Ko`rsatkichli va logarifmik tenglamalarga oid misollar yеchish


Download 0.59 Mb.
Pdf ko'rish
Sana26.08.2020
Hajmi0.59 Mb.
#127753
Bog'liq
Ko`rsatkichli va logarifmik tenglamalarga oid misollar yеchish
Abdulla Qodiriy. Mehrobdan chayon roman, Abu Lays Samarqandiy. Tanbehul g'ofiliyn, 30 - мавзу матн, 39 маъруза матни, Б.Ёриев Мақола, Б.Ёриев Мақола, O‘zbekiston respublikasi (2), 7-мавзу мат, o dars, o dars, o dars, Logarifmik tenglamalarni yechish, Irratsional tengsizliklar va tengsizliklar sistemasiga oid misollar yеchish, Irratsional tengsizliklar va tengsizliklar sistemasiga oid misollar yеchish

Ko`rsatkichli va logarifmik tenglamalarga oid misollar yеchish 

Eng  sodda  ko’rsatkichli  tenglama  deb 



b

a

x

  ko’rinishdagi 



tenglamalarga aytiladi. Bunda a>0 va a≠1, b - ixtiyoriy haqiqiy son. Bu 

tenglamani yechishda ikki holat yuz berishi mumkin:  

1) 

agar  b


0  bo’lsa,  tenglama  yechimga  ega  emas.  Chunki 

tenglamaning  chap  qismi  ko’rsatkichli  funktsiya  bo’lganligi 

uchun x ning barcha qiymatlarida faqat musbat qiymatlar qabul 

qiladi. O’ng qismi esa manfiy son. Musbat son manfiy songa teng 

bo’lishi mumkin emas. Yuqoridagi matematik mulohazani grafik 

orqali ham ko’rishimiz mumkin (1-rasm): 

 

1-rasm. 



2) 

tenglama yechimga ega Agar b>0 bo’lsa,. Haqiqatdan ham buni 

grafik orqali ko’rish mumkin (2- va 3-rasmlar). 

 


   

2-rasm. 


 

 

3-rasm. 



x

1

  va  x



2

    lar  mos  ravishda 



b

a

x

  tenglamaning  a>1  va  0

bo’lgandagi  yechimlari  bo’ladi.  Ko’rsatkichli  tenglamalarni  yechishda 

asosan quyidagi ikki teoramadan foydalaniladi. 



1-teorema.  Agar  a>0  va  a



1 bo’lib a



m

=a

n

  bo’lsa,  u  holda  m=n 

bo’ladi, ya`ni ikkita teng darajalarning asoslari musbat va birdan farqli 

bo’lib ular teng bo’lsa, u holda bu darajalarning ko’rsatkichlari ham teng 

bo’ladi. 

 

Isboti. m=n+c  bo’lsin. U holda   a



n+c

=a



 yoki  a

n



a

c

=a



n

. Bundan  a

n





bo’lganligi  uchun  tenglikning  ikkala  qismini  a

n

  ga  qisqartirsak,  a



c

=1 


bo’ladi. a

n



1 bo’lganligi uchun oxirgi tenglik faqat c=0  bo’lgandagina 

bajariladi. Demak, m=n  ekan. 



 

2-teorema. Agar a>0, a



1, b>0, b



1 bo’lib, a

m

=b

m

 (m



0) bo’lsa, 



a=b bo’ladi.  

 

Isboti.  b

m



0  bo’lganligi  uchun  tenglikning  ikkala  qismini  b



m

  ga 


bo’lsak, 

1



m

m

b

a

  yoki 


1







m



b

a

  bo’ladi.  m

0  bo’lganligi  uchun  oxirgi 



tenglik faqat a=b  bo’lganda bajariladi.  

 

Ko’rsatkichli 



tenglamalarni 

yechishda 

asosan 

quyidagi 



formulalardan foydalanamiz: 

 

1. 



.

n

m

n

m

a

a

a



 

 



2. 

.

:



n

m

n

m

a

a

a



 

 

3. 



.

)

(



m

m

m

b

a

b

a



 


 

4. 


.

m

m

m

b

a

b

a





 



 

5. 


.

)

(



n

m

n

m

a

a



 

 

6. 



).

,

,



0

(

N



n

N

m

a

a

a

n

m

n

m



 



 

7. 


).

0

(



1

0





a

a

 

 



8. 

.

1



n

n

a

a



 

 

9. 



).

,

,



0

(

1



/

N

n

N

m

a

a

a

n

m

n

m





 

 

 



Ko’rsatkichli tenglamalarni asosiy turlari quyidagilardan iborat. 

 

I.  B ir  x il  as os g a  k eltirib   yech iladig an   ten gla malar.  



Bunday tenglamalarni yechishda asosan (1) teoremadan foydalaniladi.  

Misollar: 

1.  2

x

=4. yechish:  2



x

=2

2



 ; x=2. Javob: x=2. 

2. 


.

4

1



8



x

  yechish: 

2

3



2

1

)



2

(



x

  yoki 


2

3

2



2



x

,  bundan    3x=-2, 

3

2





x

. Javob: 

3

2





x

3. 



1

4



x

. yechish. 

.

0

,



4

4

0



2



x

x

 Javob: 


.

0



x

 


II. Umumiy ko’paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarish usuli bilan 

yechiladigan tenglamalar. Misollar: 

1. 

.

320



4

4

1





x

x

 

yechish. 



320

4

4



4





x

x

 

yoki 



;

320


)

1

4



(

4





x

 

.



3

;

4



4

;

64



4

3





x



x

x

 Javob: 


.

3



x

 

2. 



.

140


5

3

5



2





x



x

 

yechish. 



,

140


5

5

3



5

2







x

x

 

.



3

;

5



5

;

140



25

28

5



;

140


25

3

1



5

3









 



x



x

x

x

Javob: x=3. 

III. Yangi noma`lum kiritish usuli bilan  yechiladigan tenglamalar. 

Misollar. 

1. 

.

0



5

7

6



49





x



x

  yechish. 

.

0

5



7

6

7



2





x



x

  Agar 


t

x

7



 

desak,  


0

5

6



2





t



t

  bo’ladi.  Bu  kvadrat  tenglamani  Yechsak, 

5

 

,



1

2

1





t



t

  bo’ladi.  Demak, 

1

7



x

,  bundan 

0



x



5

7





x

,  bundan 

.

5

log



7



x

 Javob: 

0



x

 va 


.

5

log



7



x

 

2. 


.

3

5



2

5

2



3

2







x

x

  yechish. 

.

0

3



5

5

2



5

5

2



3

2









x

x

 

t



x

5



 

desak, 


0

3

25



1

2

125



1

2







t



t

 yoki 


.

0

375



10

2





t

t

 Bu tenglamani 

yechsak, 

15

;



25

2

1





t

t

bo’ladi. Demak, 

25

5



x

 dan 


15

5

;



2





x

x

. Bu tenglama Yechimga ega emas. Demak, tenglamaning Yechimi x=2 

dan iborat. 


IV. 

 ko’rinishidagi tenglamalar. Bunda a>0, a

1, b>0, b



bo’lishi kerak. b



x

0 bo’lgani uchun 



1



x



x

b

a

 yoki 


.

0











b

a

b

a

x

 Demak, 


.

0



x

 Misol. 7

x

=5

x



. Javob: 

.

0





x

 

Misol. 



V. Guruhlash usuli bilan yechiladigan tenglamalar. 

Misol. 


.

0

35



7

35

5



7

5

2



2







x

x

x

x

 

yechish. 



)

35

1



(

7

)



35

1

(



5

2





x



x

  yoki   



x

x

7

5



2

  yoki 



x

x

7

25



Bundan x=0. Javob: x=0.  



 

 

 



 

 

VI. Grafik usulda yechiladigan tenglamalar. 



x

x

x

x



3



2

,

1



2

    ko’rinishdagi  tenglamalarni  grafik  usulda 

taqribiy    yechish  mumkin.  Buning  uchun 

x

y

2



  va 

1





x

y

 

funktsiyalarning  grafiklari  yasaladi.  Agar  grafiklar  kesishsa,  kesishish 



nuqtasining abstsissasi tenglamaning yechimi bo’ladi. Agar kesishmasa, 

yechimi yo’q. Agar urinib o’tsa, bitta yechimi bo’ladi (4-rasm). 



x

x

b

a



   

4-rasm. 


 

 


Test savollari. 

Variant № 1 

1. 


1

4

1





x

  tenglamani yeching. 

A) 1          B) 0      C) -1      D) 2 

2. 

81

9



3



x

 tenglamani yeching. 

A) 

2

3



       B) 3      C)  

2

3

     D) -3 



3. 

108


3

3

2



1

2





x



x

 tenglamani yeching. 

A) 0          B) 6      C)  -2     D) 2 

4. 


x

x

8

5



 tenglamani yeching. 

A) -1         B) 1      C)  0     D) Ø 

5. 


0

3

3



4

9





x

x

 tenglamani yeching. 

A) {0;-1}         B) {0;1}      C)  {1;2}     D) {-1;-2} 

 

Variant № 2 

1. 


1

)

3



,

0

(



2

3





x

 tenglamani yeching. 

A) 

3

2



       B) 0      C)  

3

2

     D) Ø 



2. 

64

4



2



x

 tenglamani yeching. 

A) 

2

5



       B) 

2

5



      C)  

5

2

     D) 



5

2



 

3. 


30

2

2



2

3

2



3





x



x

 tenglamani yeching. 

A) -1       B) 1       C)  15     D) -15 

4. 


x

x









3



1

2

1



 tenglamani yeching. 

A) 


2

1



       B) 

2

1



      C)  

3

1



     D) 0 

5. 

0

16



4

17

16







x

x

 tenglamani yeching. 

A) {0;-2}         B) {-2;2}      C)  {0;2}     D) {-1;-2} 

 

Variant № 3 

1. 


3

4

2



2

2



x

 tenglamani yeching. 

A) 

3

2



       B) 

2

1



      C)  

3

2



     D) 


3

 

2. 



1

3

3



2

2

1







x

x

 tenglamani yeching. 

A) 

3

4



       B) 

4

3

      C)  



3

4

     D) 



4

3



 

3. 


28

2

2



2

1

1







x



x

x

 tenglamani yeching. 

A) -2         B) 2      C)  3       D) -3 

4. 


x

x

2

5



3

 tenglamani yeching. 



A) 1        B) -1       C)  Ø     D) 0 

5. 


0

5

5



6

25





x

x

 tenglamani yeching. 

A) {-1;0}         B) {0;1}      C)  {-5;0}     D) {0;5} 


Mustaqil yechish uchun misollar. 

 

1. 



5

4

7



6

3

19



5

43

3



5









x

x

x

x

2. 



3

1

3



3

)

10



(

01

,



0

5

2



2

2







x



x

x

3. 



3

1 2


125

27

9



25

6

,



0

2













x



x

4. 



2

1

1



2

2

2



2

2

3



3

2







x



x

x

x

5. 



2

,

0



5

2

5



3

1

1



2







x

x

6. 



0

3

3



36

9

3



1

2

2







x

x

7. 



0

24

2



10

4

1







x



x

8. 



0

12

2



8

3

3



2





x



x

x

9. 



99

10

10



2

2

1



1





x



x

10. 



0

4

7



)

2

(



7

6

2



2









x

x

x



 



Download 0.59 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling