Integration of the toda-type chain with an integral type


Download 228.05 Kb.
Pdf ko'rish
Sana02.07.2020
Hajmi228.05 Kb.

Современные проблемы дифференциалных уравнений и смежных раз..., Фергана-2020 1

UDK 517.946

INTEGRATION OF THE TODA-TYPE CHAIN WITH AN INTEGRAL TYPE

SOURCE


B.A.Babajanov

1

, M.M. Ruzmetov



1

, A.B. Babajanov

1

1

Urgench State University, Urgench, Uzbekistan;



a.murod@mail.ru

Abstract. In this paper, it is shown that the solutions of the Toda-type chain with a self-

consistent integral type source can be found by the inverse scattering method for the discrete

Sturm-Liuville operator.

Keywords. Toda-type chain, self-consistent integral type source, inverse scattering method,

moving eigenvalues, one-soliton solution.

The formulation of problem

The Toda lattice [1, 2] is a simple model for a nonlinear one-dimensional crystal that describes

the motion of a chain of particles with exponential interactions of the nearest neighbors. This

equation has different practical applications. For example, the Toda lattice model of DNA in

the field of biology [3]. Moreover, one important property of the Toda lattice type equations is

the existence of so called soliton solutions. There is a close relation between the existence of

soliton solutions and the integrability of equations: the known research results show that all the

integrable systems have soliton solutions [4]. Soliton solutions of the Toda lattice are obtained

in the works [2] and [5].

Soliton equations with self-consistent sources have received much attention in the recent

research literature[6]-[12]. Physically, the sources appear in solitary waves with non-constant

velocity and lead to a variety of dynamics of physical models. They have important applications in

plasma physics, hydrodynamics, solid-state physics, etc. [13]-[18]. For example, the KdV equation,

which is included an integral type self-consistent source, was considered in [16]. By this type

equation the interaction of long and short capillary-gravity waves can be described [18]. Other

important soliton equations with self-consistent source are the nonlinear Schrodinger equation

which describes the nonlinear interaction of an ion acoustic wave in the two component homo–

geneous plasma with the electrostatic high frequency wave [19].

The purpose of this paper consists on develop the scattering method for the Toda type

lattice equation with self-consistent integral type source. An effective method of integration of

the Toda-type chain with an integral type self-consistent source is presented.

We consider the system of equations with a special self-consistent source





























da

n

dt



= a

n

(a



2

n+1


− a

2

n−1



) + a

n

(b



2

n+1


− b

2

n



) + a

n

H



|µ|=1

1

µ



(f

n+1


(µ, t)g

n+1


(µ, t)

−f

n



(µ, t)g

n

(µ, t))dµ,



db

n

dt



= 2a

2

n



(b

n+1


+ b

n

) − 2a



2

n−1


(b

n

+ b



n−1

) + a


n

H

|µ|=1



1

µ

(f



n

(µ, t)g


n+1

(µ, t)+


+f

n+1


(µ, t)g

n

(µ, t))dµ − a



n−1

H

|µ|=1



1

µ

(f



n

(µ, t)g


n−1

(µ, t) + f

n−1

(µ, t)g


n

(µ, t))dµ,

a

n−1


f

n−1


+ b

n

f



n

+ a


n

f

n+1



=

µ+µ


−1

2

f



n

,

a



n−1

g

n−1



+ b

n

g



n

+ a


n

g

n+1



=

µ+µ


−1

2

g



n

, n ∈ Z.,

(1)

1


Современные проблемы дифференциалных уравнений и смежных раз..., Фергана-2020 2

and the initial condition

a

n

(0) = a



0

n

, b



n

(0) = b


0

n

,



n ∈ Z,

(2)


where {a

0

n



}

−∞



, {b

0

n



}

−∞



satisfy the following properties:

(i) a


0

n

> 0, Imb



0

n

= 0,



n ∈ Z,

(ii)


P

n=−∞



| n |

a

0



n

1



2

+

b



0

n





< ∞,

(iii) The operator

(L(0)y)

n

≡ a



n−1

(0)y


n−1

+ b


n

(0)y


n

+ a


n

(0)y


n+1

(3)


has exactly N eigenvalues

λ

k



(0) =

z

k



(0) + z

−1

k



(0)

2

, k = 1, 2, ..., N,



which are out of the interval [−1; 1].

In system (1), the functional sequences of the functions {a

n

(t)}


−∞

, {b



n

(t)}


−∞

, {f



n

(µ, t)}


−∞

and {g



n

(µ, t)}


−∞

are unknown vector-functions. Moreover for all t ≥ 0 and |µ| = 1 the following



asymptotic properties are fulfilled:

g

n



(µ, t)

n→ − ∞



p(µ, t)µ

n

+ q(µ, t)µ



−n

,

f



n

(µ, t)


n→ − ∞


r(µ, t)µ

n

+ s(µ, t)µ



−n

.

Here p(µ, t), q(µ, t), r(µ, t) and s(µ, t) are given continuous functions that satisfy Holder’s



condition with some degree ν ∈ (0, 1] on |µ| = 1 for all nonnegative t.

The main aim of this work is to obtain the expressions of the solutions {a

n

(t)}


−∞

, {b



n

(t)}


−∞

,



{f

n

(µ, t)}



−∞

and {g



n

(µ, t)}


−∞

of the problem (1)-(3) in the framework of inverse scattering



method for the operator L(t).

Under condition (ii) the equation (3) has the Jost solutions with the asymptotic properties:

ϕ

n

(z) = z



n

+ o(1) as n → ∞, |z| = 1,

ψ

n

(z) = z



−n

+ o(1) as n → −∞, |z| = 1.

(4)

It is very well known that such solutions exist and, moreover, they are identified by the asymptotic



expressions (4) unique and analytically expended into the circle |z| < 1.

For |z| = 1 the functions {ϕ

n

(z), ϕ


n

(z

−1



)} and {ψ

n

(z), ψ



n

(z

−1



)} are the pairs of the linearly

independent solutions of (3), therefore

ψ

n

(z) = α(z)ϕ



n

(z

−1



) + β(z)ϕ

n

(z),



ϕ

n

(z) = α(z)ψ



n

(z

−1



) − β(z

−1



n

(z),


(5)

with


α(z) =

2

z − z



−1

W {ψ


n

(z), ϕ


n

(z)} ,


(6)

and


W {ψ

n

(z), ϕ



n

(z)} ≡ a


n

n



(z) ϕ

n+1


(z) − ψ

n+1


(z) ϕ

n

(z)).



The reflection coefficient is given by the formula R(z) = −

β(z


−1

)

α(z)



.

The function α(z) is analytically expended into the circle |z| < 1 and inside it has a finitely

many zeros z

1

, z



2

, ..., z


N

. The pointsλ

k

=

z



k

+z

−1



k

2

, k = 1, 2, ..., N correspond to eigenvalues of the



operatorL. From (6) we arrive at the following expression

2


Современные проблемы дифференциалных уравнений и смежных раз..., Фергана-2020 3

ϕ

k



n

= B


k

ψ

k



n

, k = 1, 2, ..., N

(7)

where ψ


k

n

≡ ψ



n

(z

k



).

The set of the quantities {R(z), z

1

, z


2

, ..., z


N

, B


1

, B


2

, ..., B


N

} is called the scattering data for

equation (3). The values of {a

n

(t)}



−∞

and {b



n

(t)}


−∞

can be found from the scattering data.



Theorem. If the functions a

n

(t), b



n

(t),f


n

(µ, t),g


n

(µ, t), n ∈ Z are solutions of the problem

(1)-(2), then the scattering data of the operator

(L(t)y)


n

≡ a


n−1

(t)y


n−1

+ b


n

(t)y


n

+ a


n

(t)y


n+1

,

are given by relations



dz

k

dt



= 0, k = 1, 2, ..., N,

(8)


∂R(z, t)

∂t

=



 

z

2



− z

−2

2



+

1

z



2

− 1


v.p.

I

|µ|=1



D(µ, t)dµ

!

R(z, t)+



+2π i (Q(z, t) + Q(z

−1

, t))R(z, t) + 4π iP (z



−1

),

(9)



dB

k

(t)



dt

= (


z

2

k



−z

−2

k



2

1



z

2

k



−1

H

|µ|=1



(µ+z

k

)(µz



k

−1)


µ(µ−z

k

)



(b(µ, t)c(µ, t) + q(µ, t)r(µ, t))dµ

1



z

2

k



−1

H

|µ|=1



(µ−z

k

)(µz



k

+1)


µ(µ−z

−1

k



)

(a(µ)d(µ) + p(µ)s(µ))dµ)B

k

(t)k = 1, 2, ..., N,



(10)

where


D(µ, t) = (q(µ, t)r(µ, t) + p(µ, t)s(µ, t))

 (µ + z)(µz − 1)

µ(µ − z)

+

(µ − z)(µz + 1)



µ(µ − z

−1

)





,

a(µ, t) = p(µ, t)β(µ



−1

, t) + q(µ, t)α(µ, t),

b(µ, t) = p(µ, t)α(µ

−1

, t) + q(µ, t)β(µ, t),



c(µ, t) = r(µ, t)β(µ

−1

, t) + s(µ, t)α(µ, t),



d(µ, t) = r(µ, t)α(µ

−1

, t) + s(µ, t)β(µ, t)



and

α(µ, t) =

N

Y

j=1



µ − z

j

µz



j

− 1


exp

(

1



4πi

Z

|ζ|=1



ln



1 − |R(ζ, t)|



2



µ + ζ



µ − ζ

ζ



)

,

β(µ



−1

, t) = −R(µ, t)α(µ, t).

The relations (8), (9) and (10) specify completely the evolution of the scattering data of the

operator L(t); this allows inverse scattering method to find solution of the system (1) under

initial conditions (2).

References

[1] Toda M. Waves in nonlinear lattice. Progr Theoret Phys Suppl 1970; 45: 74-200.

[2] Flashka H. On the Toda lattice. II Progr Theoret Phys 1974; 51: 703-716.

[3] Muto V., Scott A.C., Christiansen P.L. Thermally generated solitons in a Toda lattice

model of DNA. Physics Letters A 136, 1989; 33-36.

3


Современные проблемы дифференциалных уравнений и смежных раз..., Фергана-2020 4

[4] Lou S.Y., Tang X.Y. Method of Nonlinear Mathematical Physics. Beijing: Science Press

2006; 116-120.

[5] Manakov S. V. Complete integrability and stochastization of discrete dynamical systems.

Zh. Eksper Teoret Fiz 1974; 67: 543-555.

[6] Cabada A., Urazboev G.U. Integration of the Toda lattice with an integral-type source.

Inverse Problems 2010; 26: 085004 (12pp).

[7] Liu X., Zeng Y. On the Toda lattice equation with self-consistent sources. J. Phys A:

Math Gen 2005; 38: 8951-65.

[8] Babajanov B.A., Fechkan M., Urazbaev G.U. On the periodic Toda Lattice with self-

consistent source. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation 2015; 22:

379-388.


[9] Babajanov, B.A., Khasanov, A.B. Periodic Toda chain with an integral source. Theoret

Math Phys 2015; 184: 1114-1128.

[10] Babajanov B. A. Integration of the Toda-type chain with a special self-consistent source.

Algebra, Complex Analysis, and Pluripotential Theory. - Switzerland, spring, 2018.-P. 45-56.

[11] Babajanov, B.A., Khasanov, A.B. Integration of periodic Toda-type equation. Ufimsky

mathematical journal 2017; 9: 17-24.

[12] Lin R.L., Zeng Y.B., Ma W.X. Solving the KdV hierarchy with self-consistent sources

by inverse scattering method. Physics A 2001; 291: 287-98.

[13] Melnikov V.K. A direct method for deriving a multisoliton solution for the problem of

interaction of waves on the x,y plane. Commun Math Phys 1987; 112: 639-52.

[14] Melnikov V.K. Integration method of the Korteweg-de Vries equation with a self-consistent

source. Phys Lett A. 1988; 133: 493-6.

[15] Melnikov V.K. Integration of the nonlinear Schroedinger equation with a self-consistent

source. Commun Math Phys 1991; 137: 359-81.

[16] Melnikov V.K. Integration of the Korteweg-de Vries equation with a source. Inverse

Problems 1990; 6: 233-46.

[17] Leon J., Latifi A. Solution of an initial-boundary value problem for coupled nonlinear

waves. J. Phys A: Math Gen 1990; 23: 1385-1403.

[18] Claude C., Latifi A., Leon, J. Nonlinear resonant scattering and plasma instability: an

integrable model. J. Math Phys 1991; 32: 3321-3330.

[19] Shchesnovich V.S., Doktorov E.V. Modified Manakov system with self-consistent source.

Phys Lett A 1996; 213: 23-31.



4

Download 228.05 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling