Kiruvchilar uchun
Download 391.15 Kb. Pdf ko'rish
|
xrpt 6i4fycd7a4s9xd1mcuc63p0sbyti75t3dm92obyo6fmrjd5ly7homh9o7ry4lhuputh0u6oob47
|
UMID ISMOILOV OLIY 0 ‘QUV YURTLARIGA KIRUVCHILAR UCHUN MATEMATIKADAN QO‘LLANMA (Kirish imtihonlari uchun murakkab masalalar va ularni yechish usullari) I KITOB
Umumiy o 'rta ta ’lim maktablari, litsey va kollejlar matematika fani o'qituvchilari hamda oliy o'quv yurtlariga kirishga tayyorgarlik ko‘ruvchilar uchun qo ‘llanma
Ushbu qo'llanmada Oliy o'quv yurtlariga kirish imtihonlarida berilgan ifodalarni soddalashtirish, funksiyaning aniqlanish va qiymatlar sohasini topish, funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish, arifmetik va geometrik progressiyalarga doir qiyin va murakkab masalalarning echimlari ko‘rsatma va izohlar bilan bayon qilingan. Qo'Ilanma oliy o'qiv yurtlariga kirishni maqsad qilgan barcha yoshlarga, umumiy o ‘rta ta’lim maktablari, litsey va kollej o ‘quvchilariga mo'ljallangan bo'lib, matematika fani o'qituvchilarining ish faoliyati jarayonida eng yaqirr maslahatchisi va yordamchisi b o‘la olishiga ishonchimiz komil. Taqrizchilar: Ro'zimboy M ADRAXIM OV, Urganch Davlat Universiteti “Funksiyalar nazariyasi” kafedrasi mudiri, fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Hamid BOBOJONOV, Urganch shahridagi 2-son akademik litseyining Oliy toifali matematika fani o ‘qituvchisi ISBN 978-9943-08-123-9 © U m id Ism o ilo v . «O liy o ‘quv yu rtlariga kiruvchilar uchun matematikadan q o ‘llanma». «Yangi asr aviodi» NM M , 2007-yil SO ‘ZBOSHI Respublikamizda Oliy o ‘quv yurtlariga kirishda joriy etilgan test usuli o ‘quvchilardan har bir fan bo‘yicha chuqur bilim va tafakkurga ega boiishni talab qiladi. Abiturient kirish imtihoni topshirishi zarur boigan qaysi bir fanni o'zlashtirishga m as’uliyatsizlik bilan qarasa, o ‘sha fandan kerakli ballni to ‘play olmay qolishi aniq. Bu esa abituriyentning orzusini amalga oshmay qolishiga sabab b o ‘ladi. K o ‘p yillik tajribadan m a’lumki, o ‘quvchilar m urakkabroq algebraik ifodalarni, tarkibida irratsional funksiyalar qatnashgan ifodalarni trigonometrik va logarifmik funksiyalar qatnashgan ifodalarni soddalashtirishda, ayrim m urakkabroq ko'rinishdagi funksiyalarning aniqlanish sohalarini, qiym atlar sohalarini, funksiyaning eng k a tta va eng kichik qiym atlarini topishdek m asa lala rn i yechishda q iy n ala d ila r. Shuning uchun ushbu t o ‘plam dagi barcha m asalalar izohlar bilan batafsil yechib berilmoqda. Talaba bo‘lish orzu-umidi bilan ta ’lim muassasalarida o'qiyotgan ayrim o‘quvchilar repititorlarga murojaat qiladilar, ayrimlarning esa qo‘shimcha maslahat va bilim olishlariga imkoniyatlari bo'lmaydi. Ana shularni e’tiborga olgan holda matematika fanidan Oliy o ‘quv yurtlariga kirish imtihonlariga mustaqil tayyorgarlik ko‘rish imkonini yaratish maqsadida ushbu to ‘plam keng o ‘quvchilar ommasiga taqdim etilmoqda. T o ‘plamdagi barcha m asalalarning yechilishlarini aniq va ratsional usullarda, o ‘quvchilar tihdan bayon qilishga harakat qilindi. T o ‘plamni yozishdan maqsad Oliy o ‘quv yurtlariga kirish uchun test sinovlarida tushgan barcha masalalarni yechib ko'rsatish emas, balki kirish im tihom larida berilgan abiturient uchun qiyin va murakkab tuyulgan, nostandart usullarda yechiladigan, mantiqiy fikr-mulohazalar yuritishni talab qiladigan va ko‘proq uchraydigan 3
ayrim masalalarning yechilish usullaridan namunalar berish bilan muhtaram o ‘quvchiga shu tipdagi masalani yechishda to ‘g‘ri yo‘lni tanlay bilishda ko‘maklashishdir. Matematikaning boshqa mavzulariga oid qiyin masalalarning yechilish usullari va k o 'rsa tm a lar navbatdagi kitobda berish rajalashtirilgan. Agar ushbu kitob kimgadir yecholmayotgan masalasini yechishda yoki kimningdir talaba boiishdek orzu-umidini ro‘yobga chiqarishda yordam bera olsa, bu mening katta yutug‘imdir.
IFODALARNI SODDALASHTIRISH BO‘YICHA AMALIY TAVSIYALAR Ayrim algebraik ifodalarni soddalashtirishda bir necha amallarni birdaniga bajarishga shoshilmaslik kerak, xatoga y o ‘l qo‘yib qo'yish mumkin. Ifodaning berilishiga qarab, qadamba-qadam, ketma-ket alm ashtirishlarni bajarib, mumkin b o ‘lgan sodda holgacha ixchamlab, navbatdagi amalni bajarishga o'tilsa, almashtirishlarda xatoga yo ‘l qo'yish ehtimoli ham kamayadi. Misollarga murojaat qilamiz. 1. Ifodani soddalashtiring _ 1 __
1 1 1 1 x (x + l) (x + I)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) Yechilishi: Bu ifodani soddalashtirishda ulami umumiy maxrajga keltirib, birato'la q o‘shishdan foydalanilsa, yechish usuli jihatidan qo‘pol xatoga y o ‘l qo'yilgan bo'lar edi. Bu holdan qutulish uchun oldin dastlabki ikki kasrni qo‘shamiz: 1 I _ х + 2 + х x(x + l) (x + l)(x + 2) x(x + l)(x + 2) 2(x + l) 2 x (x + l)(x + 2) x(x + 2) Natijaga uchinchi qo'shiluvchini q o ‘shamiz: 2 1 _ 2x + 6 + x _ 3(x + 2) _ 3 x(x + 2) (x + 2)(x + 3) x(x + 2)(x + 3) x(x + 2)(x + 3) x(x + 3) Hosil bo'lgan natijaga.to‘rtinchi qo'shiluvchini qo'shamiz: 3 I Зх + 12 + х 4( x + 3) 4 --------- d-----------------—
-■
— ---------------- - * “ “ x(x + 3) ( x + 3)( x + 4) x ( x + 3)( x + 4) x(x + 3)(x + 4) x( x + 4) 5
Oxirgi natijaga beshinchi qo'shiluvchini qo‘shamiz: 4 1 5 ----------- 1------------------— —--------- x(x + 4) (x + 4)(x + 5) x(x+5)
5 Javob; x(x + 5) II usijl. Ba’zan bunday ko ‘rinishdagi ifodalami soddalashtirishda har bir qo'shiluvchini ayirma shaklida tasvirlab olish ham yechishda juda qulaylik tug'diradi. 1 1 1 x(x +
X x + f 1 1 1 (x + l)(x + 2) x + l x + 2 ’ 1 1 1 (x + 2)(x + 3) 1 x + 2 1 x + 3' 1 (x +
+
+
+
Bularni dastlabki ifodaga olib borib qo'yamiz: 1 1
1 1 1 1 — --------- + -----------------h----------------- 1 -------
x + l
x + l x + 2 x + 2 x +3 x + 3
1 _ J _____ 1 1 1 _
x + 4 x + 4
x + 5 x x + 5 x( x + 5) ’ Javob: x(x + 5)
A yniqsa, ifo d alarn i so d d alash tirish d a k o 'p ay tu v ch ilarg a ajratishni bilish, qisqa ko'paytirish formulalaridan muvaffaqiyatli foydalanish eng muhim ahamiyat kasb etib, ishni muvaffaqiyatli yakunlashga zamin yaratadi. 6
Misol. Ifodani soddalashtiring а3 (в - с) + в3 (c - a) + с1 (a - в) а2 (в - с) + в 2 (c - a ) + c2 (a - в) Yechilishi: Bu ifodani soddalashtirish uchun surat va maxrajni k o‘paytuvchilarga ajratishga harakat qilamiz
= а3 в - a' с + в3 с - в3 a + C1 (a - в ) = = (а3в - в3a) - (a}c - e3c) + r ’ (a - в) = = ae(a2 - в 2) - c{a3 - в3) + c3 ( a - e ) = = ав(а - e) (a + e ) - c(a - e)(a2 +ав + в2) + c1 ( a - e ) =
= (a - e){a2 {в - с) + ae(e - c) - c(e2 - c2)) = = { o - в)((в - c)a2 + ae(e - c) - c(e - c)(e + c)) = - ( a - e)(e - c)(a2 + a e - e c - c 2) = = ( a - e)(e - c)((a - c)(a + с) + в(а - c)) = = (a - e)(e - c)(a - c)(a + e + c). Endi kasrning maxrajida ham shunday shakl almashtirishlarni bajarib, quyidagi k o ‘rinishdagi k o ‘paytuvchilarga ajratamiz. а 2 (в - c) + в 2(с - a) + c 2(a - в) = (a - e){e - c)(a - c) Surat va maxrajdagi hosil bo'lgan ifodalarni o ‘rniga q o‘yib, (a - в)(в - c)(a - c)(a + в + c) -------------------------- ------------- = a + e + c (a - e)(e - c)(a - c) natijaga erishamiz. Oliy o ‘quv yurtlariga kiruvchilar uchun berilayotgan test materiallarida .Ja + ву[с yoki <[a + ~i^Jc ko‘rinishdagi ifodalarni soddalashtirishga yoki ildiz chiqarishga keltiriladigan misollar ham uchrab turadi. Bunday k o ‘rinishdagi misollarni yechishda ushbu 7
■Ja ± W S = J e l J H K 2 V 2 ( a > 0 ;e > 0 ) formuladan foydalanish qulay. Misol 1. ^43 + 30^2 ifodani soddalashtiring. Bu erda a= 43 , 6=30; N = 2. Y u q o rid ag i fo rm u la d a n foydalanamiz. -2 -3 0 - ^ Щ - J l 3 Ш 3° ! + j 43 ^ ^ - 2 Bu misolni quyidagi ko'rinishda ham yechish mumkin. t / 43 + 30>/2 ifo dani so d d a la sh tirish uchun uni x + y^jl k o ‘rinishida tasvirlab olamiz, ya’ni V 43 + 30V2 = x + y j l ikkala tomonini kvadratga ko‘tarib V43 + 30V2 = jr + 2_y2 + 2xy-Jl ni hosil qilamiz. Bunda x va у ning butun (yoki ratsional) qiymatlarini izlash uchun ushbu x2 + 2 y 2 = 43 { 2x y4 l = 30V2 sistemaga keltirib yechiladi. x~ +2 y 2 = 4 3
1 ^ = 15 Bundan x=5, y = 3 qiymatlarni topamiz. Shunday qilib, V43 + 30V2 = 5 + Зл/2 2. Ifodani soddalashtiring: 8
л/34 - 2 4 ^ / 2 + 1 7 1 8 -8 7 2 - 7з + 2л/2 Yechilishi: 7 з 4 _24V2 = х - у 7 2 deb belgilab olib, tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko ‘taramiz. Quyidagi tenglam alar sistem asini tuzib olib, x va у ning qiymatlarini topamiz. Bu sistemani yechib x=4,
3 b o iish in i topamiz. Demak, >/з4-24л/2 = 3V2 - 4 • X uddi sh u n d ay , m ax rajd ag i q o ‘sh ilu v ch ilarn i ham soddalashtiramiz. V18 - 8
n /2 = x - ^ 2 , 1 8 - 8 ^ 2 = x2 - 2 х у Л + 2 у \ J x
J x 2 + 2 y 2 =18, [Ixy^Jl = 8л/2 jx y = 4. Bu y erd an x=4, у =1 b o 'la d i. D em ak, 7 18-872 =472
Bu sistem adan x = l, y = l ekani kelib chiqadi. Shuhday qil'b, V3+2 77 = 1 + 72 Topilganlarni berilgan ifodaga qo‘yamiz: 34 - 24^2 = x2 - 2xyV2 + 2y: x2 + 2 / = 3 4 , j x 2 + 2 / = 3 4 , 2xyV 2=24T2; [xy = \2; - 4 + 3 7 2 + 1 3 V 2 - 3 ( з 7 7 - 3 ) ( з + 2 7 7 ) 4 - 7 2 - 1 - 7 2 3 - 2 7 2 ( 3 - 2 7 2 ) ( 3 + 2 7 2 ) 9
Javob: Зн-3^2- 9У2 + .2 — ‘> - 6 ' Й = 3 ^ 9 - 8
1. (98-5-18). ( \ \ ( з iN 5eJ +10
в4 - 2e2 V / V / ni soddalashtiring. в - 4 e 2
B ) j С) 1 D ) 5 E) -2 Yechilishi: Soddalashtirishni suratdagi ifodalarni ko'paytirib, qavslami ochishdan boshlaymiz. 2 3 i 5e2
5e - 10e4 +10eJ -2 0 e - ( \_ \ в 2
V e - 4 e 2 l в 2 ( i \ = 5
e 2 - 4 Javob: D. 3 2. (98-7-25). --- ----------- ni soddalashtiring. A) 23n B) 2 4"+ i C) 2 4n+2 D) 2 5" E) 24” Yechilishi: Bu ifodani soddalashtirishda ushbu a n . a m — a va — = o ” formulalardan foydalanish juda qulaydir. a ^ 5/7—
3 23/1+2 =
2 5 я -3+3/7+2-4«+1 = 2 4n Javob: E. 10
Bu tanishuv parchasidir. Asarning to‘liq versiyasi https://kitobxon.com/oz/asar/1797 saytida. Бу танишув парчасидир. Асарнинг тўлиқ версияси https://kitobxon.com/uz/asar/1797 сайтида. Это был ознакомительный отрывок. Полную версию можно найти на сайте https://kitobxon.com/ru/asar/1797 Download 391.15 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|