Kvadrat Tengsizliklar 1 Tengsizlilar

 Kvadrat Tengsizliklar

 

 1.1

Tengsizlilar

Asosiy tengsizliklar uchun asosiy qoidalar :



a b



 yoki 

va

a b

a b







 va

a b

b c

a c





     



a b

a c b c c

R



         



a b

a

b



              

Tengsizlikning ikkala tomoni manfiy songa bo

'lsak tensizlik belgisi o'zgaradi.



 va

a b

c d

a c b d

a d b c







  



  



a b

ma mb







  

0 da);   

(m

ma mb (m<0 da);







0

0 da);

0 da);

r

r

r

r

a b

a

b (r

a

b (r

 













1

2

0

a

a

a







    









 tenglik  

a=1 da;



1

2

0

a

a

a







      









 tenglik a=1 da; 

 1.2

Interval

 Haqiqiy sonlar to

'plamining qism to'plami interval deb nomlanadi.

 1.3

Yopiq interval

 a va b ( a < b da) sonlar orasi hamda a va b sonlarni o

'z ichiga olgan interval yopiq interval deyiladi.

 [a;b] ko

'rinishda yoziladi hamda:

 





:

a,b

x R  a

x b

 

 

 1.4

Ochiq  interval

 a va b ( a < b da) oralig

'idan iborat bo'lib,  a va b larni o'z ichiga olmaydi.

 (a;b) ko

'rinishida yoziladi hamda:

   



:

a ;b

x  a x b



 

.

 x haqiqiy sonlar uchun ushbu:

a x b

 

 Interval yarim ochiq va yarim yopiq interval hisoblanadi.

bu:  





a,b ..

 Xuddi shunday:



 



:

a,b

x a

x b



 

.

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

1-qism

1

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

TENGSIZLIKLAR

  

                                                               

                       1-qism

1-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2.1

Kirish

  x da ifodalangan ko

'phadlar:   ax

2

 + bx + c ; bunda a, b, c haqiqiy sonlar  va  a 

 0.

ax

2

 + bx + c bu kvadratik ko

'phadni x o'zgaruvchidagi ko'rinishi.   ax

2

 + bx + c bu x dagi funksiya 

bo

'lib turli x da turli qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.

Shunday ekan bu funksiyani ushbu  ko

'rinishda :   f (x) = ax

2

 + bx + c

yoki

y = ax

2

 + bx + c bo

'ladi.

2.2

Kvadrat funksiya grafigi

f (x) = ax

2

 + bx + c

(a 

 0)

 f (x) ni chizish uchun quyidagi qadamlarni amalga oshirtamiz:

1.

Bu y = f (x) funksiya ko

'rinishi 

parabolalik

.

2.

 a > 0 da parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo

'naladi.

 a < 0 da parabolaning tarmoqlari pastga yo

'naladi.

3.

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari :

(i)

 OX-o

'qi bilan kesishgan nuqta



 D > 0 da

Parabola  OX-o

'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Kesgan nuqtalar koordinatasi:   ,  = 

2

b

D

a

 

.

 Bu yerda b – a  ifoda (a, b) yoki [a, b] intervallarning uzunligi hisoblandi.

Ochiq intervalada (a, b) ning a va b sonlari kirmaydi.

 1.5

Cheksiz intervallar

Bu yerda ‘a’ sondan katta sonlar to

'plami cheksiz interval hisoblanadi. Bu ifoda quyidagicha yoziladi:





a,

.



 yoki



 



:

a,

x x a

 



, va 





{ :

]

a,

x x a

 



Xuddi shunday:



 



:

,a

x x a







 va 





{ :

]

,a

x x a







Chesiz intervallar uzunligi cheklangan qiymatga ega emas, shu bois u    Belgisi bilan ifodalandi. 

   va   chegarasi 

doimo ochiq

 holda tasvirlanadi, chunki hechqanday haqiqiy son 

 va

emas.



Kerakli :

Ixtiyoriy interval kichik sondan katta songa qarab yoziladi. Masalan biz 1 va 3 sonlar orasidagi 

haqiqiy sonlarni yozmoqchi bo

'lsak: (1, 3) deb yozamiz,   (3, 1) ko'rinishda yozish mumkin emas.

Kvadratik ko'phadlar

1-qism



 D = 0 da

Parabola  OX-

o'qiga urinadi.

Urinish nuqtasi koordinatasi: 

 = 

2

b

a



.

          D < 0 da

Parabola  OX-o

'qini kesib o'tmaydi.

(ii)

 OY-o'qi bilan kesishgan nuqtasi

 Y-o

'qini kesgan nuqta koordinatasi  (0, c)  {bunga x = 0 qiymat orqali ega bo'lamiz}

4.

f (x) ning maksimum va minimum qiymati:

V parabola uchining koordinatasi deb olamiz.

Bu koordinata:     V 

 

,

2

4

b

D

a

a

















Parabolaning uchidan o

'tuvchi va OY-o'qiga parallel bo'lgan

to

'g'ri chiziqni simmetriya chizig'i deb nomlaymiz.

Kvadrat ko

'phadning parabolali ko'rinishi simmetriya

o

'qiga nisbatan simmetrik joylashadi.



f (x) funksiya o

'zing minumum qiymatiga a > 0 da:

f

min

 = – 

4

D

a

 ga x = – 

2

b

a

 da ega bo

'ladi.



f (x) funksiya o

'zing maksimum qiymatiga a < 0 da:

f

max

 = – 

4

D

a

 ga x = – 

2

b

a

 da ega bo

'ladi.

Ko

'phadning grafigini chizishda  (1) dan (4) gacha bo'lgan qadamlardan foydalanamiz.

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

3

4.3

Kvadratik ko'phadning ishorasi

f (x) = ax

2

 + bx + c            a, b, c 

 R  va  a  0.

1.

a > 0, D < 0 :

Agar  a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar  D < 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini kesib o'tmaydi.

Bunda:  f (x) > 0    x 

 R da. 

 f (x) funksiyaning qiymati x ning barcha qiymatida musbat.

2.

a < 0, D < 0 :

Agar a < 0 bo

''lsa parabola tarmoqlari pastga yo'naladi.

Agar D < 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini kesib o'tmaydi.

Bunda: f (x) < 0     x 

 R.

 f (x) funksiyaning qiymati x ning barcha qiymatida manfiy.

3.

a > 0, D > 0 :

Agar a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar D > 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini ikki nuqta :  ,

 ( < ) da kesib o'tadi.

      f (x) 



 0 bunda x 

 (– , ]  [, ) va f (x) < 0

bunda x 

 (, ).

 f (x) funksiyaning qiymati x ning bazi qiymatida musbat va bazi qiymatida manfiy bo

'ladi.

4.

a < 0, D > 0 :

Agar a < 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari pastga yo'naladi.

Agar D > 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini ikki nuqta:  ,

 ( < ) da kesib o'tadi.

      f (x) 



 0 bunda x 

 (– , ]  [, ) va f (x) > 0

bunda x 

 (, ).

f (x) funksiyaning qiymati x ning bazi qiymatida musbat va bazi qiymatida manfiy bo

'ladi.

5.

a > 0, D = 0 :

Agar  a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar D = 0 bo

'lsa parabola OX-o'qiga urinadi.

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

4

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

5

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

      f (x) 



 0 bo

'ladi x   R da

 f (x) funksiya  x ning uchiga ega bo

'lgan qiymatidan boshqa qiymatlarida musbat.

Parabola uchida: f (x) = 0.

6.

a < 0, D = 0 :

 a < 0 da parabola tarmoqlari pastga qaragan.

 D = 0 da parabola OX-o'qiga urinadi.

     f (x) 



 0 bo

'ladi x  R.

f (x) funksiya x ning uchiga ega bo'lgan qiymatidan boshqa qiymatarida manfiy.

Parabola uchida: f (x) = 0.

2.4

Kvadrat tengsizliklar:

     f (x) = ax

2

 + bx + c  bunda a, b, c   R  va a 

 0. Quyidagi tengsizliklarni yechamiz :

{ f (x) 



 0 ;    f (x) < 0 ;   f (x) 



 0  ;        f (x) > 0}, Bularni quyidagi tartibda yechamiz.

(a) D > 0



 x   ni koeffisentini musbat qilib olamiz;

2



Kvadrat ko'phadni ko

'paytuvchilarga uning ildizlari bo'yicha ajratib olamiz: 

(x – 

) (x 



 

).



Agar (x – ) (x – ) > 0 bo

'lsa bunda x soni    va  sonlari va ular orasida ham emas.



x 

 (– , )  (, )



Agar (x – ) (x – ) 



 0 bo

'lsa bunda x soni   va   orasida joylashmaydi.



x 

 (– , ]  [, )



Agar (x – 

) (x – ) < 0 bo'lsa bunda x soni:  



x 

 (, )



Agar  (x –  ) (x – ) 

≤

 0 bo

'lsa bunda x soni:   



x 

 [, ]

(b)

D < 0 va a > 0 : f (x) > 0   bunda  x 

 R.

(c)

D < 0 va a < 0 : f (x) < 0   bunda  x 

 R.

(d)

D = 0 va a > 0 :   f (x)



 0 bunda  x 

 R.

(e)

D = 0 va  a < 0 :  f (x) 



 0 bunda  x 

 R.

(f)

D 



 0 , a > 0 : f (x) 



 0 bunda  x 

 R.

(g)

D 



 0, a < 0 : f (x) 



 0 bunda  x 

 R

1-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

6

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

 Mashiqlarda tushinish:

(a)

   f (x) = x

2

 + 2x + 2 funksiya berilgan bo

'lsa quyidagi tengsizliklarni yeching:

(i)

f (x)   0

(ii)

f (x)  0

(iii)

f (x) > 0

(iv)

f (x) < 0

f (x) = x

2

 + 2x + 2

Dastlab  D ni hisoblaymiz:



D = b

2

 – 4ac = (2)

2

 – 4 (1) (2) = -4 < 0

 D < 0



Demak tenglamaning ildizi ( f (x) = 0) haqiqiy emas.

f (x) bu funksiya chiziqli ko

'paytuvchiga ajralmaydi.

Undan tashqari, bosh koeffisent,  a= 1 > 0

 a > 0 va  D < 0, bundan:   f  (x) > 0    x  R                    

 [ 1.5 (b) dan]

(i)

f (x) 



 0 o

'rinli   x  R

(ii)

f (x) 



 0       o

'rinli emas demak ,      x   { Ø }.

(iii) f (x) > 0 o

'rinli    x  R.

(iv)

f (x) < 0       o

'rinli emas demak ,      x   { Ø }.

[1.5 (b) va (c)  dan ]

(b)

   f (x) = x

2

 + 4x + 4, funksiya berilgan bo

'lsa quyidagi tengsizliklarni yeching:

(i)

f (x)   0

(ii)

f (x)   0

(iii)

f (x) > 0

(iv)

f (x) < 0

f (x) = x

2

 + 4x + 4 = (x + 2)

2

 D ni hisoblab olamiz:

   D = b

2

 – 4ac = (4)

2

 – 4 (1) (4) = 0

 D = 0

 Demak tenglamaning ildizlari ( f (x) = 0) haqiqiy va teng.

     Undan tashqari, bosh koeffisent, a= 1 > 0

D = 0 va  a > 0, bundan:



f (x)   0    x  R

[ 1.5 (d) dan ]

(i)

f (x)   0 o'rinli   x  R.

(ii)

f (x)    0 o'rinli   x  {– 2}

(iii) f (x) > 0 o

'rinli    x  R – {– 2}

(iv)

f (x) < 0      o

'rinli emas demak ,     x   { 

Ø }.

[1.5 dan ]

   Tengsilik uchun to

'g'ri javobni toping : x

2

 – 2x – 3 < 0.

(A)





1 3

x

,

 

(B)





1 3

x

,

 

(C)

 

3 4

x

,



(D)



 



1

3

,

,

  



Yechim :  (B)

x

2

 – 2x – 3 < 0

D   

   D = b

2

 – 4ac = (– 2)

2

 – 4 (1) (–3) = 16 > 0 

 D > 0

Bu kvadrat ko

'phadni ko'paytuvchiga ajratib olamiz,

x

2

 – 3x + x – 3 < 0



(x – 3) (x + 1) < 0



x 

 (–1, 3)                             

[1.5 (a) dan]

                               Tengsizlikni yeching : x

2

 + x – 1 



 0

(A)

x R



(B)

1

5

5 1

2

2

x

,





  



 







(C)

1

5

5 1

2

2

x

,

,



 







 





 



 



  



 





(D)

x





Yechim :  (C)

x

2

 + x – 1 



 0  

. . . . . . (i)

Dastlab  D ni topib olamiz.



D = b

2

 – 4ac = 1

2

 – 4 (1) (–1) = 5 > 0 

 D  > 0.

Bu kvadrat ko

'phadni ratsional ko'paytuvchiga ajratib bo'lmaydi. Shu bois uning ildizlari  bo'yicha

  Ildizlardan  ( 

  va  ) yozib olamiz: ax

2

 + bx + c =a(x–  

)(x  – ).                                  

. . . . . . (ii)

 

Hisoblaymiz:  x

2

 + x – 1 = 0

        x =

2

b

D

a

 

 formuladan, bizda ildizlar : x =

1

5

2

  

(ii) dan biz ega bo

'lamiz :

        x

2

 + x – 1 =

1

5

1

5

2

2

x

x



 











  

  







 





















 













 



. . . . . . (iii)

 (i) va (iii) lardan foylanib biz :     x

2

 + x 

 1 = 

1

5

1

5

2

2

x

x



 











  

  







 





















 













 



 



 0  ega bo

'lamiz.

x 

 

1

5

5 1

,

,

2

2









 





























[1.5 (a) dan ]

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

7

   Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

 - 7

1-TEST

2-TEST

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

8

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2.5

Maksimum va Minimum 

      f (x) = ax

2

 + bx + c, a 

 0.

Holat : I (a > 0)

   

 a > 0 da parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo

'naladi.

Chizmadan, parabolaning uchi (V) funksiyaning eng quyi nuqtasi ekanligini ko

'rish mumkin.

    y = f (x) funksiya minimumiga,    x = 

2

b

a



da erishadi.

 y

min

  =  f (x)

min

 = 

4

D

a



;    x = 

2

b

a



          da erishadi.

 f (x) funkisiyaning maksimum qiymati cheksiz katta son.

yani:

y

max

 = f (x)

max

 = 

 (aniqlab bo'lmaydi).

Holat : II (a < 0)

 a < 0 da parabola tarmoqlari pastga yo

'nalgan bo'ladi.

Chizmadan , parabolaning uchi (V) eng yuqori nuqtasi ekanligini ko

'rish mumkin.

y = f (x) funksiya maksimumiga:     x =         da

2

b

a



 y

max

 = f (x)

max

 = 

4

D

a



;   x =          da erishadi.

2

b

a



f (x) funksiyaning minimum qiymati cheksiz kichik son.

yani:

y

min

 = f (x)

min

 = – 

 (aniqlanmagan).

Mashiqlarda tushinish:

 f (max) yoki f (min) ni quyidagi ko

'phadlar uchun toping?

(x   R)



(i)

f (x) = 4x

2

 – 12x + 15

(ii)

f (x) = –3x

2

 + 5x – 4

(i)

f (x) = 4x

2

 – 12x + 15

(ii)

f (x) = –3x

2

 + 5x – 4

a = 4 > 0

3 0

a

  

f (x) minimum qiymatga uchida erishadi.

f (x) maksimum qiymatiga uchida erishadi.

D = (12)

2

 – 4 × 4 × 15 = 144 – 240 = – 96

2

D = (5)

4( 3) ( 4) = 25 48 = 23

 







f

min

  = 

4

D

a



                    da;

x = 

2

b

a



                    da;

max

4

2

D

b

f

x

a

a





 



f

min

  = 

( 96)

4 4

 



 = 

96

16

 = 6 at x = – 

12

2 4



  = 

3

2

( 23)

23

(5)

5

at

max

4( 3)

12

2( 3) 6

f

x





 

 











f

min

  = 6                   da;

x = 

3

2

        

23

5

                da;

max

12

6

f

x







f

max

 = 



min

f

 

    2.6 Logarifm funksiyaga kirish:

y

x a



0,

0  va

1,

x

a

a







Bunda:  log

.

x y

a 

Logarifm funksiyaning grafigi

log

,

1 va 

;

1

y

y

x  a

x a

a

a









(i)

 0 < x < 1 da

y

x a



 y uchun qiymatlarni topib olamiz:  0

1

y

a





                             dan  





1

0

0

a

, y

y

, .







 

(ii)

 x = 1 da

y

x a



 y ning qiymatini hisoblab olsak:

x=1

0

y

.





Agar 

(iii)

 x > 1 bo

'lsa,

y

x a



 y ning qiymatini topib olamiz, x > 1 da:

          a >1, 0 < y <

.



0

1 va

0

1

y

y log x,

a

x a ,

a

a



 



 

(iv)

 0 < x < 1 da 

     y  ning qiymatlar sohasini topib olamiz: 0

1

y

a





Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

 9

     Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

10

Chuyanov Hamroz darslari

                           Kvadrat tengsizliklar

 

0

1

0

a

, y

.

 



(v)

 x = 1 da

y

x a



y ning 0 qiymatiga x ning 1 qiymatida erishadi.

0

y





(vi)

 x > 1 da

 y ning manfiy qiymatlarida ega bo

'lamiz,  

1

y

a

.



Bu esa 

1

0

a

, y





2.7

Logorifm funksiyaning asosiy xossalari:

(i)

 

log

xy

log x log y.

a

a

a





(ii)

x

log

log x log y.

a

a

a

y

 





 

 

(iii)

y

log x

y log x

a

a



(iv)

1

1

 va

2

2

log

x

log x

log

x

log

x

n

a

n

a

a

a

n

n





(v)

1 0

loga 

(vi)

1

log a

a 

(vii)

1

0

1

1

log x

, bunda  x, y

, x

, y

y

log y

x









(viii)

0;

1

1

log x

z

log x

, bunda x, y, z

x

, y

y

log y

z









(ix)

log x

a

a

x



(x)

log y

log x

a

a

x

y



(xi)

If 

1  va

a

,

m n

log m log n

a

a



 



(xii)

If 0

1  va

a

,

m n

log m log n

a

a

 

 



.

Kerakli:

Agar logarifmning asosi berilmagan bo

'lsa bu 10 asosli logarifm hisoblanadi. Logarifm e asosli x

ni ln x ko

'rinishida yozamiz.

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

11

 Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

(b) Darajali funksiya:

x

y a

    bu 

1  yoki 0<a<1

a



   da darajali funksiya.

Boshqacha aytganda logarifm funksiyaning teskari funksiyasi.

Bu funksiyaga  x va y ni o

'rnini almashtirib

ga kelamiz.

y log x.

a



                                      Agar 

1

a 

 bo

'lsa x o'sganda  y o'sadi.

Agar  

0

1

a

 

 da esa,  x ning o

'sishi y ni kamayishiga olib keladi. 

Uzliksizlik  :

 

x

f x

a

  doimo uzliksiz (chizmada uzilish yo'q)

Aniqlanish va qiymatlar sohasi:

              Qiymatlar sohasi   

 

f x

ni  x

R 

da y >0

Mashiqlarda tushunish :

Isbotlang  :  

 

5

1

1

3

15

5

3

9

25

log



Chap qism

 

5

1

2

5

3

5

3

3

9

3 15

log

log













 

1

2

1

5

3

5

1 3

15

5

3

5

1 3

2

5

3

9

3

3

log

log

/

log

/































 

1

2

1

1

5

3

2 3

2

5

15

15

15

3

5

5

25

 o

'ng qism.

log

/  























   a > 0, a 

 1,      bunda ushbu    2log

x

 a + log

ax

 a + 3 

2

a x

log

a  = 0 tenglama...

(A)

Faqat bitta haqiqiy ildizga ega

(B)

Ikkita haqiqiy ildizga ega

(C)

Haqiqiy ildizga ega emas

(D)

Cheksiz ko

'p ildizga ega

Yechim : (B)

Tenglamani quyidagi tarzda yozib olamiz:

2 log

log

3 log

2

log

log ( )

log (

)

a

a

a

x

ax

a x





 = 0

. . . . . . .(i)

bunda

logb

log b=

a

loga













    a > 0 va   a 

 1, log a  0, (i) ni quyidagicha yozib olamiz:

2

1

3

2

y

b

y

b

y







  =  0

                             (bunda  b = log a va y = log x)



2 (b + y) (2b + y) + y (2b + y) + 3y (b + y) = 0

   

4b

2

 + 11by + 6y

2

 = 0

Tenglamani y ga nisbatan yechib quyidagi yechimga kelamiz:



y = 

2

2

11

121

96

12

b

b

b







 = – 

4

,

3

2

b

b



y = log x va b = log a



log x = – 

4

3

 log a yoki – 

1

2

 log a

 x = a

–4/3

, a

–1/2                     

             [log

a 

b = c 



 b = a

c

]



Ikkita haqiqiy ildizga ega.

      Ushbu funksiya grafigi       y = x

2

 + kx – x + 9      OX-o

'qidan yuqorida joylashadi. 

k ni toping?

(A)

k R



(B)





5 7

k

,

 

(C)

k





(D)

 

7 9

k

,



Yechim  :  (B)

y = ax

2

 + bx + c funksiya grafigi ox-o

'qidan 

yuqorida quyidagi holda bo

'ladi:

D = (k – 1)

2

 – 36 < 0

0  va

0

a

D





(k – 7) (k + 5) < 0

y = x

2

 + (k – 1) x + 9



– 5 < k < 7

                      x

2 

 ning koeffisenti  a =1

3-TEST

4-TEST

2-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

12

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

    log

2

 (ax

2

 + x + a)    1 



 x 

 R, o'rinli bo'lsa ‘a’ ni toping :

(A)

5

0, 1

2















(B)

5

5

1

, 1

2

2

















(C)

5

0, 1

2















(D)

5

1

,

2







 









Yechish  : (D)

log

2

 (ax

2

 + x + a)   1   x  R

2

0 va   4

8

1 0

a

a

a







  



ax

2

 + x + a   2    x  R

5

5

0 va

,1

1

,

2

2

a

a



 







  

 







 



 





ax

2

 + x + (a – 2)    0    x  R



a koeffisent   x

2

  > 0  va  D   0

5

1

,

.

2

a







 

 









a

      va

1-4a(a-2)  0

Eng kichik butun qiymat k uchun ushbu (k – 2) x

2

 + 8x + k + 4 > 0 ifoda x   R da o

'rinli. 



(A)

5

(B)

2

(C)

3

(D)

t.j.y

Yechim  : (A)

f (x) = (k – 2) x

2

 + 8x + k + 4

f (x) > 0

      a > 0  va

D < 0                                

[1.5 (b) dan]

k – 2 > 0  va

64 – 4 (k – 2) (k + 4) < 0

k > 2

 va

16 – (k

2

 + 2k – 8) < 0

k > 2

 va

k

2

 + 2k – 24 > 0

k > 2

 va

(k < –6 ; k > 4)

Bu holatdan k soni 4 dan katta qiymatga ega bo

'ladi.



k > 4.



Eng kichik butun qiymat: k = 5.

  

   a < b,  da  tengsizlik    x

2

 + (a + b) x + ab < 0 yechimni toping?

(A)

x < b , x < a

(B)

a < x < b

(C)

x < a ,  x > b

(D)

–b < x < – a

Yechim  : (D)

x

2

 + (a + b) x + ab < 0



(x + a) (x + b) < 0

    

 –b < x < – a

    Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar 

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

13

6-TEST

7-TEST

Illustration - 14

5-TEST

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

14

    

   a,b,c 



 R va (a + b + c) c < 0, berilgan, bunda kop

'had     p (x) = ax

2

 + bx + c = 0 ...

(A)

Manfiy ildizga ega

(B)

Ikkita ildizga ega

(C)

Ildizi yo

'q

(D)

t.j.y

Yechim  : (B)

p (x) = ax

2

 + bx + c = 0

Endi  ,   a + b + c 

 p (1)  va  c  p (0)

Berilgan shartdan: 

(a + b + c) c < 0



p (1) p (0) < 0



p (x) = 0  (0, 1) oraliqda ikkita ildizga ega.

 

 

Quyidagi uchta tenglama ham a, b, c uchta turli haqiqiy sonlar uchun  ax

2

 + bx + c, bx

2

+ cx + a  va   cx

2

 + ax + b musbat bo

'lsa,   

  U holda



 = 

2

2

2

bc ca ab

a

b

c









 ning qiymati uchun:

(A)



 < 4

(B)



 < 1

(C)



 >  1/4

(D)



 > 1

Yechish  : (B) & (C)

Berilgan shartlardan topib olamiz: a > 0, b

2

 < 4ac  ;  b > 0,  c

2

 < 4ab  ;   c > 0,  a

2

 < 4bc



a

2

 + b

2

 + c

2

 < 4 (bc + ca + ab)

. . . . . . (i)



2

2

2

1

4

bc ca ab

a

b

c













1

4

 < 

.

Hamda: 

a

2

 + b

2

 + c

2

 – (bc + ca + ab)

 = 

1

2

 [(b – c)

2

 + (c – a)

2

 + (a – b)

2

] > 0     

. . . . . . (ii)



 

 



1

2

2

2

0

2

b c

c a

a b







 















  





2

2

2

0

a

b

c

bc ca ab















[(ii) dan]

1

1

2

2

2

bc ca ab

.

a

b

c



















a, b, c 

 R, a  0 da kvadrat tenglama         ax

2

 + bx + c = 0 haqiqiy ildizga ega emas,...

(A)

a + b + c > 0

(B)

a (a + b + c) > 0

(C)

b (a + b + c) > 0

(D)

c (a  + b + c) > 0

Yechim : (B) & (D)

     f (x) = a x

2

 + bx + c. bunda f (x) = 0 haqiqy ildizga ega bo

'lmasa f (x) > 0 yoki f (x)< 0 x  R da

9-TEST

8-TEST

10-TEST

                Yoki x 

 R  da f (x) ning qiymati x da bir-xil ishoraga ega bo'lishi kerak.



f (0) f (1) > 0



 c (a + b + c) > 0.

       yoki   a f  (1) > 0



 a (a + b + c) > 0.

       f (x) =  x

2

 + 4x + 1, uchun to

'g'ri javobni toping?

(A)

f (x) > 0  ixtiyoriy x da

(B)

f (x)   1   agar x  0 da

(C)

f (x)    1 agar   x   – 4 da

(D)

f (x) = f (–x)  ixtyoriy x da

Yechish  : (B) & (C)

  f (x) kvadrat funksiya ikkita ildizga ega bo

'lsa, uning ishorasi manfiy ham musbat ham bo'ladi.

          f (x) 1

 x

2

 + 4x + 1    1

 x

2

 + 4x   0



x   – 4 yoki x   0

    (B) va (C) lar to'g'ri.

f (–x) = x

2

 – 4x + 1

   f (–x)   f (x)

    (D) esa xato.

Quyidagi grafikdan foydalanib funksiya y = ax

2

 + bx + c da ...

(A)

a < 0

(B)

b

2

 < 4 ac

(C)

c > 0

(D)

a va b turli ishorali.

Yechim  : (A) & (D)

 Chizmadan malumki funksiya tarmoqlari pastga qaragan, demak: a < 0.



 (A) to

'g'ri shart.



bu y = ax

2

 + bx + c ikkita yechimga ega.

   Agar  ax

2

 + bx + c = 0 

   Bu ikki ildizlar x

1

 va  x

2 

Chizmadan malumli  sonlar musbat:   x

1

 + x

2

 > 0.

 

va

turli ishorali sonlar.

to

'g'ri javob.

b

b

>0

>0

a

b

D

a

a











 

 

0  va

0

0

D

f

c

,



 

 (B) va (C) lar xato.

Quyidagi chizmadan funksiya    y = ax

2

 + bx + c. da ...

(A)

a > 0

(B)

b < 0

(C)

c > 0

(D)

b

2

 – 4 ac = 0

Yechim : (B) & (C)

Parabolaning tarmoqlari pastga yo“nalgan, demak:

 a < 0.



     y = ax

2

 + bx + c

Ikkita yechimga ega.

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism 

15

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar 

13-TEST

11-TEST

12-TEST

3-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

16

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

           ax

2

 + bx + c = 0

   ikkita ildizi    x

1

 va  x

2

  lar turli tomonlarda hamda           | x

1

| > | x

2

|

Sonlar yigindisi manfiy yani:             x

1

 + x

2

 < 0.

.

0

0

0

b

b

b

B

a

a





 



   

 

y

f x

    Funkisiya OY-o'qini  (0,c) da kesadi c > 0    

C

           

 to

'g'ri.

3.1

Ratsional funksiyaga kirish

Ratsional funksiya x da aniqlangan ikkita  P (x) va Q (x) ko

'phadlar  nisbati bo'lib,    Q (x)   0.

    f  (x) = 

( )

( )

P x

Q x ; Q (x)  0,

bu f (x),  x da aniqlangan ratsional funksiya.

 Quyidagilar x da aniqlangan funkiyalarga misollar:

f (x) = 

2

1

1

x

x

x



   ;  f (x) = 

2

2

2

5

6

x

x

x

x

 





 ;  x 

 2, x  3  ;  f (x) = 

4

3

2

1

(

1)

x

x

x

x



 



 ;  x 

 1

5.2

Ratsional funksiyaning minimum va maksimum qiymatlari:

Masalan :

 f (x) = y = 

2

2

ax

bx c

px

qx r









 bunda





x R

,

,

 

 

Bu yerda 

, 

    ildizlari 

2

0 tengalaning.

px

qx r



 

. . . . .(i)

 f (x) ning maksimum va minimumlarni maxrajni y ga ko

'paytirib quyidagi tarzdagi tenglamaga.

keltirib haqiqiy yechimi mavjud deb y uchun kerakli sohani topib olamiz  :

y (px

2

 + qx + r) =

ax

2

 + bx + c



(a – py) x

2

 + (b – qy) x +  (c – ry) = 0

yechim bor, D 



 0



(b – qy)

2

 – 4 (a – py) (c – ry) 



 0

Ratsional funksiya & Ratsional tengsizlik        

         

                           3-qism

y ga nisbatan tengsizlikni quyidagi 3 holdagi yechimlar orqali y ning qiymatlar sohasini topamiz.

I-holda :

 y 



 [A, B]

Agar y ning qiymati  A va B orasida bo

'lsa: 

Maksimum qiymat:  y = y

max

 = B, Minimum esa:   y = y

min

 = A.

II-holda :

y 



 (–



, A] 



 [B, 



)

Agar y ning qiymati  A va B oraliqdan tashqarida bo

'lsa,

Maksimum qiymat: y = y

max

 = 

     yani aniqlanmagan;

Minimum qiymat: y = y

min

 = – 

. yani aniqlanmagan;

III-holda :

y 



 (–



, 



). yani y    R da 



Agar y ixtiyoriy songa teng bo

'lsa, 

Maksimum qiymat: y = y

max

 = 

          yani aniqlanmagan;

Minimum qiymat: y = y

min

 = – 

      yani aniqlanmagan;

    f (x) = 

2 34 71

2 2 7

x

x

x

x









. x 

 R, da f (x) ning qiymatlar sohasi :

(A)

 

5 9

,

(B)



 



5

9

,

,

 



(C)

 

5 9

,

(D)

t.j.y

Yechim :  (B)

2 34 71

2 2 7

x

x

x

x









 = k  deb olamiz:



(17 – k)

2

 – (1 – k) (7k – 71) 



 0

Maxrajni k ga ko

'paytirib quyidagi 



8 k

2

 – 112 k + 360 



 0

 x ga nisbatan tenglamani tuzib olamiz :



k

2

 – 14k + 45 



 0



x

2

 (1 – k) + (34 – 2k) x + 7k – 71 = 0



(k – 5) (k – 9) 



 0

      x 

 R dan diskerminant D   0                





k

(–, 5]  [9, ) 

 



(34 – 2k)

2

 – 4 (1 – k) (7k – 71) 



 0

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

3-qism

17

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

14-TEST

3-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

18

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

 

  m  ning qanday qiymatida ifodaning qiymati : 

2

2

5

3

4

x

x

x m







  barcha haqiqiy son.

xR.

4

m

 

  

 

(A)

 

4 6

m

,



(B)

 

6 8

m

,



(C)





6 4

m

,

  

(D)





4 2

m

,

  

Yechim :  (A)

2

2

5

3

4

x

x

x m







 = k      

 2x

2

 – (4k + 5) x + 3 + mk = 0



      x 

 R da: D    0





(4k + 5)

2

 – 8 (3 + mk) 



 0



16k

2

 + (40 – 8 m) k + 1 



 0

 k ning istalgan qiymatida o

'rinli bo'lishi uchun   koeffisent  

2

k musbat va  diskerminant    0 : 





(40 – 8 m)

2

 – 4 (16) (1) 



 0

 (5 – m)

2

 – 1 



 0



(m – 5 – 1) (m – 5 + 1) 



 0

 (m – 6) (m – 4) 



 0



m 

 [4, 6]

 

 m ning qanday qiymatida tengsizlik : 

2

1

2

1

x

mx

x

x





 

 < 3 o

'rinli bo'ladi x 



 R da.

(A)





1 8

m

,

 

(B)



 



1

5

m

,

,

  





(C)





1 5

m

,

 

(D)

t.j.y

Yechish :  (C)

Bizga malumki | a | < b

 –b < a < b

Bundan  

2

1

2

1

x

mx

x

x





 

 < 3.

    

2

1

3

3

2

1

x

mx

x

x





  



 

I-holda :

2

1

2

1

x

mx

x

x





 

 < 3



2

2

1) 3 (

1)

2

1

x

mx

x

x

x

x





 

 

 

 < 0



2

2

(

3)

2

0

2

3

1

4

2

x

m

x

x













 











16-TEST

15-TEST

Ikkla tomonni maxrajga ko“paytirib quyidagi ifodaga kelamiz:



–2x

2

 + (m – 3) x – 2 < 0

(chunki maxraj doimo musbat)



2x

2

 – (m – 3) x + 2 > 0

          Tengasilik ixtiyoriy x da istalgan qiymatida o

'rinli 2x

2

 > 0 va  D < 0 da.



(m – 3)

2

 – 4 (2) (2) < 0



m

2

 – 6 m – 7 < 0



(m – 7) (m + 1) < 0



m 

 (–1, 7)

. . . . . .(i)

2-holda :  

–3 < 

2

2

1

1

x

mx

x

x





 



 0 <  

2

2

1) 3 (

1)

2

1

x

mx

x

x

x

x





 

 

 

 4x

2

 + (m + 3) x + 4 > 0

Tengsizlik doimo o

'rinli x  R da D < 0 bo'lsa,



(m + 3)

2

 – 4 (4) (4) < 0



(m + 3 

 8) ( m + 3 + 8) < 0

         [  a

2

 



 b

2

 = (a + b) (a 



 b) dan ]



(m – 5) (m + 11) < 0



m 

 (–11, 5)

. . . . . . .(ii)

 

(i) va

 

(ii)

 

 javoblarni birlashtirib quyidagi

          

         Umumiy javob:





1 5

m

,

.

 

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

3-qism

19

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

                                                                                                                             

Davomi bor...

---

Document Outline

• Страница 1
• Страница 2
• Страница 3
• Страница 4
• Страница 5
• Страница 6
• Страница 7
• Страница 8
• Страница 9
• Страница 10
• Страница 11
• Страница 12
• Страница 13
• Страница 14
• Страница 15
• Страница 16
• Страница 17
• Страница 18
• Страница 19