Ishdan maqsad: Talabalarda graflar bilan ishlash algoritmlari haqida ko’nikmalar hosil qilish va ular bilan ishlashni o’rganish

Laboratoriya mashg’uloti №9-10. Minimal skeletli daraxtlar. Grafning bir uchidan barcha uchlarigacha bo'lgan eng qisqa yo'l.

Ishdan maqsad: Talabalarda graflar bilan ishlash algoritmlari haqida ko’nikmalar hosil qilish va ular bilan ishlashni o’rganish.

Nazariy qism:

Daraxt va unga ekvivalent tushunchalar. Siklga ega bo‘lmagan oriyentirlanmagan bog‘lamli graf daraxt, deb ataladi1. Ta’rifga ko‘ra, daraxt sirtmoqlar va karrali qirralarga ega emas. Siklga ega bo‘lmagan oriyentirlanmagan graf о ‘rmon (asiklik graf), deb ataladi.

1-misol. 1-shaklda bog‘lamli komponentali soni beshga teng bo‘lgan graf tasvirlangan bo‘lib, u o‘rmondir. Bu grafdagi bog‘lamli komponentalaming har biri daraxtdir.

2-misol. 2-shaklda to‘rtta uchga ega bir-biriga izomorf bo'lmagan barcha (ular bor-yog‘i ikkita) daraxtlaming geometrik ifodalanishi tasvirlangan.

Beshta uchga ega bir-biriga izomorf bo‘lmagan barcha daraxtlar uchta, oltita uchga ega bunday barcha daraxtlar esa oltita ekanligini ko‘rsatish qiyin emas.

Daraxt tushunchasiga boshqacha ham ta’rif berish mumkin. Umuman olganda, G(tn,n)-graf uchun daraxtlar haqidagi asosiy teorema, deb ataluvchi quyidagi teorema o‘rinlidir.

1-teorema. Uchlari soni m va qirralari soni n bo ‘Igan G graf uchun quyidagi tasdiqlar ekvivalentdir:

1) G daraxtdir;

2) G asiklikdir va n=m—l ;

3) G bog‘lamlidir va n=m— 1;

4) G bog ‘lamlidir va undan istalgan qirrani olib tashlash amalini qo‘llash natijasida bog‘lamli bo‘Imagan graf hosil bo‘ladi, y a ’ni G ning har bir qirrasi ко ‘prikdir;

5) G grafning o ‘zaro ustma-ust tushmaydigan istalgan ikkita uchi faqat bitta oddiy zanjir bilan tutashtiriladi;

6) G asiklik bo ‘lib, uning qo ‘shni bo ‘Imagan ikki uchini qirra bilan tutashtirish amalini qo‘llash natijasida faqat bir siklga ega bo ‘Igan graf hosil bo ‘ladi.

Isboti. Teoremaning 1) tasdig‘idan uning 2) tasdig‘i kelib chiqishini isbotlaymiz. G graf daraxt bo‘lsin. Daraxtning ta’rifiga ko‘ra, u asiklik bo‘lishini ta’kidlab, m bo‘yicha matematik induksiya usuUni qo‘llaymiz.

Matematik induksiya usulining bazasi: agar m— 1 bo‘lsa, u holda G daraxt faqat bitta uchdan tashkil topgan bo‘ladi. Tabiiyki, agar bitta uchga ega bo‘lgan grafda sikl bo‘lmasa, u holda unda birorta ham qirra yo‘q, ya’ni n=0. Demak, bu holda tasdiq to‘g‘ridir.

Induksion o‘tish: G daraxt uchun k> 2 va m=k bo‘lganda, 2) tasdiq o‘rinli bo‘lsin deb faraz qilamiz. Endi uchlari soni m=k+ 1 va qirralari soni n bo‘lgan daraxtni qaraymiz. Bu daraxtning ixtiyoriy qirrasini (v,, v2) bilan belgilab, undan bu qirrani olib tashlasak, vt uchdan v2 uchgacha marshruti (aniqrog‘i, zanjiri) mavjud bo‘lmagan grafni hosil qilamiz, chunki agar hosil bo‘lgan grafda bunday zanjir bor bo‘lsa edi, u holda G daraxtda sikl topilar edi. Bunday bo‘lishi esa mumkin emas.

Hosil bo‘lgan graf ikkita Gx va G2 bog‘lamli komponentalardan iborat bo‘lib, bu komponentalaming har biri daraxtdir. Yana shuni ham e’tiborga olish kerakki, Gx va G2 daraxtlaming har biridagi uchlar soni к dan oshmaydi.

Matematik induksiya usuliga ko‘ra, bu daraxtlaming har birida qirralar soni uning uchlari sonidan bitta kam b o ‘lishini ta’kidlaymiz, ya’ni G{ graf (m, n)-graf bo‘lsa, quyidagi tengliklar o ‘rinlidir: /i=/jj+w2+ l, k + l= m l+m 1 va n=m — 1 (/=1,2). Bu tengliklardan

n=a1+n2+ l= m l—l+ m 2—1 + 1= (m,+/n2)—1 = (fc+l)—1

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, m=k+ 1 bo‘lganda ham n=m— I tenglik o‘rinlidir. Bu esa, matematik induksiya usuliga ko‘ra, kerakli tasdiqning isbotlanganligini anglatadi.

Minimal uzunlikka ega y o ‘l haqidagi masala. Berilgan bog‘lamli grafning har bir qirrasiga (agar berilgan graf oriyentirlangan bo‘lsa — yoyiga) qandaydir haqiqiy son mos qo‘yib, bu sonni qirraning (yoyning) uzunligi, deb ataymiz. Qirraning (yoyning) uzunligi additivlik xossasiga ega deb faraz qilamiz, ya’ni qirralar (yoylar) yordamida tuzilgan zanjiming (yo ‘Ining) uzunligi shu zanjimi (yo‘lni) tashkil etuvchi qirralar (yoylar) uzunliklari yig‘indisiga tengdir.

Tabiiyki, qirraning yoki yoyning uzunligi tushunchasi yechilayotgan masalaning mohiyatiga qarab, muayyan bir ma’noga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, ikki shahar orasidagi masofa, qandaydir operatsiyani bajarish uchun zarur mablag‘ (xarajatlar) yoki vaqt va boshqalar. Shu nuqtayi nazardan, umuman olganda, bu yerda manfiy uzunlikka ega yoki uzunligi nolga teng qirra (yoy) ham ma’noga ega deb hisoblanadi.

Nazorat savollar:

1. Qanday grafga daraxt deyiladi?

2. 0‘rmon deb nimaga aytiladi?

3. 0‘rmon bilan daraxt bir-biridan nimasi bilan farq qiladi?

4. Daraxtning uchlari va qirralari sonlari orasida qanday bog‘lanish bor?

5. Daraxtdan biron qirra olib tashlansa, natijada qanday xossalarga ega bo‘lgan graf hosil bo‘ladi?

6. Daraxtning har bir qirrasi haqida nima deyish mumkin?

7. Daraxtdagi o‘zaro ustma-ust tushmaydigan istalgan ikkita uchini nechta oddiy zanjir bilan tutashtirish mumkin?

8. 0‘rmondagi o‘zaro ustma-ust tushmaydigan istalgan ikkita uch oddiy zanjir bilan tutashtirilsa, natijada qanday graf hosil bo‘lishi mumkin?

9. Daraxtning qo‘shni bo‘lmagan ikki uchini qirra bilan tutashtirilsa, natijada qanday graf hosil bo‘ladi?

10. 0‘rmondagi qo‘shni bo‘Imagan ikki uchni qirra bilan tutashtirilsa, natijada qanday graf hosil bo‘ladi?

11. Bittadan ko‘p uchga ega bo‘lgan istalgan daraxtda qancha darajasi birga teng uchlar bor?

12. m ta uch va к ta bog'lamli komponentasi bo‘lgan o‘rmonda qancha qirra bor?

13. Istalgan daraxtning markazi haqida nima deyish mumkin?

14. Grafning sinch daraxti deganda nimani tushunasiz?

15. Petersen grafidan bog‘lamlilikni buzmasdan nechta qirrani olib tashlash mumkin?

16. Oktaedrga mos grafdan bog‘lamlilikni buzmasdan nechta qirrani olib tashlash mumkin?

17. Grafning siklomatik soni qanday aniqlanadi?

18. Berilgan graf o‘rmon bo‘lishining zaruriy va yetarli sharti siklomatik son orqali qanday ifodalanadi?

19. Graf yagona siklga ega bo‘lishining siklomatik son tushunchasi yordamida ifodalanuvchi qanday zaruriy va yetarli shartini bilasiz?

Bajarish uchun topshiriqlar:

1. Bir-biriga izomorf bo'lmagan: a) oltita, b) yettita, d) sakkizta, e) to'qqizta uchga ega barcha daraxtlami geometrik ifodalang.

2. 1-shaklda tasvirlangan o‘rmondagi daraxtlaming har biri uchun markaz(lar) bo‘luvchi uchlami toping.

3. Keli teoremasining isbotini o‘rganing.

4. Uchlari uchta va to‘rtta bo‘Igan barcha belgilangan daraxtlami geometrik ifodalang.

5. Petersen grafming sinch daraxtlaridan birini aniqlang.

6. K_4,5 grafning sinch daraxtlaridan bir nechasini toping.

7. 12 ta uchi, 10 ta qirrasi va 3 ta bogMamli komponentasi bo‘lgan, sirtmoqsiz, karrali qirralari bo‘lmagan grafning sinch o‘rmonini hosil qilish uchun uning nechta qirrasini olib tashlash kerakligini aniqlang.

8. Insidentlik matritsalari quyida berilgan graflaming siklomatik sonlarini toping:

9. Uchlari qo‘shniligi matritsalari quyida berilgan graflaming sinch daraxtlaridan bir nechasini toping: