Ikromova xurshida ilxomiddin qizi

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA 

 MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

ZAHIRIDDIN MUHAMMAD BOBUR NOMIDAGI 

ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI 

 

Matematika kafedrasi 

                                                                        

                                                                                            Qo’lyozma huquqida 

 

IKROMOVA XURShIDA ILXOMIDDIN  QIZI 

 

ALGEBRA VA ANALIZ ASOLARI KURSIDA MODUL BELGISI OSTIDA 

QATNAShGAN TENGLAMALARNI YEChISh 

 

5130100 – matematika  

yo’nalishi bo’yicha bakalavr akademik  

darajasini olish uchun yozilgan 

 

 

BITIRUV MALAKAVIY ISH 

 

 

                                                Ish rahbari:    p.f.n. dots. Abdullayev Q 

 

 

 

Andijon 2016 

 

 

KIRISh 

Tenglamalar va ularni yechish  o‘rta maxsus, kasb-xunar ta’limi  algebra va 

analiz  asoslari    kursida  [5]  asosiy  mazmundor-uslubiy  yo‘nalishni  tashkil  etib, 

boshqa  mazmundor-uslubiy  yo‘nalishlar:  ayniy  almashtirishlar,  funksiyalar  va 

ularning  xossallarini  o‘rganish,  son  tushunchasini  kengaytirish  bilan  uzviy 

bog‘langan holda o‘rganiladi. Shuning uchun ham  akademik litsey va kasb-xunar 

kollejlari  algebra  va  analiz  asoslari  kursida  tenglamalar  va  ularni  yechishga  doir 

o’quv  materiallarini  o’rganishga,    xususan  noma’lum  modul    belgisi  ostida 

qatnashgan tenglamalarni o’rganishga alohida ahamiyat beriladi.  

Lekin noma’lum  modul belgisi ostida qatnashgan tenglamalarni yechishning  

boshqa tenglamalar sinflari: chiziqli, kvadratik, ratsional, ko‘rsatkichli, logarifmik, 

irratsional, trigonometrik tenglamalarni yechishdan farq qiladigan jihatlari mavjud 

bo‘lib, [7],[13],[17],[18] u modul belgisini ochish bilan bog‘liqdir. Yuqorida sanab 

o‘tilgan tenglamalar sinflariga tegishli misollarni  yechishda asosan quyidagi ikkita 

usuldan foydalaniladi: 

a) 

teng  kuchli  o‘tish  yordamida  yechish: 

)

(

)

(

x

g

x

f



 va 

)

(

)

(

x

h

x





 

tenglamalar yechimlari to’plami ustma-ust tushsa yoki ularning ikkalasi yechimga 

ega  bo’lmasa  teng  kuchli  tenglamalar  deyiladi.  Boshqacha  aytganda  birinchi 

tenglikning  barcha  yechimlari  tўplami  ikkinchi  tenglikning  ham  yechimlari 

tўplami    bo’lsa    va  ikkinchi  tenglikning  barcha  yechimlari  tўplami  birinchi 

tenglikning  yechimlari  tўplami  bo’lsa,  bu  ikkala  tenglik  teng  kuchli  deyiladi. 

Bundan tashqari agar ikkala tenglik yechimga ega bo’lmasa, ular ham teng kuchli 

deb hisoblanadi. 

Berilgan  tenglamani  unga  teng  kuchli  bo’lgan  tenglama  bilan  almashtirish, 

yoki  berilgan  tenglamani  unga  teng  kuchli  bo’lgan  tenglama    (tenglamalar 

birlashmasi) bilan almashtirish teng kuchli o’tish deb ataladi.  

b)  tenglamalarni  natijasiga  o‘tish  yordamida  yechish:  Agar 

)

(

)

(

x

h

x

f



 

tenglama  ildizlari  orasida 

)

(

)

(

x

g

x

f



 tenglamaning  barcha  ildizlari  saqlansa, 

)

(

)

(

x

h

x

f



 tenglama 

)

(

)

(

x

g

x

f



 tenglamaning natijasi deyiladi.  

Berilgan tenglamani unga natijaviy tenglama bilan almashtirish, yoki berilgan 

tenglamani  unga  natijaviy  bo‘lgan  tenglama  (tenglamalar  birlashmasi)  bilan 

almashtirish natijaga o‘tish deb ataladi. 

Modul  belgisi  ostida  qatnashgan  tenglamalarni  yechishda  modul  belgisini 

ochish uchun quyidagi usullardan  foydalaniladi.  

1)  ta’rifdan foydalanib, modul belgisini ochish; 

2)  tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko‘tarish usuli; 

3)  oraliqlarga bo‘lish usuli. 

Noma’lum modul belgisi ostida qatnashgan tenglamalarga doir misollarni  

yechishning  bu  usullari,  akademik  litsey  va  kasb-xunar  kollejlari  matematika 

kursida  o‘rganiladigan  boshqa  tenglamalar  sinfiga  tegishli  misollarni  yechish 

usullaridan farq qilgani uchun, o‘quvchilarning bu tenglamalarga yechish bo‘yicha 

bilim va ko‘nikmalari talab darajasida emasligi ko‘rinib  qolmoqda. 

Bunday  natijalarni  qayd  etilishiga  sabab  bir  tomondan  yuqorida 

ko‘rsatilgan  bu  tenglamalar  sinfiga  tegishli  misollarni  yechishning  o‘ziga  xosligi 

bo‘lsa,  ikkinchi  tomondan,  bugungi  kunda  algebra  va  analiz  asoslari  kursida  

noma’lum modul belgisi ostida qatnashgan tenglamalarning o‘rni va mavqei yetarli 

darajada  asoslanmaganligi,  o‘rganilishi  lozim  bo‘lgan  o‘quv  materialini  tanlab 

olish  va  joylashtirish  tamoyillarni  xaligacha  to‘liq  aniqlanmaganligi,  nazariy 

materialni  yoritilishning  darajasi  ishlab  chiqilmaganligi,  mashqlar  sistemasi 

didaktik talablarga to‘la javob bermasligidadir. [7],[12] 

Mana  shu  asosda  bitiruv  malakaviy  ishi  tadqiqot  muammosi  aniqlandi: 

akademik  litsey  va  kasb-xunar  kollejlari  matematika  kursida  noma’lum  modul 

belgisi ostida qatnashgan tenglamalar va ularni yechish bo‘yicha o‘quv materialini 

ishlab chiqish va mashqlar sistemasini shakllantirish.  

Tadqiqot ob’ekti:  

Algebra  va  analiz  asoslari  kursida  modul  belgisi  ostida  qatnashgan 

tenglamalar va o‘quvchilarni ularni yechishga o‘rgatish.  

Tadqiqotning maqsad va vazifalari: 

Bitiruv  malakaviy  ishida  akademik  litsey  va  kasb-xunar  kollejlari 

matematika  kursida  noma’lum  modul  belgisi  ostida  qatnashgan  tenglamalarni 

yechish  bo‘yicha  o‘quv  materialini taxlil etish  va  uni  takomilllashtirish  yo‘llarini 

aniqlash  asosida,  ushbu  mavzu  bo‘yicha    o‘quv  materialini  yaratish  va  mashqlar 

sistemasini tuzish: 

Bu maksadni amalga oshirish uchun quyidagi vazifalar hal qilindi:  

- 

umumiy  o‘rta  ta’lim  maktabi  “Algebra”  kursida  noma’lum  modul 

belgisi ostida qatnashgan tenglamalarga doir o‘quv materiali, ya’ni bu tenglamalar 

sinfini o‘rganishga tayyorgarlik davridagi amalga oshirilgan ishlar taxlil qilindi; 

- 

o‘rta maxsus, kasb-xunar ta’limi matematika kursida noma’lum modul 

ostida  qatnashgan  tenglamalar  va  ularni  yechish  bo‘yicha  o‘rganiladigan  o‘quv 

materiallari tahlil qilindi;  

- 

o‘quv,  o‘quv-metodik  adabiyotlar  taxlil  qilinib,  noma’lum  modul 

belgisi ostida qatnashgan tenglamalarni  yechish usullari  aniqlandi;  

- 

o‘rta  maxsus,  kasb-xunar  ta’limi  matematika  kursida  o‘rganiladigan  

noma’lum  modul  belgisi  ostida  qatnashgan  tenglamalarni    o‘rganish  bo‘yicha 

o‘quv materiallari va mashqlar sistemasi  yaratildi.  

Tadqiqotning predmeti 

 Akademik litsey va kasb-xunar kollejlari algebra va analiz asoslari kursida 

noma’lum modul belgisi ostida qatnashgan tenglamalarni yechishga o’quvchilarni 

o’rgatishni  takomillashtirishning  mumkin  bo’lgan  yo’llarini    taxlil  etish  asosida 

aniqlash. 

Tadqiqotning amaliy ahamiyati. 

Tadqiqot  asosida  yaratilgan  noma’lum  modul  belgisi  ostida  qatnashgan 

tenglamalar va ularni yechish bo‘yicha yaratilgan o‘quv materiallari, o‘rta maxsus, 

kasb-xunar  ta’limi  algebra  va  analiz  asoslari  kursida  uslubiy  qo‘llanma  sifatida 

qo‘llanilishi mumkin.  

 

 

 

 

1-BOB. NOMA’LUM MODUL BELGISI OSTIDA QATNAShGAN TENGLAMALARNI 

YEChISh BO‘YIChA NAZARIY  MA’LUMOTLAR 

1-§ NOMA’LUM MODUL BELGISI OSTIDA 

QATNAShGAN TENGLAMALARNI YEChISh USULLARI 

Modul  belgisi  ostida  qatnashgan  tenglamalarni  yechishda  ko‘p  xollarda 

quyidagi metodlardan foydalaniladi:[7],[13],[15],[19],[21] 

1)  Ta’rifdan foydalanib modul belgisini ochish. 

2)  Tenglamaning ikkala qismini kvadratga ko‘tarib yechish. 

3)  Oraliqlarga bo‘lish usuli  

1.  Ta’rifdan  foydalanib modul belgisi ostida qatnashgan tenglamalarni  

yechish.  

                (1) 

ta’rifdan    foydalanib modul belgisini ochish quyidagi ko‘rinishdagi modul 

belgisi ostida qatnashgan tenglamalar yechiladi. 

      1. 

b

x

f



)

(

 ko‘rinishdagi tenglamalarni  yechish.

 

   

b

x

f



)

(

    (2) tenglama noma’lum modul belgisi ostida qatnashgan eng 

sodda tenglamadir. Bu tenglamani yechishda quyidagi xollar bo‘lishi mumkin: 

a) b   <   0 da (2) tenglama yechimga ega emas, 

b) b   =   0 da (2) tenglama f ( x )   =   0 tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. 

v ) b > 0         da,    (2)    tenglama    f ( x )   =   b         hamda    

f

( x )   =   -b       

tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi. 

1 - misol. |3x - 2| = 7   tenglamani yeching. 



















бўлса

x

агарf

x

f

бўлса

x

агарf

x

f

x

f

0

)

(

),

(

0

)

(

),

(

)

(

Yechish.   Berilgan   tenglama   quyidagi:   a) 3x - 2 = 7    va   b)    3x - 2 = -

7 tenglamalar  birlashmasiga teng  kuchlidir.  Ularni  yechib   x = 3   va   x =

 

 

ildizlarni hosil qilamiz. 

Javob: 

 = 3;  

3

5

2





x

 

2-misol. 

6

5

2





x

x

 tenglamani yeching.  

Yechish. Berilgan tenglama quyidagi:  

a)   

6

5

2





x

x

   va  b)   

6

5

2







x

x

 tenglamalar  birlashmasiga  teng 

kuchlidir.  

Ularni yechib: a) 

;

0

6

5

2







x

x

  

,

6

1





x

   

1

2



x

 

                       b)  

;

0

6

5

2







x

x

  

,

3

3





x

   

2

4





x

 

berilgan tenglama ildizlarini topamiz. 

Javob: 

,

6

1





x

1

2



x

, 

,

3

3





x

 

2

4





x

 

3-misol. 

2

6

5

2







x

x

 tenglamani yeching.  

Yechish. Berilgan tenglama quyidagi: 

a) 

2

6

5

2







x

x

  va b)  

2

6

5

2









x

x

  tenglamalar birlashmasiga teng kuchli 

bo‘ladi.  

Ularni yechib: a) 

0

4

5

2







x

x

; 

,

1

1



x

 

,

4

2



x

 

                       b) 

0

8

5

2







x

x

 bu  kvadrat  tenglamaning  diskriminanti  

0

7

8

4

25













D

 bo‘lgani uchun haqiqiy ildizlarga ega emas.  

Demak, berilgan tenglama ildizlari 

,

1

1



x

 va 

4

2



x

 bo‘ladi.  

Javob: 

,

1

1



x

4

2



x

,  

2. 

)

(

)

(

x

g

x

f



ko‘rinishdagi tenglamalarni yechish.  

 

)

(

)

(

x

g

x

f



    tenglama   

 a) 

f ( x )  

 0 da, f ( x )   =   g ( x )    va 

b) 

0

)

(



x

f

 da, - f ( x )   =   g ( x )   tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi. 

4-misol. |2x-3| = 8-x tenglamani yeching. 

Yechish: Berilgan tenglama quyidagi: 

2x -3 

 0 da 2x - 3 = 8 - x , 

2x - 3 < 0 da - (2x - 3) = 8 - x tenglamalar birlashmasiga teng kuchli 

buladi 

Demak, 

a)  2x  -  3 

0  da,  ya’ni 

2

3



x

 da,  2x  -3  =  8  -  x  bo‘lib,  bundan   

3

11



x

 

yechimni  xosil qilamiz. Bu yechim  

2

3



x

 sohaga tegishli bo‘lgani uchun 

berilgan tenglamaning ham yechimi bo‘ladi. 

b)  2x - 3 < 0     da, ya’ni   

2

3



x

 da    -(2x-3)  =8-x    bo‘lib,   bundan   

5





x

 yechimni 

hosil  qilamiz.  Bu  yechim 

2

3



x

 sohaga  tegishli  bo‘lgani  uchun  berilgan 

tenglamanin ham yechimi bo‘ladi.  

Demak, berilgan tenglama ikkita 

3

11

1



x

  va 

5

2





x

 yechimga ega bo‘ladi. 

                                                                                               Javob;

3

11

1



x

;

5

2





x

.   

         3. 

)

(

)

(

x

g

x

f



 ko‘rinishdagi tenglamalarni yechish. 

)

(

)

(

x

g

x

f



      tenglama    

f

(x) = g(x)    hamda    f ( x )   =   - g ( x )        

tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi. 

5- misol. |2x - 5| = |5 - 3x|    tenglamani yeching. 

Yechish. Berilgan tenglama quyidagi:  

a) 2x - 5 = 5 - 3x va  b) 2x - 5 = -(5 - 3x) tenglamalar birlashmasiga teng 

kuchli bo‘ladi. 

Birinchi tenglamadan x= 2 va ikkinchi tenglamadan x

2

 = 0 ildizlarni 

topamiz.                                                                                 Javob: 

 = 2; x

2

 = 0. 

 

4. f

 

x

  =   g ( x )    kurinishdagi tenglamalarni yechish. 

f

 

x

  =   g ( x )   (3) kurinishdagi tenglama: 

a)  x 



 0 bo‘lganda  f ( x )   =   g ( x )    va 

b)  x < 0 bo‘lganda   f  (-x)=g ( x )   t englamalar 

birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi. 

Demak, bu kurinishdagi tenglamalarni yechish uchun: 

a)dastlab 

0



x

 to‘plamga tegishli bo‘lgan f ( x )   =   g ( x )   tenglama yechimlari 

topilib,  so‘ngra 

b) x < 0 to‘plamga tegishli bo‘lgan f  (- x) = g ( x )   tenglama yechimlari topiladi. Bu 

yechimlar birlashmasi (3) tenglamaning barcha yechimlar to‘plamini beradi. 

6 —misol. x

2

 -5|x| + 4 = 0  tenglamani yeching. 

Yechish: Berilgan tenglama 

           a) 

0



x

 to‘plamda 

0

4

5

2







x

x

 tenglamaga  

          b) 

0



x

 to‘plamda 

0

4

)

(

5

2









x

x

 tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. 

0

4

5

2







x

x

 kvadrat  tenglama  ikkita 

1

1



x

 va 

4

2



x

 ildizlarga  ega  bo‘lib, 

ularning  har  biri  manfiy  emas.  Demak,  1  va  4  sonlari    tenglamaning  ildizlari 

bo‘ladi.  

0

4

5

2







x

x

 kvadrat  tenglama  ham  ikkita 

1

3





x

 va 

4

4





x

 ildizlarga  ega 

bo‘lib, ularning har biri manfiy. Demak, -1 va  -4 sonlari   tenglamaning ildizlari 

bo‘ladi.  

Shunday qilib, berilgan  tenlamaning barcha yechimlari 1,4, -1, -4 sonlaridan 

iborat bo‘ladi. 

                                                           Javob: 

4

;

1

;

4

;

1

4

3

2

1













x

x

x

x

  

Bu  tenglamani  o‘zgaruvchini  almashtirish  usuli  bilan  ham  yechish  mumkin. 

Buning  uchun 

2

2

2

x

x

x





 ekanligidan  foydalanib,  berilgan  tenglamani 

0

4

5

2







x

x

 ko‘rinishda  yozib  olib 

x

t



 almashtirish  kiritsak, 

0

4

5

2







t

t

 

tenglamani hosil qilamiz. 

Bu  tenlamaning  ildizlari  1  va  4  musbat  sonlaridan  iborat.  Shuning  uchun 

berilgan tenglama quyidagi tenglamalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi.  

a)  

1



x

           b)  

4



x

 

Ularni yechib, berilgan tenglamaning -1; 1; -4; 4 yechimlarini hosil qilamiz. 

5.  

)

(

)

(

(

x

g

x

f

h



 ko‘rinishdagi tenglamarni yechish.  

)

(

)

(

(

x

g

x

f

h



 ko‘rinishdagi tenglama 











0

)

(

)

(

))

(

(

x

f

x

g

x

f

h

                            













0

)

(

)

(

))

(

(

x

f

x

g

x

f

h

 sistemalar  birlashmasiga  teng  kuchli 

bo‘ladi. Bu yerda h,f va g lar ixtiyoriy funksiyalardir. 

7-misol.       

.

1

1

3

2

1









x

x

 tenglamani yeching  

Yechish.  Berilgan  tenglama  quyidagi  ikkita  sistemalar  birlashmasiga  teng  kuchli 

bo‘ladi. 

 





















,

1

)

1

(

3

2

1

,

0

1

x

x

x

                





















,

1

)

1

(

3

2

1

,

0

1

x

x

x

 

 Birinchi  sistema  tenglamasi       

,

1

4

2

1







x

x

 ni  yechib, 

x

x







4

2

1

, 







3

x

          

uning  yagona  ildizini  topamiz.  Lekin  bu  qiymatda 

0

1





x

 shart  bajarilmaydi, 

shuning uchun bu sistema yechimga ega emas.         

Ikkinchi  sistema  tenglamasi   

,

1

2

2

1







x

x

 ni    yechib, 

x

x







2

2

1

,   







3

/

1

x

 uning 

yagona  ildizini    topamiz.Bu  qiymatda     

0

1





x

 shart  bajarilib,      -1/3  soni  bu 

sistemaning yechimi bo‘ladi. 

 Demak, berilgan tenglamaning yagona yechimi 

3

/

1





x

 bo‘ladi.  

Javob: 

3

/

1





x