Идеальное интегрирование возможно только при идеальном оу

5.5. Интеграторы

Наиболее часто используется простейший интегратор, показанный на рис. 5.23 [15, с. 93-100]. Его передаточная функция W(p) = -1/(pR₁C₁): выходное напряжение равно интегралу по времени от входного напряжения (с обратным знаком), а постоянная времени τ₁ = R₁C₁. Идеальное интегрирование возможно только при идеальном ОУ.

Рис. 5.23. Простейший интегратор на ОУ.

Учитывая реальные коэффициенты усиления ОУ К₀ и его входное сопротивление Г₀ , а также что Г₀>>R₁ и К₀>>1, то имеем:

.
Реальный интегратор -инерционное звено 1-го порядка с коэффициентом усиления К₀ и эквивалентной постоянной времени τ_Э= К₀­R₁C₁. Реакция интегратора на скачок входного напряжения определяется:

где U_вых0­ -начальное выходное напряжение, при t=0.
То есть на выходе интегратора экспоненциальное напряжение, R₀, большой постоянной времени τ_э экспоненты.
В ЦИУ обычно задействован интервал времени много меньший значения τ_э, поэтому начальный участок экспоненты мало отличается от прямой линии. Используя разложение показательной функции в степенной ряд (ℓ^α ≈1+α+α²/2 , при α<<1) и условии t<0τ₁ , получим:

Если U_вых0=0 , то U_вых(t)=-U_вх(t/₁), то есть (t/τ₁) -эквивалентный коэффициент усиления интегратора K_UЭ, а условие близкого к идеальному интегрированию запишется: K_UЭ<0.
Входной ток ОУ С_- и напряжение смещения ℓ_см ведут к дополнительным погрешностям, так изменяют значения U_вх на величину ℓ_см+ί_-R₁. Обычно ί_-≈ ί₊ и погрешность за счёт тока ί_- корректируется установкой резистора R­₂=R₁.
Если U_вх - гармонический сигнал с частотой ω, то погрешность из-за АЧХ интегратора будет мала, при ω>>1/τ_э (реализация ФВЧ). Но при слишком больших значениях ω сказывается инерционность ОУ, а также из-за уменьшения сопротивления конденсатора С1, уменьшается коэффициент усиления интегратора и шунтируется выходное сопротивление ОУ R_вых. Полагая ОУ эквивалентным по динамическим свойствам инерционному звену первого порядка с постоянной времени τ_у , т.е. K(p)=K₀/(1+pτ_у), и приняв условия τ_вых=Г_выхС₁; К₀>>1; τ₁>>τ_вых; К₀τ₁>>τ_у , получим для такого интегратора:

Второе слагаемое этого выражения соответствует неидеальному дифференцирующему звену с коэффициентом передачи τ_вых/τ₁ и постоянной времени τ_у/K₀, а третье слагаемое соответствует инерционному звену с постоянной времени τ_у и коэффициентом передачи (τ_вых+τ_у)/К₀τ₁. При нулевых начальных условиях и скачке напряжения на входе, выходное напряжение реального интегратора описывается выражением (М) и представлено на рис. 5.23.

(М)
Отличие реального интегратора от идеального велико в начальный период, при t<τ_у/К₀ , так как ОУ из-за своей инерционности не может отработать измерение U_вх и выходное напряжение измеряется под воздействием части входного, прошедшего через элементы R₁ и C₁. Через несколько постоянных времени (τ_у/К₀), напряжение на выходе реального интегратора измеряется как у идеального, то есть отстаёт от времени из-за задержки срабатывания ОУ. Так как скорость измерения выходного напряжения определяется К₀U_вх/τ_э=U_вх/τ₁ , а сдвиг уровня выходного сигнала равен U_вх(τ_вых+τ_у)/К₀τ­₁ ,то время отставания определяется выражением:
Для коррекции запаздывания последовательность с С₁, можно включить дополнительный резистор R_g , снижающий указанные выше эффекты:

Как правило, задержкой Δt₁ пренебрегают вследствие её малости.
В выражении (М) инерционность ОУ отражена отношением τ_у/К₀ , что справедливо до тех пор, пока ОУ работает на линейном участке амплитудной характеристики: изменением входного сигнала ОУ не введён в насыщение из-за наличия τ_у и τ_вых - постоянных времени запаздывания сигнала ООС и замкнутый контур ОУ-ООС не разомкнут. Иначе время переходного процесса определяется величиной τ_у­ , а не τ_у/К₀.
В реальных интеграторах в цепь ООС вводят резистор сопротивлением порядка 10МОм параллельно С1 для компенсации влияния входных токов ОУ: если конденсатор зарядится входным током, интегратор перестаёт работать.
Расчёт погрешностей интегратора, как и других цепей ЦИУ на основе ОУ, хорошо изложен в [16, c. 59 – 77]. Здесь дана оценка статистической погрешности, обусловленной неидеальностью внешних элементов, неидеальностью ОУ и динамических погрешностей.
В тех узлах ЦИУ, где требуется интегрирование алгебраической суммы нескольких напряжений, - или вначале суммируются сигналы и далее устанавливается одновходовой интегратор, или сразу строится многовходовой интегратор. В суммирующем интеграторе входные сигналы подаются на интегратор через отдельные резисторы, включаемые, как и резистор R1 на рис. 5.23. Интеграл от разности двух напряжений удобно получать с помощью схемы, показанной на рис. 2.21 /15, с. 98 – 99/, в которой использованы интегратор и дифференциальный усилитель, усиливающий напряжение, снимаемое с конденсатора, входящего в схему интегратора. При R₂=R₁, R₆=R₄, R₇=R₅ и R₃=R₄+R_5, для выходного напряжения можно получить:
. ( )
При равенстве R₆=R₄ и R₇=R₅ передаточные функции для входных напряжений будут соответствовать передаточным функциям инвертирующего и неинвертирующего интегралов, а изменения сопротивлений R­₁-R₃ вызовут изменения постоянных интегрирования.
Различные варианты схем интеграторов рассмотренных в /15, с. 99, 65 – 74/ могут быть образованы включением конденсатора вместо нагрузки преобразователей напряжения в ток, в частности, когда конденсатор имеет заземлённый зажим, что облегчает введение в интегратор требуемых начальных условий. Различные варианты построения более сложных специальных схем интеграторов приведены в /13, с. 108 – 116/. Для ЦИУ актуален интегратор с автоматическим сбросом, рис. 5.24.

Рис. 5.24. Интегратор с автоматическим сбросом


Транзисторы VT1, VT2 позволяют уменьшить ток утечки ключа сброса относительно схемы с одним транзистором: напряжение U_cnVT1 в разомкнутом состоянии равно u_выхR₂/r_разомк и ток утечки между стоком-истоком VT1 будет меньше в r_разомк /R₂ раз, чем в схемах, где в качестве ключа используется один полевой транзистор. В схеме на DA2 построен компаратор с ПОС и гистерезисом передаточной характеристики. Когда u_вых достигает величины [u₁+(n-1)u_ст]n переключается выходное выходное состояние DA2 и VT1, VT2 открываются. Вследствие этого напряжение u_вых изменяется с постоянной времени r_{вых DA2}C и стремится к величине, равной [u₁-(n-1)u_ст/n. Когда u_вых достигает этого значения, выход DA2 возвращается в исходное состояние, VT1 и VT2 закрываются, и продолжается интегирование u­_вх [u_вых=-(1/R₁C)u_вхdt]. Диапазон изменения выходного напряжения можно регулировать соотношением сопротивлений резисторов в цепи ПОС R₃ и R₃(n-1). R₄ определяет требуемый ток стабилизации стабилитрона, не превышающий выходной ток DA2.