Joba: Funksiyalarning ekstremumlari

Tema: Eki argumentli funkciya ekstremumlari ham en ulken, en kishi bahalarin tabiw. Shartli ekstremumlari

Joba:
1.Funksiyalarning ekstremumlari

2.Ekstremum mavjud bolishining zaruriy sharti
3.Ekstremum mavjud bolishining yetarli shartlari.
4.Funksiyalarning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari

1-tarif. Eger funksiya qandayda bir noqatda úzliksiz bolib, sol noqattıń sonday átirapı ámeldegi bolsaqı, ol átiraptıń barlıq noqatları ushın bul

(1)
teńsizlik bajarilsa, ol halda noqat ƒ (x) funksiyanıń minimum noqatı dep ataladı ; ƒ () bolsa ƒ (x) funksiyanıń minimumı dep ataladı.

2-tarif. Eger ƒ(x) funksiya bir noqatda uzluksiz bolib, solnoqattin sonday atirapi ameldegi bolsaqi, ol atraptin barliq noqatlari ushin usi
ƒ(x)<ƒ( ) (2)
tengsizlik islenilse, Onda noqat ƒ(x) funksiyaning maksimum noqati deyiledi; ƒ( ) al ƒ(x) funksiyaning maksimumi deyiledi.
3-tarif. ƒ(x) funksiyaning minimum yaki maksimum noqatlari oning ekstremum noqatlari deyiledi, ƒ(x) funksiyaning minimumi yaki maksimumi onin ekstremumi deyiledi.
4-ta`rif. Eger ƒ(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan ham uzluksiz, xo noqat (a, b) intervalding (yoki [a, b] kesmaning [a, b) (a, b] yarim intervallardin) bir noqati bo`lib, sol intervaldin xo dan parqli barliq noqatlari ushin usi ƒ(x) <ƒ(xo) tensizlik islenilse, onda ƒ(xo) berilge n ƒ(x) funksiyanin (a, b) intervalda en ulken qiymati deyiledi; agar ƒ(x)>ƒ(xo) tensizlik islenilse, ƒ(xo) berilgen ƒ(x) funksiyanin (a, b) intervalda en kishi qiymati deyiledi.

Y

1

X

-1

0

1 sizilma
2-sizilma
Álbette tarifda keltirilgen teńsizliklerdi (a, b) den alınǵan barlıq x noqatlarda tekserip shıǵıw hámme waqıt ańsat balavermaydi. Bazi ápiwayı funksiyalar ushın bul tarifga mısallar kóreylik.

1.ƒ (x) = funksiyanıń anıqlanıw tarawı [-1, 1] kesmadan ibarat. Sol kesmaning shettegi noqatlarında, yaǵniy x =-1, x =+1 de funksiyanıń ma`nisi nolǵa teń; ishki noqatlarında bolsa, >0. Biraq x dıń ma`nisi absolyut ma`nisi boyicha azayǵan tárepke funksiyanıń ma`nisi orta baradı, x=0 bolǵanda bolsa ol ozining eng úlken ma`nisine, yaǵnıy 1 ge erisedi

2.ƒ (x) = funksiya ushın anıqlanıw tarawdıń: (-1, 1). Bul funksiya bólimi| x|=1 bolǵanda nolǵa, sonday eken ƒ (x) funksiyanıń ma`nisi + ga ıntıladı. Biraq berilgen funksiya bahaları tarawı [1, ) yarım intervaldan ibarat bolib, funksiyanıń eń úlken ma`nisi bul tarawǵa tiyisli bolmaydı, usınıń menen birge ol qálegenshe úlken muǵdar bolıp tabıladı.
Tikkeley tekserip korish múmkin, 1-mısalda funksiyanıń eń kishi ma`nisi 0, 2-mısalda bolsa funksiyanıń eń kishi ma`nisi 1 baladı.
5-tarif. Eger [a, b] kesmada úzliksiz bolǵan ƒ (x) funksiya ushın sol kesmaning bir neshe ishki noqatı :
1) maksimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (x) dıń sol noqatlarındaǵı bahaları hám ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń úlkeni ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesmadagi eń úlken ma`nisi dep ataladı.

2) minimum noqatı bolsa, ol halda ƒ (a), ƒ (b) bahalarınıń eń kichigi ƒ (x) funksiyanıń [a, b] kesmadagi eń kishi ma`nisi dep ataladı.

Qasımcha retinde sonı aytamizki, eger ƒ (x) funksiyanıń anıqlanıw tarawı (a, b) intervaldan (yamasa yarım intervallar (a, b],[a, b) den) ibarat bolsa, ol halda 5-tarifda ƒ (a) hám ƒ (b) lar ornına hám muǵdarları alınadı.

Ferma teorimasi. ƒ (x) funksiya qandayda bir (a, b) intervalda anıqlanǵan hám úzliksiz bolib sol intervaldıń qandayda bir xo nuqtasida ozining eń úlken yamasa eń kishi ma`nisine eriwsin. Eger ƒ (xo) tuwındı ámeldegi bolsa, ol halda sol tuwındı nolǵa teń baladı, yaǵniy ƒ (xo) =0.

Tastıyıqı. Anıqlıq ushın ƒ (x) funksiya xo nuqtada ozining eń úlken ma`nisine eriwsin deylik, yani Bunnan eger xo bolsa,

(3)
Eger x>xo bolsa,

(4)

teńsizliklerdi jazıw múmkin. Teorimaning shártiga kora, ƒ (xo) tuwındı bar. Sol sebepli (3) teńsizlikten de ni (4) den de ni payda etemiz. Bul eki munasábetten f (xo) =0 ekeni shıǵadı. Teorima tastıyıq boldı.

Ekstremum ámeldegi bolıwınıń zárúrli shárti

1-teorima. Eger xo nuqtaning qandayda bir átirapında anıqlanǵan funksiya ushın xo nuqta ekstremum noqat bolsa, ol halda ƒ' (xo) tuwındı yamasa nolǵa teń, yamasa joq.

Tastıyıqı : noqattıń sonday átirapın alamızki, ol átirapda ƒ (x) funksiyanıń basqa ekstremum noqatı bolmasin. Atap aytqanda, qandayda bir δ>0 ushın () interval sonday átirap xızmetin otaydi. Sol sebepli, () intervaldıń noqatında funksiya yamasa eń úlken, yamasa eń kishi bahaǵa erisedi; sonday eken, Ferma teorimasiga kora, eger ámeldegi bolsa, baladı. Biraq noqatda ámeldegi bolmasligi da múmkin.

x0

b

0

a

a
y

А-sizilma

x

x0

a

b

b-sizilma

Takidlab aytamizki, eger qandayda bir noqatda yamasa ámeldegi bolmasa, bundan xo nuqtaning ekstremum noqat ekeni kelip shıqpaydı. Atap aytqanda, funksiya ushın tuwındı, yaǵniy noqatda ámeldegi hám nolǵa teń. Biraq bul noqat ekstremum noqatı emes.

1-tarif. Qandayda bir tarawda úzliksiz bolǵan ƒ () funksiyanıń tuwındın nolǵa aylantıratuǵın yamasa tuwındı ámeldegi bolmaydigan noqatlar stasionar (kritik) noqatlar dep ataladı.
Shınıǵıwlar. Bul funksiyalardıń stasionar noqatların tabıw.

1.| x| +2. 5.| cosx|.

6.
2. 7.
3. tg3 x 8.
4. arc tgx
Ekstremum ámeldegi bolıwınıń jetkilikli shártleri
Tómende keltriladigan eki teorima jetkilikli shártlerdi beredi. Birpara jaǵdaylarda bul teorimalar ekstremum izlewdiń birinshi, ekinshi qaǵıydaları dep da aytıladı.
1-teorema(birinshi qagida). Eger ƒ(x) funksiya noqtada uzluksiz bolib,
1) ( intervalda intervalda ese ƒ(x)>0 bolsa, onda ƒ(x) funksiya noqatda minimumga iye boladi;
2) intervalda ƒ(x )>0 va ( intervalda ese ƒ(x)<0 bolsa, onda ƒ(x) funksiya noqatda minimumga iye boladi.

Shartli ekstremum. Bul funksiyanin shartli ekstremumi deb bul funksiyanin ham ozgeriwshileri tenlemesi (baylaw tenlemesi) menen baylanganliq shartinde erisiletugin ekstremumiga aytiladi.

Eger baylaw tenlemesinen ni tawiw mumkin boʻlsa, oni funksiyaga qoyib shartli ekstremumi tawiw mumkin bir oʻzgeriwshli funksiya ekstremumini tawiwga keltiriledi.

3-misal. funksiyaning shartdegi ekstrеmumini tawin.

► ni berilgen tenglamege qoʻyib bir oʻzgeriwshinin funksiyasini hasil qilamiz:

Bul jerde funksiyani shaklda jaziw arqali oning ekstremumini elementar usullar jardeminde tawiw mumkin. noqatda funksiya oʻzinin en kishi qiymatina erisedi. Demek, noqatta berilgen funksiyaning minimum noqtasi ham ekenn.◄

Bólew teńlemesin parametrik teńlemeler arqalı kórsetilgende de shártli ekstremum tabıw máselesi bir ózgeriwshiniń ekstremumın tabıwǵa keltiriledi.
Koʻp hallarda, funksiyanin shartegi ekstremumini Lagranj funksiyasi deb ataluwshi funksiyani oansat ekstremumga tekseriw jardeminde tabiladi, bul jerde nama’lum oʻzgermes.

Lagranj funksiyasi ekstremuminin zaruriy sharti tomendegishe:

yag’ni, 1) 2) .

boʻlgani ushun ga mas noqat maksimum ham ga mas noqat minimum noqat boladi ham, .

2-usul. Lagranj funksiyasini duzemiz: . Xususiy hosillarini nolge tenleb sheshemiz:

Budan va larni topamiz.

nuqtada va nuqtada .

.
.
.

4-mısal. funksiyaning shártdagi ekstremumın tabıń.

► 1-usıl. ni, parametrik tenglamalar menen ańlatpalap, bir ózgeriwshi dıń funksiyasın payda etemiz hám kritik noqatın tabamız :. .

noqatlarda.
.
,
.
Fredgolmning ekinshi tur teńlemelerin taǵı bir usıl menen sheshiw múmkin. Bul usıl izbe-iz jaqınlasıw usılı yamasa funksional qatar járdemi menen sheshiw usılı bolıp tabıladı.
Sonday etip, bul

teńleme berilgen bolıp, bul jerde azat had kesmada noldan farqli úzliksiz funksiya ; yadro () tarawda noldan ayrıqsha úzliksiz funksiya ; lar bolsa ózgermeytuǵın haqıyqıy sanlar dep shama menen oylainadi.

Berilgen (1) teńlemediń sheshimin tómendegi qatar formasında izleymiz:
Biz (2) funksional qatardı qandayda bir intervalda tegis jaqınlashuvchi dep shama menen oylaymız, usınıń sebepinen onı hadlab integrallaw múmkin. Bul teńliktiń eki tárepindegi birdey dárejeli larning koefficiyentleri teń boladı, yaǵniy

Endi bul ańlatpalardı joqarıdan baslap birin-ketin ózinden keyingisine qoyıp chiqamiz, nátiyjede tómendegi ańlatpalar payda boladı :

Mine ańlatpalar járdeminde (2) qatardı tómendegi kóriniste jazıw múmkin.

Bul sheksiz qatardı ulıwma hadi

boladı. Joqarıda kórsetigan shártlerge kóre, kesmada

hám de sohada

Bul jerde hám ózgermeytuǵın haqıyqıy sanlar bolıp tabıladı. Soǵan tiykarınan (5) den bul

teńsizlik payda boladı.