Коррект масалалар

Коррект масалалар. Коши ва чегаравий масала. Лаплас тенгламаси учун коши масаласи
Режа:
1. Коррект куйилган ва куйилмаган масала
2. Коши масаласи
3. Лаплас тенгламаси учун Коши масаласи.

Физик ходисаларни математик нуктаи назардан ифодалашда уша ходисани бир кийматли ифодалаш учун керакли буладиган шартларни хисобга олиш етарли булади. Торнинг кундаланг тебранишлари хакидаги масалани карайлик Торнинг икки чети махкамланган . Демак,

u (0, t)=0, u (l, t)=0 (1) шарт бажарилиши керак. (1) га чегаравий шарт дейилади. Торнинг тебраниши унинг бошлангич куринишадан ва нукталардаги тезликларининг таксимланишидан боглик булади, яъни бошлангич шартга
u (х, t₀)=(х), (2)
боглик булади.
(2) га бошлангич шарт дейилади.
Демак, тор тебраниши масаласида кушимча шартлар чегаравий (1) ва бошлангич (2) шартлардан иборат булади. Кейинчалик биз шуни курсата оламизки, бу шартлар тор тебраниши тенгламасини ечиш учун тула етарли булади.
Агар торнинг четки нукталари бирор конун буйича харакатланса чегаравий шарт
u (0 ; t)=₁(t), u (l ; t)= ₂(t) (1)
куринишда булади.
Агар бизни жуда киска вакт оралигидаги жараён кизиктирса, яъни чегаралар бор- йукли ахамиятга эга булмаса, у холда куйидагича масала куйиш мумкин:
Икки (1) ва (2) шартлар биргаликда чегаравий шартлар хам деб аталади.
Массаси куйидаги тенгламанинг

бошлангич шартларни шартларни каноатлантирувчиечими топилсин. Ана шу масалани тулкин тенгламаси учун Коши масаласи дейилади.
Умуман чегаравий масала куйидагича куйилади:
Масала: Ушбу сохада аникланган ва
тенгламани ва
чегаравий шартни хамда
бошлангич шартларни каноатлантирувчи U(x,t) функция топилсин. Юкорида айтиб утилган Коши масаласини куйидагича ёзиш мумкин.
Масала: Ушбу тенгламанинг
бошлангич шартларни каноатлантирувчи U(x,t) функция топилсин.
Исбот килиш мумкинки, U(x,t) функция ягона булади, худди шундай яна шуни исботлаш мумкинки f(x; t) функциянинг кичик узгаришига, Коши масаласи ечимининг кичик узгариши мос келади., агар албатта соха t буйича чегараланган булса. Бу ердан шуни хулоса килиб айтиш мумкинки, тулкин тенгламаси учун Коши масаласи коррект куйилган массаси булар экан. Коррект куйилмаган масалада албатта ягона ечим ва f(x; t) функциянинг кичик узгаришига, ечим U(x,t) нинг кичик узгариши мос келиши бузилар экан.
Юкоридагилардан хулоса килиб коррект масалага куйидагича таъриф бериш мумкин.
Таъриф. Математик масала коррект куйилган дейилади агар :

1. 
   Масала ечими мавжуд булса;
   
2. 
   Масала ягона ечимга эга булса;
   
3. 
   Масала ечими берилган шартларга узлуксиз боглик булса:
   

(3) шартни баъзи холларда тургунлик яъни ечимнинг тургунлик шарти хам деб аташади.
Нокоррект масалага мисол келтармиз. Лаплас тенгламаси
бошлангич шартларни каноатлантирувчи U(x;y) ечимини топиш масаласи Лаплас тенгламаси учун Коши масаласи дейилади. Ушбу
U­­⁽¹⁾(x;y)=0, U­­⁽²⁾(x;y)= функциялар Лаплас тенгламасини каноатлантиради.
U­­⁽¹⁾(x;y)=0,
U­­⁽²⁾(x;y)=

куриниб турибдики .
Куйилаётган бошлангич шартлар кераклича катта  ларда бир-биридан жуда кам фарк килади. Аммо ечим U­­⁽²⁾(x;y)  нинг киймати кандай булмасин, кераклича катта булиши мумкин. Чунки гиперболик косинус функция иштирок килмокда.
Бу эса 3) шартнинг бажарилмаслигини билдиради. Демак, Лаплас тенгламаси учун куйилган Коши масаласи коррект эмас экан.