Jismning bosh inersiya momenti. 1-2PM. 20-guruh talabasi

QATTIQ JISMNING INERSIYA MOMENTI(ÕQQA NISBATAN VA ARALASH) INERSIYA TENZORI.INERSIYA BOSH ÕQLARI.JISMNING BOSH INERSIYA MOMENTI.

• 1-2PM.20-guruh talabasi
• Musayeva Shaxrizoda

JISMNING BERILGAN NUQTADAN ÕTUVCHI IXTIYORIY ÕQQA NISBATAN INERSIYA MOMENTI

• Berilgan O nuqtadan õtuvchi biror l õqqa nisbatan jismning inersiya momenti l(1) ni topamiz. X,y va z õqlarning birlik vektorlari (I,j,k) õqlari, l õqning birlik vektorlari l(0), uning koordinata õqlari bilan tashkil etgan burchaklarini mos ravishda (a,b,g) bilan belgilaymiz. U holda, tarifga kõra, jismning õqqa nisbatan inersiya momenti quyidagicha bõladi:

•
•
bunda: h(k)-M(k) nuqtaning l õqqacha bõlgan masofa
Biz umumiy holda inersiya momentini qanday topamiz?
Odatda mexanik sistemalar bir nechta jismlar birlashmasidan yoki murakkab shakldagi jismlardan tuzilgan boʻladi.
Ixtiyoriy jismning ixtiyoriy oʻq atrofidagi inersiya momenti jismni tashkil etgan zarralarning shu oʻq atrofidagi inersiya momentlari yigʻindisiga teng.

• M(k) nuqtaning radius vektori OM(k)=r(k) va l(0) uchun quyidagilarni yoza olamiz:

•

• Ammo r(k)l ° uchun yana ushbu tenglik õrinlik bõladi:

•
•
burchak kursatilgan
bu yerda f(k) bilan
r(k) va l° orasidagi burchak kõrsatilgan

• Rasmdan h(k)=r(k)sinf(k) bõlgani uchun quyidagini yozamiz:

Inersiya tenzori
Mutlaqo qattiq jism mexanikasida inersiya tenzori jismning burchak momentini va uning aylanish kinetik energiyasini burchak tezligi bilan bog‘laydigan tenzor kattalikdir:
Bu erda J - inersiya tensori, - burchak tezligi, L- burchak momenti.
komponentlarda u quyidagicha ko'rinadi:
N ta moddiy nuqtalar sistemasining burchak momentumini aniqlashdan foydalanib (quyidagi formulalarda k indeksi bilan qayta nomlanadi):
va burchak tezligi bo'yicha tezlikning kinematik ifodasi:
va burchak momentini inertsiya tensori va burchak tezligi bo'yicha ifodalovchi formula bilan solishtirganda (ushbu maqolada birinchisi), inertsiya tensorining aniq ifodasini olish qiyin emas:
yoki uzluksiz shaklda:
Bu erda r - nuqtalardan markazgacha bo'lgan masofalar, unga nisbatan inersiya tenzori hisoblangan va - mos keladigan segmentlarning koordinata komponentlari, i va j - koordinata raqamlari (1 dan 3 gacha), indeks esa k ( 1 dan N gacha) diskret formulada nuqtalar tizimini yoki uni tashkil etuvchi kichik qismlarni sanab o'tadi.
Ushbu formulalardan allaqachon aniq ko'rinib turibdiki, har qanday jismning inertsiya tensori u hisoblangan nuqtaga bog'liq. Odatda, tanlangan rolni tananing massa markaziga nisbatan inertsiya tensori o'ynaydi (keyin uchinchi formulada p - faqat tananing momentumidir). Bundan tashqari, tananing sobit (sobit) nuqtasiga yoki sobit aylanish o'qida joylashgan nuqtaga nisbatan hisoblangan inersiya momentidan foydalanish ham qulay bo'lishi mumkin. Yangi markaz uchun inertsiya tensorini qayta hisoblash, uni eskisiga nisbatan bilish, Shtayner teoremasini amalga oshirishni osonlashtiradi (shuningdek, buni qayta hisoblash shaklida amalga oshirishga imkon beradi, masalan, kinetik energiya formulasi, Shunday qilib, faqat massa markaziga nisbatan inertsiya tensori bilan ishlashga imkon beradi).Xuddi shu formulalardan ko'rinib turibdiki, bu simmetrik tensor, ya'ni Jij=Jji.
Uzluksiz shaklda formulani quyidagicha olish mumkin:
Lagranch formulasiga ko'ra, biz qaerdan olamiz
v va r vektorlarining kengayishini ortonormal asosda yozamiz:
Skayar ko`paytmaning xususiyatlariga ko'ra,
Shuni hisobga olgan holda
tenglik bo'yicha burchak momentum vektorining
proyeksiyalarini yozishimiz mumkin:
Yoki o'xshash shartlarni keltiring
Xuddi shunday
Keling, belgilashlar bilan tanishamiz:
Ulardan biz inertsiya tensorini matritsa shaklida tuzishimiz mumkin:
Bizning belgilarimizga ko'ra, tenzor aloqasi to'g'ri ekanligini tekshirish oson:
Har qanday nosimmetrik tensor singari, inertsiya tensorini diagonallashtirish mumkin, ya'ni uchta ortogonal koordinata o'qlarini topish mumkin (o'z o'rlari xos vektor bo'lib, inertsiya tensorining o'z asosini tashkil qiladi) - albatta, qattiq jism bilan qattiq bog'langan - bunda inertsiya tensorining matritsasi diagonal bo'lib, uning xos qiymatlari (inersiya tensorining xos qiymatlari) tananing asosiy inersiya momentlarini aniqlaydi.
Ko'rinib turibdiki, asosiy inersiya momentlari asosiy o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlariga to'g'ri keladi:
(Eslatma: bu formulalardagi x, y va z, agar biz asosiy fikrlar bilan mos kelmoqchi bo'lsak, aynan asosiy o'qlarni anglatadi).

• D,E,F kattaliklar markazdan qochuvchi inersiya momenti deyiladi. U holda l

õqqa nisbatan inersiya momenti quyidagicha buladi:

• Bu formulalar yordamida jismning koordinata õqlariga nisbatan inersiya momentlari l(x), l(y), l(z) va markazdan qochuvchi inersiya momentlari l(yz), l(zx), l(xy) malum bõlganda,koordinatalar boshidan õtuvchi ixtiyoriy l õqqa nisbatan inersiya momenti aniqlanadi.