r nuqtalaridagi xatolar chizilgan.
03
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
2.9 Gridni takomillashtirishni tahlil qilish texnikasi
37
J(U) ni topish har doim ham oson emas va u hisoblash uchun qimmatga tushishi
mumkin. Bundan tashqari, Nyuton usuli faqat lokal konvergent hisoblanadi, ya'ni uning
yaqinlashuvini kafolatlash uchun u yaqin dastlabki taxminni talab qiladi. Broyden va
BFGS darajali birinchi va ikkinchi darajali yangilash usullari kabi kvazi-Nyuton
usullari, shuningdek, konjugat gradient usullari Yakobiy matritsasini baholashdan
qochishi mumkin. Asosiy masalalar global konvergentsiya, konvergentsiya tartibi
(Nyuton usuli lokal ravishda kvadratik yaqinlashuv) va hisoblash masalalari (saqlash va
boshqalar) bo'lib qolmoqda. MINPACK nomli taniqli dasturiy ta'minot to'plami netlib
orqali mavjud (to'liqroq muhokama qilish uchun Dennis va Schnabel, 1996 ga qarang).
2.9 Gridni takomillashtirishni tahlil qilish texnikasi
Raqamli usulni o'rganganimizdan yoki ishlab chiqqanimizdan so'ng, uning
konvergentsiya tahlili (mustahkamlik, barqarorlik, yaqinlashish tartibi va hisoblash
murakkabligi, masalan, operatsiyalarni hisoblash, saqlash), biz tahlilni raqamli ravishda
tasdiqlashimiz va tasdiqlashimiz kerak. Algoritmik xatti-harakatlar raqamli
natijalar orqali aniqroq bo'ladi va davom etishning bir necha yo'li mavjud.
• Chiqishni tahlil qiling. Raqamli yechimlarning chegara shartlarini
va maksimal/minimal qiymatlarini ko'rib chiqing, ular mos keladimi yoki yo'qmi
ODE yoki PDE nazariyasi va sizning sezgi.
Raqamli echimlarni tajriba ma'lumotlari bilan solishtiring, etarli
parametrlarning o'zgarishi.
• Aniq yechim ma'lummi yoki yo'qmi, tarmoqni takomillashtirish tahlilini o'tkazing.
Keling, aniq yechim mavjud bo'lganda, tarmoqni yaxshilash tahlilini tushuntirib beraylik. Usul
p-tartibda to'g'ri deb faraz qiling, shunday qilib ||E||~ Ch' agar h etarlicha kichik
bo'lsa yoki
log Elog C+ plog.
(2,51)
Shunday qilib, agar log || chizamiz E|| bir xil masshtabdan foydalangan holda logga qarshi, keyin
qiyalik p yaqinlashuv tartibidir. Bundan tashqari, ||E/2 olish uchun / ni yarmiga bo'lsak,
quyidagi munosabatlarga ega bo'lamiz:
nisbati
||Bir||
Chp En/2 C(h/2)
log (E/EN/2)_log(nisbati)
log 2
log 2
2,
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
(2,52)
(2,53)
03
38
1D chegaraviy masalalar uchun chekli farq(ayirma) usullari
Birinchi tartibli usul uchun (p=1), h nolga yaqinlashganda nisbat ikkinchi
raqamga yaqinlashadi. Ikkinchi tartibli usul (p-2) uchun nisbat to'rt sonli
kulga yaqinlashadi, nolga yaqinlashadi va hokazo. Darvoqe, agar p bir va ikkita o'rtasida
qandaydir son bo'lsa, usul superchiziqli konvergent deb ataladi.
Oddiy muammo uchun biz osongina aniq yechim topishimiz mumkin. Masalan, ko'pgina
bitta chiziqli yagona ODE yoki PDE uchun biz shunchaki aniq echimni o'rnatishimiz mumkin ue(x)
va shuning uchun f(x) manba atamasi, chegara va boshlang'ich shartlar va boshqalar kabi
boshqa funktsiyalar va parametrlarni aniqlashimiz mumkin. Murakkablari uchun ODE yoki PDE
tizimlarida aniq yechim ko'pincha qiyin bo'lsa-da, qurish imkonsiz bo'lsa-da, lekin shunga
o'xshash misollar bor yoki yo'qligini bilish uchun adabiyotlarni qidirish mumkin, masalan,
ba'zilari benchmark muammolariga aylangan bo'lishi mumkin. Keyin har qanday yangi
usulni benchmark muammosi natijalari bilan solishtirish mumkin.
Agar bizda aniq yechim bo'lmasa, yaqinlashish tartibini hali ham raqamli
yechimni nozikroq to'rdan olingan bilan solishtirish orqali aniqlash mumkin.
Faraz qilaylik, sonli yechim yaqinlashdi va qanoatlantirdi
A=ue + ChP +....
(2,54)
Bu erda u - sonli yechim va u - haqiqiy yechim va u eng nozik
to'rdan olingan yechim bo'lsin.
Uh.=ue + Ch₂+...
(2,55)
Shunday qilib, bizda bor
UpMh. C(h-h.").
-
(2,56)
A/2-Uh. C((h/2) - h).
-
(2,57)
Yuqoridagi hisob-kitoblardan biz nisbatni olamiz
2" (1-(soat/soat))
1- (2s+/s)P
(h/2)P-h.P
(2,58)
undan p aniqlik tartibini taxmin qilishimiz mumkin. Misol uchun, biz ketma-ket
grid nuqtalari sonini ikki baravar oshirish
h.
h
k 2.3......
(2,59)
u holda (2.58) dagi nisbat
(h)-(h) 2 (1-2)
(2,60)
09:05:56, Cambridge Core foydalanish shartlariga muvofiq,
03