Kalkulus 1 Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f


Download 1.19 Mb.
Pdf ko'rish
Sana12.11.2020
Hajmi1.19 Mb.

 

 

Kalkulus 

Misal  sebuah  benda  bergerak  sepanjang  garis 



koordinat  sehingga  posisinya  setiap  saat  diberikan 

oleh s = f(t). Pada saat t = c  benda berada di f(c) dan 

saat t = c + h benda berada di f(c+h). 

Sehingga  kecepatan  rata-rata  pada  selang  waktu 

[c,c+h] adalah 

 

Pertemuan 5 TURUNAN 



Garis Singgung 

 

Kecepatan Sesaat 

 

 

 



Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c : 

 

 



 

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk 

 

 

 



Definisi Turunan di Satu Titik 

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua 

masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan. 

Turunan pertama fungsi f  di titik x = c, notasi              didefinisikan sebagai berikut: 

 

                        



bila limit di atas ada. 

Notasi lain: 

 

Kemiringan tali busur PQ adalah : 



 

Jika  x     c  , maka  tali  busur PQ    akan  berubah 

menjadi  garis  singgung  di  titik  P  dengan 

kemiringan 

 

h

c

f

h

c

f

v

v

h

rata

rata

h

)

(



)

(

lim



lim

0

0









c

x

f(c)

f(x)

v

c

x



lim



)

(

c



f

c

x

f(c)

f(x)

c

f

c

x



lim



)

(

'



)

(

'



,

)

(



c

y

dx

c

df

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 



 

Contoh 

 

 

 



 

 

 



 

Turunan Sepihak 

Turunan kiri dari fungsi  f di titik c, didefinisikan sebagai : 

 

 

 



Turunan kanan dari fungsi  f di titik c, didefinisikan sebagai : 

       


 

bila limit ini ada. 

 

Fungsi  f  dikatakan mempunyai  turunan (diferensiabel)  di c  atau             ada, jika 



 

 

                                                                           



sebaliknya  f  dikatakan tidak mempunyai turunan di c. 

Contoh  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Teorema 

 

Jika f diferensiabel di c, maka f kontinu di c. 



Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f  kontinu di c, maka belum tentu  f  

diferensiabel di c

 

 

Tentukan 𝑓 ′(3) dari 𝑓(𝑥) =



 

Jawab: 


 

 

Diketahui 



. Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1! 

Jawab: 


 

a.  


 

 

b. 



 

Jadi, f  diferensiabel di x=1 dan  ’(1)=1. 





3



3

3

3



x

)

f(

f(x)

lim

)

f'(

x

3

3



1

1

lim



3





x

x

x





)

x(x

x

x

3

3



3

lim


3

)

x(x

x

x

3

3



)

3

(



lim

3





9

1

3



1

lim


3





x

x

c

x

c

f

x

f

c

f

c

x





)

(



)

(

lim



)

(

'



c

x

f(c)

f(x)

(c)

f

c

x

'





lim


)

(

c



f

)

c

(

f

)

c

(

f

'

'





)

c

(

f

)

c

(

f

)

c

(

'

f

'

'

_



dan


1

1

1



1







x

)

(

f

)

x

(

f

lim

)

(

f

x

'

1

1



2

1

3



2

1







x

)

(

x

x

lim

x

1

2



1





x



x

x

lim

x

1

1



1

1







x

)

x

(

x

lim

x

1

1



1

1







x



)

(

f

)

x

(

f

lim

)

(

f

x

'

1

1



2

1

2



1

1







x



)

(

x

lim

x

1

2



2

1





x

x

lim

x

1

1



1

1

2



1







)

x

)(

x

(

x

lim

x

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 





Contoh 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Definisi Turunan 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Tentukan konstanta a dan b agar fungsi f(x) berikut diferensiabel di x=1; 

 

Jawab : Agar f(x) terdiferensialkan di x = 1, haruslah 



a. f kontinu di x = 1 (syarat perlu) 

b.  Turunan kiri = turunan kanan di x = 1 (syarat cukup) 

f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di x = 1 atau 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Supaya f direfersiabel di x=1 maka 

sehingga diperoleh : = 2 dan b = 1. 

 

Misalkan  f  (x)  terdefinisi  pada  selang  I.  Fungsi  turunan  pertama  dari  f,  ditulis 



,  

didefinisikan sebagai 

 

Atau jika t=x+h, maka 



 

Jika limit tersebut ada. 

Notasi lain:  

 

Notasi 



dikenal sebafi notasi Leibniez. 

1

)



1

(

)



(

lim


)

1

(



1

'







x



f

x

f

f

x

1

2



1





x

a

b

x

lim

x

1

1



2

1







x



a

)

a

(

x

lim

x

1

1



2

1





x

x

lim

x

1

1



1

1







x

)

x

)(

x

(

lim

x

2

1



1





x



lim

x

1

)



1

(

)



(

lim


)

1

(



1

'







x



f

x

f

f

x

1

lim



1





x



a

ax

x

a

x

x

lim

a

x





1

1

1



2

)

1



(

)

1



(

'

'







a



f

f

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 





Aturan Pencarian Turunan 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Contoh 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 



1. Jika  f(x) = k  maka f’(x) = 0 

2.

 



3.

 

 



Misalkan u=f(x) dan v=g(x), maka 

 

4.



   

5. 


 

6.

 



         7. 

 

   8. 



   

9.

        10. 



      11. 

 

 



Misalkan y=f(u) dan u=g(x), maka 

 

12.



 (aturan rantai) 

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut! 

1.

 

 



 

2.

  



 

3.

 



 

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 





Contoh 

 

 

 

Turunan Tingkat Tinggi 

Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).  

 

 

 



Turunan pertama                                   Turunan kedua 

 

 



Turunan ketiga   

 

          Turunan ke-n 



Contoh 

 

 



 

 

 



 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

A. Tentukan turunan kedua dari: 

1.

 

Jawab: 



 

2.

 



Jawab: 

 

B. Carilah c, sehingga f’’(c)=0 dari 



 

Jawab: 


 



)

(

)



(

)

1



(

)

(



x

f

dx

d

x

f

n

n



 

f

x

df x

dx

' ( )


 


2

2

)



(

"

dx



x

f

d

x

f

 



3

3

)



(

'

"



dx

x

f

d

x

f

 



 

n

n

n

dx

x

f

d

x

f

)



(

4.

     



 

Turunan 

 

------------------------------------------------ Enjun Junaeti, M.Si. ------------------------------------------- 





Turunan Implisit 

Jika  hubungan  antara  y  dan  x    dapat  dituliskan  dalam  bentuk  y  =  f(x)  maka  y  disebut  fungsi 



eksplisit  dari  x,    yaitu  antara  peubah  bebas  dan  tak  bebasnya  dituliskan  dalam  ruas  yang 

berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y  fungsi implisit dari x.  

Contoh 

 

 



 

Untuk menentukan  turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y  fungsi 

dari x

Contoh 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Latihan 5 

1.  Carilah nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di x=1 

 

 

 



2.  Carilah turunan pertama dari fungsi berikut! 

 

 



3.  Carilah turunan kedua dari fungsi berikut! 

 

 



4.  Carilah turunan implisit dari fungsi berikut! 

 

1. 



2. 

10

.



1

2

2



3





y

x

y

x

1

)



sin(

.

2



2

2





y



x

xy

)

10



(

)

(



)

(

)



(

2

2



3

x

x

x

x

D

y

D

x

D

y

x

D



0

'



2

)

'



2

3

(



3

2

2







y

x

y

y

x

y

x

2

2



3

3

2



'

)

1



2

(

y



x

x

y

y

x



1



2

3

2



'

3

2



2





y



x

y

x

x

y

)

10



(

)

(



2

2

3



x

x

D

y

x

y

x

D



)

1



(

)

)



sin(

(

2



2





y

D

x

xy

D

x

x

0

'



2

2

)



'

(

)



cos(





yy



x

xy

y

xy

)

cos(



2

'

)



2

)

cos(



(

xy

y

x

y

y

xy

x





y



xy

x

xy

y

x

y

2

)



cos(

)

cos(



2

'





f x

a x

x

x

bx

x

( )


;

;



 






3 0



1

1

2



2

1

1



.









x

x

y

a



10

3

2



.



x

y

b

x

y

c

3

sin



.



1

2



sin

.





x

y

a



4

3

2



.



x

y

b

 


x

y

c

2



cos

.



1

)

sin(



.

2

2





y

x

xy

a

0

3



.

2

2



3







y

y

x

x

b

Download 1.19 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling