Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

Теорема  1.    В  игре  (4)  в  случае  1)  из  произвольной  точки 
0
z
 
при  помощи  стратегии  (6)
возможно завершение преследования за время 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
0
0
1,
,
min
|
|
i
i
i
i
k
T z v
z
l
ρ
σ
∈
⋅ ≤
−
−
, 
 
при всех допустимых управлений убегающего. 
Доказательство.  В начале покажем ограниченность и существование корня 
 


0
,
T z v

уравнения (8). Для этого учитывая ограничение на управления 
 
,
0
v
v t
t


, в виде (3), и
используя неравенство Коши - Буняковского, получаем 
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
{
}
2
0
2
0
2
1,
0
,
1
min 1
max 0,
2
,
2
2 |
|
t
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
t v
h
v
z
l
l z
v
h d
h
δ
τ
δ
δ
τ
τ
∈
Λ
⋅ =


=
−
+
+
+
+
≤




∫
(
)
( )
(
)
( )
(
)
{
2
2
2
0
2
1,
0
0
2
2
1,
0
1
min 1
max 0,
2
2
,
1
2
|
|
min 1
max 0,
2
t
i
i
i
i
i
i
k
i
t
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
t
h
l
h
v
z
d
h
l
z
v
h d
t
h
l
h
δ
τ
τ
δ
τ
τ
δ
∈
∈


≤
−
+
+
+








+
+
≤
−
+
−






∫
∫
 
 


0
0
0
0
2
|
||
|
2
|
|
|
|
t
t
i
i
i
i
i
i
h
v
z
d
l
z
v
h d
t
t
d
t
t









 
 
36 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 




 
2
2
0
0
2
1,
0
1
min 1
max 0,
2
2 |
|
2
|
|
|
|
t
i
i
i
i
i
i
i
i
i
k
i
t
h
l
l z
h
z
l
v
d
h
d
t t

































(
)
(
)
( )
2
1/2
2
0
0
2
2
1,
0
1
min 1
max 0,
|
|
2
|
|
|
|
t
i
i
i
i
i
i
i
k
i
t
z
l
h
z
l
t
v
d
h
δ
τ
τ
∈










≤
−
+
−
+
≤














∫
(
)
(
)
(
)
{
}
2
2
0
0
2
1,
1
min 1
max 0,
|
|
2
|
|
.
i
i
i
i
i
i
i
k
i
t
z
l
h
t
z
l
h
ρ σ
σ
∈


≤
−
−
+
−
+




 
Нетрудно проверить, что последняя часть в этой цепочке неравенств обращается в нуль в момент 
времени 
t
q

,  где






1
2
0
1,
min
|
|
i
i
i
i
k
z
l
q
r
s




.  Следовательно,  в  силу 
непрерывности функции 
 


,
t v
L

 
по 
t
, 
0
t

, имеем 
 


,
0
v
L q  
. Отсюда  и из того,
что 
 


0,
1
v
L
 
 
находим  существование  такого  момента 
 


0
,
T
T z v


,  что
 


,
0
T v
L
 
.     При этом 
 


0
,
T z v
q
 
, 
что и требовалось показать.
Теперь  покажем,  что  из  произвольной  точки 


0
0
0
0
1
2
,
,...,
m
z
z z
z

,  при 
0
|
|
i
i
z
l

 
для  всех
1,
i
m

,  преследование  завершается  именно  в    момент  времени 
 


0
,
T z v

.  Для  этого
преследователям предпишем придерживаться реализации стратегий вида (6). Тогда уравнения (4) 
преобразуются к виду  
 


 




0
0
0
,
,
,
i
i
i
i
i
i
z
v t z
m v t z
z
l



( )
0
2
0
,
1,
, 0
.
i
i
z
z i
k
t
T
=
∈
≤ ≤
 
Отсюда по формуле Коши получаем 
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
0
0
0
0
0
,
,
,
t
i
i
i
i
i
i
i
z t
z
v
z
m v
z
z
d
λ
τ
τ
τ
=
+
−
∫
 
где 
0
t
T
 
. Учитывая равенство  
 


,
0
T v
L
 
 
и вид функции 
 


0
,
i
i
m v
z
t
,
находим 
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2
2
0
0
0
1,
1,
0
0
0
0
min |
|
min |
,
,
,
|
T
i
i
i
i
i
i
i
k
i
k
T
i
i
i
i
i
z T
l
z
z
v
z
d
v
z
m v
z
d
l
λ
τ
τ
λ
τ
τ
τ
∈
∈

− =
−
+



+
−
≤


∫
∫
 


 


 

 

2
2
0
0
0
1,
0
0
0
0
1,
0
min |
| 1
,
1
,
min 1
,
|
|
0.
T
T
i
i
i
i
i
i
i
k
T
i
i
i
i
i
k
z
v
z
d
l
v
z
d
v
z
d
z
l
l
t
t
l
t
t
l
t
t





















































 








Следовательно, получаем существование такого 
0
i
, что 
 
0
0
|
|
i
i
z
T
l

.
Остается показать допустимость стратегии (6). Из  равенства (7) находим 
 
37 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
 


 
 


 


0
2
2
0
0
0
0
0
0
|
,
|
|
|
,
,
.
T
T
T
i
i
i
i
i
T
i
i
i
u v
z
d
v
d
v
z
d
v
z
d
t
t
t
t d l
t
t
s d l
t
t



 




 
Так как 
T
- 
решение  уравнения (8), то для всех 
2
1,
i
k

имеем 
 


0
0
,
1
T
i
i
v
z
d
l
t
t 

.
Следовательно, для всех 
2
1,
i
k

получаем
 


0
2
0
|
,
|
T
i
i
i
i
u v
z
d
t
t s d
r
  

что и завершает доказательство теоремы 1. 
Как следует из  теоремы  1,   
i
 - 
ый преследователь,  для
2
1,
i
k

, в отдельности может
завершить преследование не позже, чем за времени 






2
0
|
|
i
i
i
i
z
l
q
r
s



.
4. Игра "Буйвол в окружении львов". Теперь рассмотрим представляющий интерес  особые
случаи,  в  которых  время  поимки  группы  преследователей  строго  меньше  времени  поимки 
отдельного  преследователя.  Для  этого  предположим,  что  при  всех 
2
1,
i
k

 
выполнены
соотношения: 
0
,
0, |
|
i
i
i
l
l
z
R
l
r
r s
 
 
 
.  В  этом  случае  стратегия
преследователей принимает вид 
 
   


0
0
0
0
,
,
,
,
i
i
i
i
u v z
v
v z
m v z
z
l
 

(9) 
где 
( )
( )
(
)
{
}
0
0
2
0
2
,
max 0,
2
,
2
2 |
| /
,
i
i
i
v z
h
v z
l
l z
vh
h
λ
δ
δ
δ
=
+
+
+
+
 
 
 
0
0
2
2
0
0
0
,
,
,
,
.
|
,
|
i
i
i
i
i
v
v z
z
h
R
l
m v z
l
v
v z
z
l
d r s
l



 
 

Теорема  2.  Если 


0
0
0
1
2
0
,
,...,
m
сo z z
z

,  то  при  произвольном  допустимом  управлении
убегающего,  преследователи  применяя  стратегию  (9),  завершают  преследования  из  заданного 
положения 
0
z
 
за время 
 



 

2
0
,
T
T v
z
R
l
r s


 

 
,   где 
 


0
,
T v
z

 - 
первый
положительный корень уравнения  
 


 


0
1,
0
,
1
max
,
0.
t
i
i
m
t v
v
z
d
L
l
t
t

  


(10) 
Доказательство.  Сначала  покажем  существование  и  ограниченность 
 


0
,
T
T v
z


. 
Для
этого рассмотрим следующие очевидные соотношения 
 
38 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
{
2
0
2
1,
0
0
2
2
1,
0
1
,
1
max max 0,
2
2
,
1
2 |
|
1
max max 0,
2
t
i
i
m
t
i
i
m
t v
t
h
l
h
v
z
d
h
l
z
v
h d
t
h
l
h
δ
τ
τ
δ
τ
τ
δ
∈
∈

Λ
⋅ ≤ −
+
+
+



+
+
≤ −
+
+


∫
∫
 


 
0
0
0
0
2
,
2 |
|
t
t
i
i
h
v
z
d
l tz
h
v
d
t
t
d
t t









(
)
( )
(
)
2
0
2
1,
0
1
1
max max 0,
2
2
,
t
i
i
m
t
h
l
h
v
d
z
h
δ
τ τ
∈

= −
+
+
+


∫
( )
( )
(
)
1/2
2
2
2
2
0
2
0
0
2
2
2
2
,
1
2
2
.
t
t
i
l t R
t h
v
d
z
h
v
d
t
h
l
Rl
h
δ
δ
τ τ
τ τ
δ










+
+
+
≤













 
≤ −
+
+
∫
∫
Последнее  неравенство  вытекает  из  условия 


0
0
0
1
1
0
,
,...,
m
сo z z
z

,  так  как  в  каком  бы
положении  не  находились  точки 
0
i
z
 
всегда  среди  них  существует  такое 
0
,
1,
j
z
j
m

,  что
 
 


0
0
0
0
,
,
0
t
j
j
v
d
z
y t
y z
t t














. 
Очевидно, 
что 
функция 


2
2
1
2
2
t
h
l
Rl
h
d



обращается  в  нуль  в  момент  времени 

 

2
t
R
l
r s
 

.
Отсюда  и  из  непрерывности  функции 
 


,
t v
L

 
по 
t
,  вытекает    существование  такого
момента 
 


0
,
T
T v
z


,  что 
 


,
0
T v
L
 
,  и  оценка  для  этого  времени
 




2
0
\
T v
z
R
l
d

 
.
Так как дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, приведенных  при доказательстве 
предыдущей теореме,  мы  на этом завершаем доказательство  теоремы 2. 
Замечание.  При  сделанных  выше  предположениях  в  этом  пункте,  каждый  преследователь 
завершает  игру  за  время 






2
R
l
r
s


,
которая  больше 
времени 

 

2
R
l
r s


.
5. Игра  "Буйвол за окружением львов".
Теорема 3.  Если 
{
}
0
0
0
1
2
0
,
,...,
m
сo z z
z
∉
 
существует хотя бы пара таких точек
1
0
i
z
 
и
1
0
i
z
, что
 
39 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
1
0
0
2
1
2
, ,
1,
i
i
z
z
i i
m


, то преследователи применяя стратегию (9) завершают игру  за время
 








2
0
,
T
T v
z
R
l
r
s





,
где 
 


0
,
T v
z

 - 
первый положительный корень уравнения (10).
Доказательство.  Поскольку 
1
2
0
0
i
i
z
z

,  то  и 
 


1
0
0
,
t
i
v
z
d
t
t 

 


2
0
0
,
t
i
v
z
d
t
t


.
Следовательно,  хотя  бы 
для  одного  из 
1
i
 
или 
2
i
 
выполнено  неравенство 
( )
( )
0
0
0
,
|
|
t
t
i
v
d
z
R
v
d
τ τ
τ
τ


> −




∫
∫
. 
В силу этого и из доказательства предыдушей теоремы 
имеем 
 




 
2
2
1,
0
1
,
1
max
max 0,
2
2
|
|
t
i
m
t v
t
h
l
hR
v
d
h
L
d
t
t


  






 








2
2
0
1
2
|
|
1
max 0,
2
.
t
l
R
v
d
t
R
l
h t
R
l
h
d
t
t
d
s



 
 




Поскольку,  последняя  часть  этих  неравенств  обращается 
в  нуль  в  момент  времени 






2
R
l
q
r
s



, то получаем, что 
 


0
,
T v
z
q


. Так как, доказательство о
возможности завершения игры и допустимости реализации стратегии (9) проводится так же, как 
в теореме 2, то этим и завершаем доказательство теоремы 3.