Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarning integrali va uni hisoblash. Koshining asosiy teoremasi. Koshining integral formulasi


Download 495.85 Kb.
Pdf ko'rish
Sana18.01.2020
Hajmi495.85 Kb.
#94705
Bog'liq
Matem 1oraliq
1ochiq dars 9.10.2017, Mehnat resurslarni boshqarish strategiyasini ishlab chiqish Butunbaeva BMI uz 76c0e, Tabiatni muhofaza qilish, 1-маъруза, Sanoat ekologiyasi, Sanoat ekologiyasi, MOYLI EKINLARNING UMUMIY TAVSIFI, Hayotning molekular asoslari 5195418249, Nuklein kislotalar bu organizmlarga genetik ma, Sanoat ekologiyasi, construction, 8-MARUZA.YORUGLIK QUTBLANISHI b89f98507bfb35e67effff46eb578ed5, Why-Social-Science-Smith-2017, elektr transport harakat tarkibini avtomatlashtirish

Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

Kompleks o’zgaruvchili funksiyalarning integrali va uni hisoblash. Koshining 

asosiy teoremasi. Koshining integral formulasi. 

Ma’ruza  rejasi: 

1.  Кompleкs  o’zgaruvchining funкsiyasidan olingan integral  ta’rifi. 

2.  Integralning asosiy xossalari. 

3.  Кompleкs    o’zgaruvchining  funкsiyasidan  olingan    integralni 

hisoblash. 

4.  Кoshining integral formulasi.                     

Кompleks (z) tekisligidagi biror E sohada uzluksiz bir qiymatli 



wf(z)=u(xy)+i



v(xy)    

 

 

(57.1) 



funksiya berilgan bo’lsin, u holda  f(z)  funksiya  soha ichidan olingan ixtiyoriy Г 

silliq chiziqda ham bir qiymatli va uzluksiz bo’ladi. 

Bu  chiziqning tenglamasi  z=f(t)  (



t



) bo’lib, uning boshlang’ich nuqtasi 

z

0

 va oxirgi nuqtasi z



n

 ya’ni z

0

=f(



), z



n

=f(

) bo’lsin. Г chiziqning yo’nalishini ikki 



xil  aniqlash  mumkin.  Odatda  t-parametrning  oshib  borishga  mos  yo’nalishini 

musbat  Г

+

  yo’nalish,  bunga  teskari  yo’nalishni      Г 



– 

manfiy  yo’nalish  deb  qabul 

qilinadi. 

 

Z



0

 

Z



1

 

z



n

 

Z



n+1

 

z



n

 

y



 

x

 



 

57.1-rasm. 



Г-chiziqni  z

1

z



2

, ... z



n-1

 nuqtalar orqali n-ta yoychalarga ajrataylik va har bir 

yoychada bittadan ixtiyoriy 



k

 nuqta olaylik va bu nuqtalardagi funksiyaning  f(



k

qiymatlarini topaylik. Quyidagicha ko’paytmalarning yig’indisini tuzaylik: 



S

n

=f(

1

)





x

1

+f(



2

)





x

2

+...+f(





n

)





x

n

=





n

k

K

K

x

f

1

)



(

  (57.2) 



Bunda 



z



k

=z



k 

-  z



k-1

  (k=1,  ...  n)

 

  va  (57.2)  ga  integral  yig’indi  deyiladi.  



max



z



k

=



 deb belgilaylik. 



1-Ta’rif.  Agar 

-nolga  intilganda  (57.2)  integral  yig’indi  aniq  limitga  ega 



bo’lsa  va  bu  limitning  qiymati  Г-ni  qaysi  usulda 



z



k

-larga  bo’lish  usuliga  va  bu 

bo’lakchalarda 



k

 nuqtalarni tanlash usuliga bog’liq bo’lmasa, bu limitning qiymati 

f(z) funksiyadan Г chiziq bo’yicha olingan kontur integral deyiladi va quyidagicha 

yoziladi: 



Г



dz

z

f

)

(



=





n

k

K

f

1

)



(

lim


0





z

k

  

 



 

(57.3) 


Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

Г-chiziq  integrallash  yo’li  yoki  konturi  deyiladi.  Agar  f(z)=u(xy)+i



v(xy

ni e’tiborga olsak, bundagi u(xy) va v(xy) funksiyalar ham Г-da uzluksiz bo’ladi 

va quyidagini yozish mumkin: 



Г



dz

z

f

)

(



=







Г

dy

i

dx

v

i

u

)

(



)

(



=









Г

dy

u

dx

v

i

dy

v

dx

u

)

(



)

(

 



 

 

(57.4) 



Bundan  ko’rinadiki,  kompleks  o’zgaruvchilar  funksiyasining  integrali  2  ta 

haqiqiy o’zgaruvchilar funksiyasining egri chiziqli integrali ko’rinishiga keladi. 



 

2. Integralning asosiy xossalari 

1-xossa.  O’zgarmas    ko’paytuvchini  integral  belgisi  tashqarisiga  chiqarish 

mumkin: 








Г

Г

dz

z

f

a

dz

z

f

a

)

(



)

(

 



Isboti. Haqiqatan ham agar a-o’zgarmas son bo’lsa, ushbu tenglik o’rinli: 











n

k

z

f

n

k

a

z

f

a

K

K

K

K

1

)



(

1

)



(



 

bundan 


0 da hadlab limitga o’tsak, 1-xossa isbot bo’ladi. 



2-xossa.  Chekli  sondagi  funksiyalar  yig’indisidan  olingan  integral  har  bir 

qo’shiluvchi funksiyalardan olingan integrallar yig’indisiga teng, ya’ni: 











Г

Г

Г

Г

dt

z

f

dt

z

f

dt

z

f

dt

z

f

z

f

z

f

n

n

)]

(



...

)

(



)

(

)]



(

...


)

(

)



(

[

2



1

2

1



 

isboti 1- xossadagidek isbotlanadi. 



3-xossa.  Integrallar  konturining  yo’nalishi  qarama-qarshisiga  o’zgartirilsa, 

integral belgisi oldidagi ishora ham o’zgaradi, ya’ni: 









Г



Г

dt

z

f

dz

z

f

)

(



)

(

 



Isboti.  Haqiqatan  ham,  integral  yig’indi  Г  ning  musbat  yo’nalishida  olinsa 



z



k

=z



k

-z



k-1

 ga teng, agar (manfiy) qarama-qarshi yo’nalishda olinsa 



z

k

=z



k-1

-z



k

=-(z



k



z



k-1

)

 



ga teng bo’ladi. Shuning uchun 





n

k

K

K

K

z

z

f

1

)



(

)

(



1

 va 







n



k

K

K

K

z

z

z

f

1

)



(

)

(



1

 

yig’indilar  faqat  ishoralari  bilan  farq  qiladi,  demak  limitlari  ham  faqat  ishorasi 



bilan farq qiladi.

 

4-xossa. Agar Г chiziqning uzunligi l bo’lib, uning barcha nuqtalarida M>0 

son uchun f(z)<M o’rinli bo’lsa, ushbu tengsizlik ham o’rinlidir: 

l

M

dz

z

f

Г



)



(

 (Isbotsiz). 



Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

5-xossa. Agar  

Г= Г

1

+ Г



2

+...+ Г



n

  bo’lsa, ushbu tenglik o’rinlidir: 



Г



dz

z

f

)

(







1

2

2



1

)]

(



...

)

(



)

(

Г



n

Г

Г

dz

z

f

dt

z

f

dz

z

f

n

 (Isbotsiz) 



 Integralni hisoblash. 

f(z)  kompleks  funksiyadan  Г-chiziq  bo’ylab  olingan  integral  (57.4) 

formulaga ko’ra haqiqiy o’zgaruvchidan olingan egri chiziqli integralni hisoblash 

uchun Г-chiziqning tenglamasi parametrik holda berilgan bo’lishi kerak. 

Г-chiziqning  parametrik  tenglamalari  x=x(t),  y=y(t)  (



t



)  bo’lsin.  Bu 

parametrik tenglamalarni kompleks shaklda yozsak, ya’ni: 



z=z(t)=x(t)+i



y(t), dt=[

/

(t)+i





/

(t)]dtz(



)=z

0

z(



)=z



н

=z 

ekanligi  kelib  chiqadi  va  z(t)  funksiya  ham  [



]  segmentda  uzluksiz  bo’ladi. 

Bularni e’tiborga olsak, (57.5) ni quyidagicha yozish mumkin: 















Г

Г

Г

dt

t

y

v

t

x

u

dy

u

dx

u

i

dy

v

dx

u

dz

z

f



)]

(

)



(

[

)



(

/

/



 

                     









dt



t

y

u

t

x

v

i

)]

(



)

(

[



/

/

                                                       (57.5) 



yoki                   









dt



t

y

i

t

x

v

i

u

dz

z

f

Г

)]

(



)

(

[



)

(

)



(

/

/



  

 

            (57.6) 



yoki 







dt

t

z

t

z

f

dz

z

f

Г

)

(



)]

(

[



)

(

/



 

 

 



(57.7) 

Shunday  qilib,  f(z)  kompleks  o’zgaruvchining  funksiyasida  Г  kontur  bo’yicha 

olingan integralni hisoblash masalasi aniq integralni hisoblashga keltirildi. 

1-Misol. 



Г

dz

z

Re

  integral





z

=1,  0



arg




z



  yarim  aylana  bo’yicha 

hisoblansin. 

Yechish: Г-aylananing parametrik tenglamasi quyidagicha bo’ladi. 

x=costy=sint (0



t

 



);  











0

0

)]



cos

sin


(

[cos


)

(

Re



/

/

dt



t

i

t

t

dt

y

i

x

x

dz

z

Г

 

2



2

sin


2

1

2



2

cos


4

1

)]



2

cos


1

(

2



1

2

sin



2

1

[



0

0

i



t

t

i

t

dt

t

i

t









 











1. Кo’pgina  hollarda 



Г

dz

z

f

)

(



  integralning  qiymati  ikki  narsaga,  ya’ni 

berilgan  f(z)  funksiyaga  va  Г-chiziqning  formasiga  bog’liq.  Agar  z

0

,  z



n

  nuqtalarni 

tutashtiruvchi ikki xil Г

1

 va Г



2

 chiziqlarni olsak, integralning qiymati ham umuman 

ikki turli bo’lishi, ba’zan esa teng bo’lib qolishi mumkin. 


Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

Masalan, ushbu tenglik o’rinli bo’lsin: 

                                               

,

)



(

)

(



2

1





Г



Г

dz

z

f

dz

z

f

                                          (57.8) 

 

Z

0



 

Z

n



 

Г

2

 



Г

 1

 



 

57.2-rasm. 

ya’ni  integralning  qiymati  integrallash  yo’liga  bog’liq  bo’lmasin,  u  holda  (57.8) 

dan quyidagini yozish mumkin: 

0

)

(



)

(

2



1





Г



Г

dz

z

f

dz

z

f

 

yoki               



0

)

(



)

(

)



(

)

(



2

1

2



1









Г

Г

Г

Г

Г

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

 

 



D

 

Z



0

 

z



n

 

Г



 

 

57.3-rasm. 



Demak,  integralning  qiymati  integrallash  yo’liga  bog’liq  bo’lmasligi uchun 

(uning  z

0

,  z



n

  nuqtalarning  o’rniga  bog’liq  bo’lishi  uchun)  shu  nuqtalarni 

tutashtiruvchi  yopiq  kontur  bo’yicha  olingan  integralning  qiymati  nolga  teng 

bo’lishi kerak. 

 

Qaysi shartlar bajarilganda integralning qiymati nolga teng yoki integrallash 



yo’liga bog’liq bo’lmasligiga quyidagi Кoshi teoremasi javob beradi. 

2. Bir bog’lamli soha uchun Кoshi teoremasi 

1-Teorema. Agar bir bog’lamli E sohada  f(z) funksiya analitik bo’lsa, Г da 

yotuvchi  har  qanday  Г  yopiq  kontur  bo’ylab  f(z)  funksiyadan  olingan  integral 

nolga teng bo’ladi: 

0

)



(



Г

dz

z

f

  

 



 

 

(57.9) 



Isboti. f(z) Funksiyaning hosilasi f

 /

(z) ham E da uzluksiz bo’lsin. 



y

u

i

y

v

x

v

i

x

u

z

f











)

(

/



 

bo’lgani  uchun 



y

u

y

v

x

v

x

u







,

,

,



  lar  ham  D  da  uzluksiz  bo’ladi,  demak,  u(xy), 

v(xy)  larning  ham  uzluksizligi  kelib  chiqadi.  U  holda  Grin  formulasiga  ko’ra 

quyidagini yozish mumkin: 



Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    



























D



Г

Г

Г

dy

dx

y

v

x

u

dy

u

dx

v

i

dy

v

dx

u

dz

z

f

)

(



)

(

)



(

 

Кoshi-Riman shartlariga asosan: 



x

v

y

u

y

v

x

u









;

  bo’lgani  uchun  oxirgi  tenglik  nolga  teng  bo’ladi,  ya’ni 

0

)

(





Г



dz

z

f

  Bu  teorema  birinchi  marta  mashhur  fransuz  matematigi  Eduard 

Gursa (1858-1936) tomonidan isbotlangan. 

 

3. Кo’p bog’lamli soha uchun Кoshi teoremalari. 



2-teorema.  Agar  ko’p  bog’lamli  yopiq 

E

  sohada  f(z)  funksiya  analitik 

bo’lsa,  shu  sohaning  butun  konturi  bo’ylab  musbat  yo’nalishda  f(z)  funksiyadan 

olingan integral nolga teng bo’ladi. Bu teorema quyidagicha ham  (4-rasmga ko’ra) 

yoziladi: 

0

2



1

0







Г



Г

Г

 

yoki 





2



1

0

)



(

)

(



)

(

Г



Г

Г

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

  

 



 

(57.10)                         

 

Г

1



 

Г

2



 

Г

0



 

 

57.4-rasm. 



Teoremani isbotsiz qabul qilamiz. 

3-teorema. Agar ko’p bog’lamli yopiq sohada  f(z) funksiya analitik bo’lsa, 

bu  funksiyadan  tashqi  kontur  bo’yicha  olingan  integral  ichki  konturlar  bo’yicha 

olingan integrallar yig’indisiga teng. 

Bu teoremaning isboti 1-teoremadan kelib chiqadi. Masalan, shaklga asosan 

quyidagi tenglikni yozish mumkin:

 





2

1



0

)

(



)

(

)



(

Г

Г

Г

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

.     


 

(57.11)  

          Boshlang’ich funksiya va aniqmas integral 

2-Ta’rif. Agar E sohaning barcha nuqtalarida  F

 /

(z)=f(z) tenglik bajarilsa, u 



holda F(z) funksiya berilgan f(z) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi  deyiladi. 

Haqiqiy  o’zgaruvchilar  sohasidagi  kabi  kompleks  o’zgaruvchili  f(z

funksiyaning boshlang’ich funksiyasi uchun ham quyidagi teorema o’rinli. 

4-Teorema. Agar E sohada F(z) funksiya f(z) ning boshlang’ich funksiyasi 


Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

bo’lsa,  u  holda  Ф(z)=F(z)+C  (bunda  S-ixtiyoriy  o’zgarmas)  ham  E  da  o’sha  f(z

funksiya  uchun  boshlang’ich  funksiya  bo’ladi  va  aksincha,  agar  F(z)  va  Ф(z)  lar 

f(z) ning boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, u holda barcha z



E lar uchun 

Ф(z)-F(z)



C 

 

 

 



 

(57.12) 


bo’ladi.  Berilgan  f(z)  funksiyaning  hamma  boshlang’ich  funksiyalari  aniqmas 

integral deyilib, ushbu 



f z dz

( )


 

simvol bilan belgilanadi. Demak (12) ga muvofiq 



)

(

)



(

)

(



z

C

z

F

dz

z

f





   

 

(57.13) 



Bunda           

)

(



)

(

|



z

f

z

F

  



Endi funksiya bir bog’lamli E sohada analitik bo’lsin. E da z

0

 va z nuqtalarni 



birlashtiruvchi  Г  kontur  bo’ylab  integrallash  talab  qilinsa,  unga  to’g’ridan-to’g’ri 

haqiqiy sonlar nazariyasidagidek Nyuton-Leybnis formulasini qo’llash mumkin: 



f z dz

F z

F z

( )


( )

(

)





0

.   



 

 

(57.13



1



2-misol.                                







C



n

z

dz

z

n

n

1

1





Ratsional funksiyalarni integrallash 

Biz ilgari         

(

)

z



a

dz

n



0



   bo’lishini ko’rgan edik. Xususiy holda a=0 

bo’lsa,     



z dz

n



0

.      Shularga  asosan  butun  ratsional  funksiyadan  yopiq  Г 



kontur bo’ylab integral olishimiz mumkin. 

а)                             P(z)=a

0

z



n

+a

1

z

n-1

+...+a



n-1

z+a

n

, 

bunda  a

0

a



1

, ..., a



n

  koeffitsientlar  o’zgarmas  kompleks  sonlardan  iborat  bo’lib, 



z=x+iy - kompleks o’zgaruvchidir 

                     

0

...


)

(

1



1

0













dz

a

dz

z

a

dz

z

a

dz

z

P

n

n

n

 

Demak,                            



0

)

(





dz

z

P

 

 



 

 

 



(57.14) 

b)  Agar  a  nuqta  Г  yopiq  chiziq  tashqarisida  yotgan  bo’lsa, 

dz

z

a

n

(

)





0

  



bo’lishini  biz  ko’rgan  edik.    z=a  nuqta    Г  ning  ichida  yotadi,  deb  faraz  etaylik. 

Agar  Г ichida markazi z=a dan iborat biror С aylana yasasak ikki bog’lamli soha 

hosil bo’lib, unda                      

f z

z

a

n

( )


(

)



1

 



funksiya  analitik  bo’ladi.  Shu  sababli  Кoshi  teoremasiga  asosan  tashqi  va  ichki 

konturlar bo’ylab olingan integrallar o’zaro teng bo’ladi, ya’ni 



Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

                                 



dz

z

a

dz

z

a

n

n

C

(

)



(

)





 



 

 

    



(57.15) 

 









i



n

n

a

z

dz

n

2



lsa,

bo'


1

agar


0

lsa,


bo'

1

agar



)

(

 



  (57.16) 

So’nggi formulaga asoslanib quyidagi oddiy kasr ratsional funksiyalardan integral 

olish qiyin emas. 

R z

A

z

a

A

z

a

A

z

a

n

n

n

( )


(

)

(



)

...




 




0

1

1



1

 

Agar  a  nuqta  Г  tashqarisida  bo’lsa,  har  bir  haddan  olingan  integral  nolga  teng 



bo’ladi. Agar a nuqta Г ichida yotsa, u holda (16) ga asosan 

R z dz

A

dz

z

a

A

dz

z

a

A

dz

z

a

A

A

A

i

A

i

n

n

n

n

n

( )


(

)

(



)

...


...

,









 





 

  






0

1



1

1

0



1

1

1



0

0

2



2



 

 

 



ya’ni                              

R z dz

A

i

n

( )




1



2

 



 

 

 



            

(57.17) 


Mabodo ratsional funksiya ushbu    

R z

P z

Q z

( )


( )

( )


 

ko’rinishda berilgan bo’lsa, dastlab uni oddiy kasrlarga ajratib, so’ngra yuqoridagi 



metod bilan integrallash kerak. 

3-Misol.                            

I

z

dz

z

z

z





(

)

(



)(

)

,



1

1

3



2

 



bundagi  Г  chiziq  |z|=2  aylanadan  iborat.  Integral  ishorasi  ostidagi  kasr-ratsional 

funksiyani quyidagicha oddiy kasrlarga ajratib olamiz. 

(

)

(



)(

)

/



/

/

.



z

dz

z

z

z

z

z

z

z







1



1

3

1 3



7 9

1

1



2 9

3

2



2

 

U holda                                    



I

dz

z

dz

z

dz

z

dz

z







1



3

7

9



1

2

9



3

2





 

 (57.6)  ga  asosan       



dz

z

dz

z

i

dz

z

i

2

0



2

1

2









,

.



            

  ,             

 





  z=3  nuqta  Г 

aylananing tashqarisida bo’lgani uchun     



dz

z



3

0



.

 



Demak, 

I

i

i

i

 




7

9

2



2

4

9





 

 

  .



 

 


Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

Кoshining integral formulasi. 

Г-chiziq bilan chegaralangan 



E

 yopiq sohada f(z) analitik bo’lsin, u holda 



E

 ga tegishli har qanday 

1

E

 yopiq sohada ham f(z) funksiya analitik bo’ladi. 

Sohaning ichida ixtiyoriy z

0

 nuqta olaylik va bu nuqtani markaz qilib, 



-radiusli 

aylana chizaylik. U holda Г va 

 lar bilan chegaralangan sohada 



0

)

(



z

z

z

f

 ham analitik 



bo’ladi, chunki z

z



0.  

Demak, (10) Кoshi formulasiga asosan: 









d



z

z

z

f

d

z

z

z

f

Г

0

0



)

(

)



(

   


 

 (57.18)  

 

Z

0

 



Г

 

r

 

z

 



 

   

57.5-rasm. 



Har qanday 



 >0 uchun shunday 

 >0 son mavjudki, 



-aylananing ixtiyoriy z 

nuqtasi uchun 



z-z

0



=





<



   



0

z



f

z

f

 tengsizliklar o’rinli. Demak, 















2



)

(

)



(

)

(



)

(

0



0

0

0



0

d

z

z

z

f

z

f

d

z

z

z

f

d

z

z

f

 

Ikkinchi tomondan 



i

z

f

z

z

dz

z

f

dz

z

z

z

f









2

)



(

)

(



)

(

0



0

0

0



0

 

Demak, 



0

2

)



(

)

(



lim

0

0



0







i



z

f

dz

z

z

z

f



  bunda,  agar  (1) 



0  da  hadlab 



limitga o’tsak, quyidagi tenglik hosil bo’ladi: 

i

z

f

dz

z

z

z

f

dz

z

z

f











2



)

(

)



(

lim


)

(

lim



0

0

0



0

0

 



Г-chiziq  bo’ylab  olingan  integral 

-ga  bog’liq  bo’lmagani  uchun  limit  belgisini 



tashlab yuborish mumkin, demak, ushbu tenglikni yozish mumkin: 

                                 







Г



dz

z

z

z

f

i

z

f

0

0



)

(

2



1

)

(



 

                                         (57.19) 



Bu  Кoshining  integral  formulasi  deyiladi.  Bu  formulani  E  ko’p  bog’lamli  soha 

bo’lganida ham qo’llash mumkin, bunda 



Е

z

~

0



 ichki nuqtasidir. 



Sunday, September 22, 2019                        @UktamRakhmonov    

4-misol. 



Г

dz

i

z

z

2

 integral 





z-2i

=2 aylana bo’ylab hisoblansin. 



Yechish:  Misolimizda  f(z)=z

2

,  z



0

=i.  Demak,  Кoshi  integral  formulasiga 

ko’ra: 







Г

z

f

i

dz

z

z

z

f

)

(



2

)

(



0

0



 

Yoki                            











Г

i

z

i

i

f

i

i

z

dz

z

i



2

)



(

2

)



(

2

2



2

 

 



Download 495.85 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling