Integrallar. Alijon hamidov 1-misol: Bo’laklab integrallash formulasi
Download 0.63 Mb. Pdf ko'rish
|
Aniqmas integrallarning ishlanishi va mustaqil ishlash uchun misollar
|
1-misol: Bo’laklab integrallash formulasi: ∫ 𝒖𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖 Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒙
𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒙 𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙
= | 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒗 = 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔𝒙 |
= 𝒙 𝟐
= 𝒙
𝟐 ∙ (−𝒄𝒐𝒔𝒙) + 𝟐 ∫ 𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = |
𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 | = −𝒙 𝟐
+𝟐( 𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 −
∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙
) = −𝒙 𝟐 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝟐𝒙𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝑪. 2-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟕 𝒙𝒅𝒙
𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟕
𝟔 𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙(𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙)
𝒅𝒙 = ==.
. . =====
= − ∫(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙) 𝟑 𝒅(𝒄𝒐𝒔𝒙) = | 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 | = − ∫(𝟏 − 𝒖 𝟐 )
𝒅𝒖 = ===
. . . . =====
= − ∫(𝟏 − 𝟑𝒖 𝟐 + 𝟑𝒖 𝟒 − 𝒖
𝟔 )𝒅𝒖 = −𝒖 + 𝒖 𝟑 − 𝟑
𝒖 𝟓 𝟓 + 𝒖 𝟕 𝟕 + 𝑪 =
−. . .
+𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙−=== . = −𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒙 − 𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟓 𝒙 𝟓 + 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙 𝟕 + 𝑪. 3-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒙+𝟓 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 𝒅𝒙
𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒙+𝟓
𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒙−𝟐
𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 + 𝟕 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕
) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙−𝟐
𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 𝒅𝒙 + ∫ 𝟕 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝟐𝒙−𝟒
𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 𝒅𝒙 + 𝟕 ∫ 𝟏 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕
𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝒅(𝒙
𝟐 −𝟒𝒙+𝟕)
𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟕 + 𝟕 ∫ 𝟏 (𝒙−𝟐) 𝟐 +𝟑 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕) + 𝟕 ∫ 𝟏 𝟑((
𝒙−𝟐 √𝟑 ) 𝟐 +𝟏)
𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕) + 𝟕 𝟑 ∫ 𝟏 ( 𝒙−𝟐 √𝟑 ) 𝟐 +𝟏 𝒅𝒙 =
𝟏 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕) + 𝟕 𝟑
√𝟑𝒅( 𝒙−𝟐
√𝟑 ) ( 𝒙−𝟐 √𝟑 ) 𝟐 +𝟏 = 𝟏 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕) + 𝟕√𝟑 𝟑
𝒙−𝟐 √𝟑 ) + 𝑪 . 4-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒙 𝟓 √𝟗−𝒙
𝟐 𝒅𝒙 | |
𝟐 = 𝒕
𝒙 𝟐 = 𝟗 − 𝒕 𝒙 = √𝟗 − 𝒕 𝒅𝒙 = −
𝒅𝒕 𝟐𝒙 = − 𝒅𝒕 𝟐√𝟗−𝒕
| |
𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒙 𝟓 √𝟗−𝒙
𝟐 𝒅𝒙 = ∫
𝒙 𝟒 ∙𝒙𝒅𝒙 √𝟗−𝒙 𝟐 = ∫ (𝟗−𝒕) 𝟐 ∙(− 𝒅𝒕 𝟐 ) √𝒕 = 𝟏 𝟐 ∫ (𝟗−𝒕) 𝟐 −√𝒕
𝒅𝒕 = − 𝟏 𝟐 ∫ 𝟖𝟏−𝟏𝟖𝒕+𝒕
𝟐 √𝒕 𝒅𝒕 = = − 𝟏 𝟐 ∫ (𝟖𝟏𝒕 − 𝟏 𝟐 − 𝟏𝟖𝒕
𝟏 𝟐 + 𝒕 𝟑 𝟐 ) 𝒅𝒕 = − 𝟏 𝟐 (𝟖𝟏 ∙ 𝟐 ∙ 𝒕 𝟏 𝟐 − 𝟏𝟖 ∙ 𝟐 𝟑 𝒕 𝟑 𝟐 + 𝟐 𝟓 ∙ 𝒕 𝟓 𝟐 ) = = −𝟖𝟏 ∙ √𝒕 + 𝟔√𝒕 𝟑 − √𝒕 𝟓 𝟓 + 𝑪 = −𝟖𝟏√𝟗 − 𝒙 𝟐 + 𝟔√(𝟗 − 𝒙 𝟐 ) 𝟑 − √(𝟗−𝒙
𝟐 ) 𝟓 𝟓 + 𝑪.
Aniqmas integralni toping: ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝟏
𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙+𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝟏 + 𝒕𝒈 𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = |
𝒕𝒈𝒙 = 𝒖 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝒖 𝒅𝒙 = 𝟏
𝟐 𝒅𝒖 | = = ∫(𝟏 + 𝒖 𝟐 ) 𝟏 𝟏+𝒖
𝟐 𝒅𝒖 = ∫ 𝒅𝒖 = 𝒖 + 𝑪 = 𝒕𝒈𝒙 + 𝑪. 6-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒕𝒈
𝟐 𝒙𝒅𝒙
𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = ⋯ ==== = . .
, ==== = = ∫ 𝟏−𝒄𝒐𝒔
𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 − ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 = −
= ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 = ∫ 𝒅(𝒔𝒊𝒏𝒙)
𝟏−𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 − 𝒔𝒊𝒏𝒙 = | 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒖
|= ∫ 𝒅𝒖 𝟏−𝒖 𝟐 − 𝒖 = = −𝒖 + 𝟏
∫ ( 𝟏 𝒖+𝟏 − 𝟏 𝒖−𝟏 ) 𝒅𝒖 = −𝒖 + 𝟏 𝟐 (𝒍𝒏(𝒖 + 𝟏) − 𝒍𝒏(𝒖 − 𝟏)) = = −𝒖 +
𝟏 𝟐 𝒍𝒏 | 𝒖+𝟏 𝒖−𝟏
| + 𝑪 = −𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒍𝒏 | 𝒔𝒊𝒏𝒙+𝟏
𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟏 | + 𝑪.
7-misol: Aniqmas integralni toping: ∫(𝒍𝒏
−𝟏 𝒙 − 𝒍𝒏
−𝟐 𝒙)𝒅𝒙
𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫(𝒍𝒏
−𝟏 𝒙 − 𝒍𝒏
−𝟐 𝒙)𝒅𝒙 = ∫ ( 𝒍𝒏𝒙−𝟏 𝒍𝒏
𝒙 ) 𝒅𝒙 = |
𝒍𝒏𝒙 = 𝒕 𝒙 = 𝒆
𝒕 𝒅𝒙 = 𝒆
𝒕 𝒅𝒕 | = ==== = ∫ (
𝒕−𝟏 𝒕 𝟐 ) 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 = ∫ ( 𝟏 𝒕 − 𝟏 𝒕 𝟐 ) 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 = ∫ 𝟏 𝒕 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 − ∫
𝟏 𝒕 𝟐 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 = ======= = ∫
𝟏 𝒕 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 − ∫ 𝒕
−𝟐 ∙ 𝒆
𝒕 𝒅𝒕 = |
𝒖 = 𝒆 𝒕 𝒅𝒗 = 𝒕 −𝟐 𝒅𝒕 𝒅𝒖 = 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 𝒗 = −𝒕 −𝟏
======== = = ∫
𝟏 𝒕 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 − (𝒆
𝒕 ∙ (−𝒕)
−𝟏 − ∫ −𝒕
−𝟏 ∙ 𝒆
𝒕 𝒅𝒕) =
=============== = ∫
𝟏 𝒕 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 +
𝒆 𝒕 𝒕 − ∫ 𝟏 𝒕 ∙ 𝒆 𝒕 𝒅𝒕 = 𝒆 𝒕 𝒕 + 𝑪 = 𝒆 𝒍𝒏𝒙 𝒍𝒏𝒙 + 𝑪 =
𝒙 𝒍𝒏𝒙
+ 𝑪.
∫ 𝟒
𝒍𝒏(𝟑𝒙) 𝒙 𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝟒
𝒍𝒏(𝟑𝒙) 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟒 ∙ ∫ 𝒍𝒏(𝟑𝒙)𝒅(𝒍𝒏𝟑𝒙) = | 𝒍𝒏(𝟑𝒙) = 𝒖 | =
==== = 𝟒
∙ ∫ 𝒖𝒅𝒖 =
𝟒 ∙ 𝒖 𝟐 𝟐 + 𝑪 = 𝟐
∙ 𝒖 𝟐 + 𝑪 = 𝟐 ∙ 𝒍𝒏 𝟐 (𝟑𝒙) + 𝑪.
Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝒍𝒏𝒙𝒅𝒙 = | 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝒅𝒖 =
𝟏 𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒙 | = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒙 − ∫ 𝒙 ∙ 𝟏 𝒙 𝒅𝒙 = == = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒙 − ∫ 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏𝒙 ∙ 𝒙 − 𝒙 + 𝑪. 10-misol: Aniqmas integralni toping: ∫(𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙))𝒅𝒙 1-usul: ∫(𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙))𝒅𝒙 = ∫ 𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙)𝒅 ( 𝟏 𝟐
====== = |
𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) = 𝒖 | = ∫ 𝒖𝒅 ( 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 ∫ 𝒖𝒅𝒖 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝒖 𝟐 𝟐 + 𝑪 = 𝟏 𝟒 ∙ 𝒔𝒊𝒏 𝟐 (𝟐𝒙) + 𝑪. 2-usul: ∫(𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙))𝒅𝒙 = ∫ ( 𝟏 𝟐
== = 𝟏 𝟐 ∫ 𝒔𝒊𝒏(𝟒𝒙)𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐
𝟏 𝟒 ) ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙) + 𝑪 = − 𝟏 𝟖 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟒𝒙) + 𝑪. 11-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝒙 ∙ √𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 1-usul: ∫ 𝒙 ∙ √𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 = | 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒗 = √𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝒗 = (𝒙+𝟒) 𝟑
𝟑 𝟐
| = ========== = 𝒙 ∙ (𝒙+𝟒)
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 − ∫
(𝒙+𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙 ∙ 𝟐(𝒙+𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟐 𝟑 ∫(𝒙 + 𝟒)
𝟑 𝟐 𝒅𝒙 = ======== = 𝒙 ∙
𝟐(𝒙+𝟒) 𝟑 𝟐 𝟑 − 𝟐 𝟑 ∙ (𝒙+𝟒) 𝟓 𝟐 𝟓 𝟐 + 𝑪 =
𝟐 𝟑 ∙ 𝒙√(𝒙 + 𝟒) 𝟑 − 𝟒 𝟏𝟓 ∙ √(𝒙 + 𝟒) 𝟓 + 𝑪. 2-usul: ∫ 𝒙 ∙ √𝒙 + 𝟒𝒅𝒙 = | 𝒙 + 𝟒 = 𝒖 𝒙 = 𝒖 − 𝟒 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 | = ∫(𝒖 − 𝟒) ∙ √𝒖𝒅𝒖 = ======= = ∫ (𝒖
𝟑 𝟐 − 𝟒𝒖 𝟏 𝟐 ) 𝒅𝒖 = ∫ 𝒖 𝟑 𝟐 𝒅𝒖 − 𝟒 ∫ 𝒖 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 = 𝒖 𝟑 𝟐+𝟏 𝟑 𝟐 +𝟏 − 𝟒 ∙ 𝒖 𝟏 𝟐+𝟏 𝟏 𝟐 +𝟏 + 𝑪 =
==== = 𝟐 𝟓 ∙ 𝒖
𝟓 𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟐 𝟑 ∙ 𝒖 𝟑 𝟐 + 𝑪 = 𝟐 𝟓 ∙ (𝒙 + 𝟒) 𝟓 𝟐 − 𝟖 𝟑 ∙ (𝒙 + 𝟒) 𝟑 𝟐 + 𝑪. 𝑬𝒔𝒍𝒂𝒕𝒎𝒂: 𝑯𝒐𝒔𝒊𝒍𝒂𝒍𝒂𝒓𝒊 𝒃𝒊𝒓 𝒙𝒊𝒍 𝒃𝒐 ′ 𝒍𝒈𝒂𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒌𝒔𝒊𝒚𝒂𝒍𝒂𝒓(𝒊𝒇𝒐𝒅𝒂𝒍𝒂𝒓) − − − − − 𝒃𝒊𝒓 − 𝒃𝒊𝒓𝒊𝒅𝒂𝒏
𝒇𝒂𝒓𝒒 𝒒𝒊𝒍𝒊𝒔𝒉𝒊 𝒎𝒖𝒎𝒌𝒊𝒏! (𝟏𝟎 − 𝟏𝟏 − 𝒎𝒊𝒔𝒐𝒍𝒍𝒂𝒓)
Aniqmas integralni toping: ∫ √𝒙+𝟑 𝟑 +𝟒 √𝒙+𝟑 𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ √𝒙+𝟑
𝟑 +𝟒 √𝒙+𝟑 𝒅𝒙 = | 𝒙 + 𝟑 = 𝒖 𝟔
𝟓 𝒅𝒖 | = ∫ √𝒖 𝟔 𝟑 +𝟒 √𝒖 𝟔 ∙ 𝟔𝒖 𝟓 𝒅𝒖 = ===== = 𝟔 ∙ ∫
𝒖 𝟐 +𝟒 𝒖 𝟑 ∙ 𝒖 𝟓 𝒅𝒖 = 𝟔 ∙ ∫(𝒖 𝟐 + 𝟒) ∙ 𝒖
𝟐 𝒅𝒖 = 𝟔 ∙ ∫(𝒖 𝟒 + 𝟒𝒖
𝟐 )𝒅𝒖 =
=== = 𝟔 (
𝒖 𝟓 𝟓 + 𝟒 𝒖 𝟑 𝟑 ) + 𝑪 =
𝟔 𝟓 ∙ 𝒖 𝟓 + 𝟖 ∙ 𝒖
𝟑 + 𝑪 =
================= = 𝟔 𝟓 ∙ √(𝒙 + 𝟑) 𝟓 𝟔
13-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝟏 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 1-usul: ∫ 𝟏 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 =
| | | 𝒕 = 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒕 =
𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 => 𝟏 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒕𝒈 𝟐 ( 𝒙 𝟐 )) 𝒅𝒙 =>
=> 𝟏 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒕 𝟐 )𝒅𝒙 => 𝒅𝒙 = 𝟐𝒅𝒕 𝟏+𝒕
𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒙 =
𝟏−𝒕𝒈 𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝟏+𝒕𝒈 𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) = 𝟏−𝒕
𝟐 𝟏+𝒕
𝟐 | | | = ∫
𝟏 𝟏+ 𝟏−𝒕𝟐 𝟏+𝒕𝟐 ∙ 𝟐𝒅𝒕 𝟏+𝒕 𝟐 = 𝟐 ∙ ∫ 𝟏+𝒕 𝟐 𝟐 ∙ 𝒅𝒕 𝟏+𝒕 𝟐 = ∫ 𝒅𝒕 = 𝒕 + 𝑪 = 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐
2-usul: ∫ 𝟏 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙 = ∫
𝟏 𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 )+𝒔𝒊𝒏
𝟐 ( 𝒙 𝟐 )+𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 )−𝒔𝒊𝒏
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 = ========= = ∫
𝟏 𝟐∙𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∙ ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 = 𝟏 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐 ) + 𝑪 = 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐 ) + 𝑪. 14-misol: Aniqmas integralni toping: ∫ 𝟏 𝟏+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 𝒀𝒆𝒄𝒉𝒊𝒔𝒉: ∫ 𝟏 𝟏+𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙 =
| | | 𝒕 = 𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒕 =
𝟏 𝟐 ∙ 𝟏 𝒄𝒐𝒔
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) 𝒅𝒙 => 𝟏 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒕𝒈 𝟐 ( 𝒙 𝟐 )) 𝒅𝒙 =>
=> 𝟏 𝟐 ∙ (𝟏 + 𝒕 𝟐 )𝒅𝒙 => 𝒅𝒙 = 𝟐𝒅𝒕 𝟏+𝒕
𝟐 𝒔𝒊𝒏𝒙 =
𝟐∙𝒕𝒈( 𝒙 𝟐 ) 𝟏+𝒕𝒈
𝟐 ( 𝒙 𝟐 ) = 𝟐∙𝒕 𝟏+𝒕
𝟐 | | | =
= ∫ 𝟏 𝟏+ 𝟐∙𝒕 𝟏+𝒕𝟐 ∙ 𝟐𝒅𝒕 𝟏+𝒕 𝟐 = 𝟐 ∙ ∫ 𝟏 𝒕 𝟐 +𝟐𝒕+𝟏 𝒅𝒕 = 𝟐 ∙ ∫ 𝟏 (𝒕+𝟏)
𝟐 𝒅𝒕 = 𝟐 ∙ ∫(𝒕 + 𝟏) −𝟐 𝒅𝒕 =
= = 𝟐 ∙
(𝒕+𝟏) −𝟐+𝟏
−𝟐+𝟏 + 𝑪 = −𝟐 ∙ (𝒕 + 𝟏) −𝟏 + 𝑪 = − 𝟐 ∙ (𝒕𝒈 ( 𝒙 𝟐 ) + 𝟏) −𝟏 + 𝑪 =
= = −
𝟐 𝒕𝒈(
𝒙 𝟐 )+𝟏 + 𝑪. Mustaqil ishlash uchun misollar: 1 . ∫ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟗
3 . ∫ 𝒙+𝟑 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟏 𝒅𝒙 4 . ∫ 𝒙−𝟏 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙+𝟖 𝒅𝒙 5 . ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒔𝒊𝒏 𝟓
7 . ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟓 𝒙𝒄𝒐𝒔
𝟐 𝒙𝒅𝒙
8 . ∫ 𝒙+𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟗 𝒅𝒙 9 . ∫ 𝟏 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 1 0 . ∫ 𝒙
𝟑 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 𝒅𝒙
1 1 . ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟑 𝒙𝒄𝒐𝒔
𝟓 𝒙𝒅𝒙
1 2 . ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒕𝒈 𝟐 𝒙𝒅𝒙 1 3 . ∫ 𝒙+𝟑 𝒙 𝟐 −𝟐𝒙+𝟔 𝒅𝒙 1 4 . ∫ 𝒔𝒊𝒏
𝟒 𝒙𝒄𝒐𝒔
𝟑 𝒙𝒅𝒙
1 5 . ∫ 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒙𝒅𝒙 1 6 . ∫ 𝒙+𝟐 𝒙 𝟐 −𝟒𝒙+𝟏 𝒅𝒙 1 7 . ∫ 𝒙
𝟒 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙𝒅𝒙
1 8 . ∫ 𝒕𝒈𝒙𝒄𝒐𝒔
𝟓 𝒙𝒅𝒙 1 9 . ∫ 𝒙
𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒅𝒙 2 0 . ∫ 𝒆
𝒙 𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙𝒅𝒙 2 1 . ∫(𝒔𝒊𝒏(𝟑𝒙) ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙))𝒅𝒙 2 2 . ∫ 𝒍𝒏(𝟐𝒙)𝒅𝒙 2 3 . ∫ 𝟐 ∙ 𝒍𝒏(𝟒𝒙)
𝒙 𝒅𝒙 2 4 . ∫ 𝒙+𝟒 𝒙 𝟐 −𝟔𝒙+𝟏𝟑 𝒅𝒙 2 5 . ∫ (
𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝟐 𝒙 +𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟒 𝒙𝒄𝒐𝒔
𝟓 𝒙 −
𝟑 𝒔𝒊𝒏𝒙
) 𝒅𝒙 2 6 . ∫ 𝒙
∙ √𝒙 + 𝟐𝒅𝒙 2 7 . ∫ √𝒙+𝟏 𝟑 +𝟓 √𝒙+𝟏 𝒅𝒙 2 8 . ∫ 𝒙
∙ √𝒙 + 𝟑𝒅𝒙
2 9 . ∫ √𝒙+𝟔 𝟑 +𝟐 √𝒙+𝟔 𝒅𝒙 3 0 . ∫ 𝒙
∙ √𝒙 + 𝟔𝒅𝒙 3 1 . ∫ 𝟏 𝟏+𝒄𝒐𝒔(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 3 2 . ∫ 𝟏 𝟏+𝒔𝒊𝒏(𝟐𝒙) 𝒅𝒙
∫ 𝟐
𝒅𝒙 3 4 . ∫ 𝟑 𝟏+𝒄𝒐𝒔𝒙 𝒅𝒙
∫ 𝒍𝒏(𝟓𝒙)𝒅𝒙 Hayotning ikkita bezagi bor: Matematika bilan shug’ullanish va o’qitish. P u a s s o n Download 0.63 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|