Kvadrat Tengsizliklar 1 Tengsizlilar


Download 405.53 Kb.
Pdf ko'rish
Sana24.09.2020
Hajmi405.53 Kb.

 Kvadrat Tengsizliklar

 

 1.1



Tengsizlilar

Asosiy tengsizliklar uchun asosiy qoidalar :



a b

 yoki 



va

a b

a b



 va


a b

b c

a c



     



a b



a c b c c

R

         





a b

a

b

              



Tengsizlikning ikkala tomoni manfiy songa bo

'lsak tensizlik belgisi o'zgaradi.

 va



a b

c d

a c b d

a d b c



  


  




a b

ma mb



  

0 da);   



(m

ma mb (m<0 da);



0

0 da);



0 da);

r

r

r

r

a b

a

(r

a

(r

 






1

2

0



a

a

a



    




 tenglik  



a=1 da;

1



2

0

a



a

a



      





 tenglik a=1 da; 



 1.2

Interval

 Haqiqiy sonlar to

'plamining qism to'plami interval deb nomlanadi.

 1.3

Yopiq interval

 a va a < b da) sonlar orasi hamda a va b sonlarni o

'z ichiga olgan interval yopiq interval deyiladi.

 [a;b] ko

'rinishda yoziladi hamda:

 


:



a,b

x R  a

x b

 


 

 1.4

Ochiq  interval

 a va b ( a < b da) oralig

'idan iborat bo'lib,  a va b larni o'z ichiga olmaydi.

 (a;b) ko

'rinishida yoziladi hamda:

   


:

;b



x  a x b

 



.

 haqiqiy sonlar uchun ushbu:



a x b

 


 Interval yarim ochiq va yarim yopiq interval hisoblanadi.

bu:  




a,b ..

 Xuddi shunday:

 



:

a,b



x a

x b

 



.

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

1-qism

1

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

TENGSIZLIKLAR

  

                                                               

                       1-qism

1-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2.1

Kirish

  x da ifodalangan ko

'phadlar:   ax

2

 + bx + ; bunda abc haqiqiy sonlar  va  a 



 0.

ax

2

 + bx + c bu kvadratik ko



'phadni o'zgaruvchidagi ko'rinishi.   ax

2

 + bx + c bu dagi funksiya 



bo

'lib turli da turli qiymatlarga ega bo'lishi mumkin.

Shunday ekan bu funksiyani ushbu  ko

'rinishda :   f (x) = ax

2

 + bx + c



yoki

y = ax

2

 + bx + bo



'ladi.

2.2

Kvadrat funksiya grafigi

f (x) = ax

2

 + bx + c



(a 

 0)


 f (x) ni chizish uchun quyidagi qadamlarni amalga oshirtamiz:

1.

Bu y = f (x) funksiya ko

'rinishi 

parabolalik

.

2.

 a > 0 da parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo

'naladi.


 a < 0 da parabolaning tarmoqlari pastga yo

'naladi.


3.

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalari :

(i)

 OX-o

'qi bilan kesishgan nuqta



 D > 0 da

Parabola  OX-o

'qini ikki nuqtada kesib o'tadi.

Kesgan nuqtalar koordinatasi:   ,  = 

2

b



D

a

 


.

 Bu yerda b – a  ifoda (ab) yoki [ab] intervallarning uzunligi hisoblandi.

Ochiq intervalada (ab) ning va sonlari kirmaydi.

 1.5

Cheksiz intervallar

Bu yerda ‘a’ sondan katta sonlar to

'plami cheksiz interval hisoblanadi. Bu ifoda quyidagicha yoziladi:



a,

.

 yoki



 


:

a,



x x a

 


, va 


{ :



]

a,

x x a

 


Xuddi shunday:

 


:

,a



x x a





 va 


{ :



]

,a

x x a





Chesiz intervallar uzunligi cheklangan qiymatga ega emas, shu bois u    Belgisi bilan ifodalandi. 

   va   chegarasi 

doimo ochiq

 holda tasvirlanadi, chunki hechqanday haqiqiy son 

 va


emas.



Kerakli :

Ixtiyoriy interval kichik sondan katta songa qarab yoziladi. Masalan biz 1 va 3 sonlar orasidagi 

haqiqiy sonlarni yozmoqchi bo

'lsak: (1, 3) deb yozamiz,   (3, 1) ko'rinishda yozish mumkin emas.

Kvadratik ko'phadlar

1-qism




 D = 0 da

Parabola  OX-

o'qiga urinadi.

Urinish nuqtasi koordinatasi: 

 = 

2

b



a

.



          D < 0 da

Parabola  OX-o

'qini kesib o'tmaydi.

(ii)

 OY-o'qi bilan kesishgan nuqtasi

 Y-o


'qini kesgan nuqta koordinatasi  (0, c)  {bunga x = 0 qiymat orqali ega bo'lamiz}

4.

f (x) ning maksimum va minimum qiymati:

V parabola uchining koordinatasi deb olamiz.

Bu koordinata:     V 

 

,

2



4

b

D

a

a







Parabolaning uchidan o

'tuvchi va OY-o'qiga parallel bo'lgan

to

'g'ri chiziqni simmetriya chizig'i deb nomlaymiz.



Kvadrat ko

'phadning parabolali ko'rinishi simmetriya

o

'qiga nisbatan simmetrik joylashadi.





f (x) funksiya o

'zing minumum qiymatiga a > 0 da:



f

min


 = – 

4

D



a

 ga x = – 

2

b

a

 da ega bo

'ladi.



f (x) funksiya o



'zing maksimum qiymatiga a < 0 da:

f

max


 = – 

4

D



a

 ga x = – 

2

b

a

 da ega bo

'ladi.

Ko

'phadning grafigini chizishda  (1) dan (4) gacha bo'lgan qadamlardan foydalanamiz.

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

3


4.3

Kvadratik ko'phadning ishorasi

f (x) = ax

2

 + bx + c            abc 



 R  va  a  0.

1.

a > 0, D < 0 :

Agar  a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar  D < 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini kesib o'tmaydi.

Bunda:  f (x) > 0    x 

 da. 

 f (x) funksiyaning qiymati ning barcha qiymatida musbat.



2.

a < 0, D < 0 :

Agar a < 0 bo

''lsa parabola tarmoqlari pastga yo'naladi.

Agar D < 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini kesib o'tmaydi.

Bunda: f (x) < 0     x 

 R.

 f (x) funksiyaning qiymati ning barcha qiymatida manfiy.



3.

a > 0, D > 0 :

Agar a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar D > 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini ikki nuqta :  ,

 ( < ) da kesib o'tadi.

      f (x

 0 bunda x 



 (– , ]  [, ) va f (x) < 0

bunda x 

 (, ).

 f (x) funksiyaning qiymati x ning bazi qiymatida musbat va bazi qiymatida manfiy bo

'ladi.

4.

a < 0, D > 0 :

Agar a < 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari pastga yo'naladi.

Agar D > 0 bo

'lsa parabola OX-o'qini ikki nuqta:  ,

 ( < ) da kesib o'tadi.

      f (x

 0 bunda x 



 (– , ]  [, ) va f (x) > 0

bunda x 

 (, ).

f (x) funksiyaning qiymati x ning bazi qiymatida musbat va bazi qiymatida manfiy bo

'ladi.


5.

a > 0, D = 0 :

Agar  a > 0 bo

'lsa parabola tarmoqlari yuqoriga yo'naladi.

Agar D = 0 bo

'lsa parabola OX-o'qiga urinadi.

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

4


Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

5

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

      f (x

 0 bo


'ladi   da

 f (x) funksiya  x ning uchiga ega bo

'lgan qiymatidan boshqa qiymatlarida musbat.

Parabola uchida: f (x) = 0.



6.

a < 0, D = 0 :

 a < 0 da parabola tarmoqlari pastga qaragan.

 D = 0 da parabola OX-o'qiga urinadi.

     f (x

 0 bo


'ladi x  R.

f (x) funksiya ning uchiga ega bo'lgan qiymatidan boshqa qiymatarida manfiy.

Parabola uchida: f (x) = 0.



2.4

Kvadrat tengsizliklar:

     f (x) = ax

2

 + bx + c  bunda abc    va a 



 0. Quyidagi tengsizliklarni yechamiz :

{ f (x

 0 ;    f (x) < 0 ;   f (x



 0  ;        f (x) > 0}, Bularni quyidagi tartibda yechamiz.



(a) D > 0

 x   ni koeffisentini musbat qilib olamiz;



2

Kvadrat ko'phadni ko



'paytuvchilarga uning ildizlari bo'yicha ajratib olamiz: 

(x – 

) (

 



).

Agar (x – ) (x – ) > 0 bo



'lsa bunda soni    va  sonlari va ular orasida ham emas.



x 

 (– , )  (, )

Agar (x – ) (x – ) 



 0 bo


'lsa bunda x soni   va   orasida joylashmaydi.



 (– , ]  [, )

Agar (x – 



) (x – ) < 0 bo'lsa bunda soni:  



x 

 (, )

Agar  (x –  ) (x – ) 



 0 bo


'lsa bunda soni:   



x 

 [, ]

(b)

D < 0 va a > 0 : f (x) > 0   bunda  x 

 R.



(c)

D < 0 va a < 0 : f (x) < 0   bunda  x 

 R.



(d)

D = 0 va a > 0 :   f (x)

 0 bunda  x 



 R.

(e)

D = 0 va  a < 0 :  f (x

 0 bunda  x 



 R.

(f)

D 

 0 , a > 0 : f (x



 0 bunda  x 

 R.

(g)

D 

 0, a < 0 : f (x



 0 bunda  x 

 R


1-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

6

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

 Mashiqlarda tushinish:

(a)

   f (x) = x

2

 + 2x + 2 funksiya berilgan bo



'lsa quyidagi tengsizliklarni yeching:

(i)

f (x)   0

(ii)

f (x)  0

(iii)

f (x) > 0

(iv)

f (x) < 0

(x) = x

2

 + 2x + 2



Dastlab  ni hisoblaymiz:



D = b

2

 – 4ac = (2)



2

 – 4 (1) (2) = -4 < 0

 D < 0

Demak tenglamaning ildizi ( f (x) = 0) haqiqiy emas.



f (x) bu funksiya chiziqli ko

'paytuvchiga ajralmaydi.

Undan tashqari, bosh koeffisent,  a= 1 > 0

 a > 0 va  D < 0, bundan:   f  (x) > 0    x  R                    



 [ 1.5 (b) dan]

(i)


f (x

 0 o



'rinli   x  R

(ii)


f (x

 0       o



'rinli emas demak ,      x   { Ø }.

(iii) f (x) > 0 o

'rinli    x  R.

(iv)


f (x) < 0       o

'rinli emas demak ,      x   { Ø }.



[1.5 (b) va (c)  dan ]

(b)

   f (x) = x

2

 + 4x + 4, funksiya berilgan bo



'lsa quyidagi tengsizliklarni yeching:

(i)

f (x)   0

(ii)

f (x)   0

(iii)

f (x) > 0

(iv)

f (x) < 0

f (x) = x

2

 + 4x + 4 = (x + 2)



2

 ni hisoblab olamiz:

   D = b

2

 – 4ac = (4)



2

 – 4 (1) (4) = 0

 D = 0

 Demak tenglamaning ildizlari ( f (x) = 0) haqiqiy va teng.

     Undan tashqari, bosh koeffisent, a= 1 > 0

D = 0 va  a > 0, bundan:



f (x)   0    x  R



[ 1.5 (d) dan ]

(i)


f (x)   0 o'rinli   x  R.

(ii)


f (x)    0 o'rinli   x  {– 2}

(iii) f (x) > 0 o

'rinli    x  R – {– 2}

(iv)


f (x) < 0      o

'rinli emas demak ,     x   { 

Ø }.

[1.5 dan ]


   Tengsilik uchun to

'g'ri javobni toping : x

2

 – 2x – 3 < 0.



(A)



1 3

x

,

 


(B)



1 3

x

,

 


(C)

 


3 4

x

,



(D)

 


1

3



,

,

  




Yechim :  (B)

x

2

 – 2x – 3 < 0



D   

   D = b

2

 – 4ac = (– 2)



2

 – 4 (1) (–3) = 16 > 0 

 D > 0

Bu kvadrat ko

'phadni ko'paytuvchiga ajratib olamiz,

x

2

 – 3x + x – 3 < 0



(x – 3) (x + 1) < 0



x 

 (–1, 3)                             



[1.5 (a) dan]

                               Tengsizlikni yeching : x

2

 + x – 1 



 0



(A)

x R



(B)

1

5

5 1



2

2

x



,



  

 





(C)

1

5



5 1

2

2



x

,

,

 





 



 

 



  


 




(D)



x



Yechim :  (C)

x

2

 + x – 1 



 0  


. . . . . . (i)

Dastlab  ni topib olamiz.



D = b

2

 – 4ac = 1



2

 – 4 (1) (–1) = 5 > 0 

 D  > 0.

Bu kvadrat ko

'phadni ratsional ko'paytuvchiga ajratib bo'lmaydi. Shu bois uning ildizlari  bo'yicha

  Ildizlardan  ( 

  va  ) yozib olamiz: ax

2

 + bx + c =a(x–  



)(x  – ).                                  

. . . . . . (ii)

 

Hisoblaymiz:  x



2

 + x – 1 = 0



        x =

2

b



D

a

 


 formuladan, bizda ildizlar : x =

1

5



2

  


(ii) dan biz ega bo

'lamiz :


        x

2

 + x – 1 =



1

5

1



5

2

2



x

x

 





  



  



 








 






 



. . . . . . (iii)

 (i) va (iii) lardan foylanib biz :     x

2

 + x 



 1 = 

1

5



1

5

2



2

x

x

 





  



  



 








 






 

 



 0  ega bo

'lamiz.

x 

 

1



5

5 1


,

,

2



2



 















[1.5 (a) dan ]



Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

7

   Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

 - 7

1-TEST

2-TEST

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

8

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2.5

Maksimum va Minimum 

      f (x) = ax

2

 + bx + ca 



 0.

Holat : I (a > 0)

   


 a > 0 da parabolaning tarmoqlari yuqoriga yo

'naladi.


Chizmadan, parabolaning uchi (V) funksiyaning eng quyi nuqtasi ekanligini ko

'rish mumkin.

    y = f (x) funksiya minimumiga,    x = 

2

b



a

da erishadi.



 y

min


  =  f (x)

min


 = 

4

D



a

;    x = 



2

b

a

          da erishadi.



 f (x) funkisiyaning maksimum qiymati cheksiz katta son.

yani:

y

max


 = f (x)

max


 = 

 (aniqlab bo'lmaydi).



Holat : II (a < 0)

 a < 0 da parabola tarmoqlari pastga yo

'nalgan bo'ladi.

Chizmadan , parabolaning uchi (V) eng yuqori nuqtasi ekanligini ko

'rish mumkin.

y = f (x) funksiya maksimumiga:     x =         da

2

b



a

 y



max

 = f (x)

max

 = 


4

D

a

;   x =          da erishadi.



2

b

a



f (x) funksiyaning minimum qiymati cheksiz kichik son.



yani:

y

min


 = f (x)

min


 = – 

 (aniqlanmagan).



Mashiqlarda tushinish:

 f (maxyoki f (minni quyidagi ko



'phadlar uchun toping?

(x   R)



(i)

f (x) = 4x

2

 – 12x + 15



(ii)

f (x) = –3x

2

 + 5x – 4



(i)

f (x) = 4x

2

 – 12x + 15



(ii)

f (x) = –3x

2

 + 5x – 4



a = 4 > 0

3 0


a

  


f (x) minimum qiymatga uchida erishadi.

f (x) maksimum qiymatiga uchida erishadi.

D = (12)

2

 – 4 × 4 × 15 = 144 – 240 = – 96



2

D = (5)


4( 3) ( 4) = 25 48 = 23

 




f

min


  = 

4

D



a

                    da;



x = 

2

b



a

                    da;



max

4

2



D

b

f

x

a

a



 



f

min


  = 

( 96)


4 4

 


 = 


96

16

 = 6 at x = – 



12

2 4


  = 


3

2

( 23)



23

(5)


5

at

max



4( 3)

12

2( 3) 6



f

x



 

 






f

min

  = 6                   da;



x = 

3

2



        

23

5



                da;

max


12

6

f



x





f

max


 = 

min



f

 


    2.6 Logarifm funksiyaga kirish:

y

x a

0,



0  va

1,

x



a

a



Bunda:  log

.

x y



Logarifm funksiyaning grafigi

log


,

1 va 


;

1

y



y

x  a

x a

a

a





(i)



 0 < x < 1 da

y

x a

 y uchun qiymatlarni topib olamiz:  0



1

y

a



                             dan  



1

0

0



a

, y

y

, .



 


(ii)

 x = 1 da

y

x a

 y ning qiymatini hisoblab olsak:



x=1

0

y



.



Agar 

(iii)

 x > 1 bo

'lsa,


y

x a

 y ning qiymatini topib olamiz, x > 1 da:



          a >1, 0 < y <

.

0



1 va

0

1



y

y log x,

a

x a ,

a

a

 



 


(iv)

 0 < x < 1 da 

     y  ning qiymatlar sohasini topib olamiz: 0

1

y

a



Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

 9

     Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

10

Chuyanov Hamroz darslari

                           Kvadrat tengsizliklar

 

0



1

0

a



, y

.

 




(v)

 x = 1 da

y

x a



y ning 0 qiymatiga x ning 1 qiymatida erishadi.

0

y



(vi)

 x > 1 da

 y ning manfiy qiymatlarida ega bo

'lamiz,  

1

y



a

.

Bu esa 



1

0

a



, y



2.7

Logorifm funksiyaning asosiy xossalari:

(i)

 


log

xy

log x log y.

a

a

a



(ii)

x

log

log x log y.

a

a

a

y

 


 



 

(iii)

y

log x

y log x

a

a



(iv)

1

1

 va



2

2

log



x

log x

log

x

log

x

n

a

n

a

a

a

n

n



(v)

1 0


loga 

(vi)

1

log a





(vii)

1

0



1

1

log x



bunda  x, y

, x

, y

y

log y

x





(viii)

0;

1

1



log x

z

log x

bunda x, y, z

x

, y

y

log y

z





(ix)



log x

a

a

x



(x)



log y

log x

a

a

x

y



(xi)

If 

1  va


a

,

m n

log m log n

a

a

 





(xii)

If 0


1  va

a

,

m n

log m log n

a

a

 


 

.



Kerakli:

Agar logarifmning asosi berilmagan bo

'lsa bu 10 asosli logarifm hisoblanadi. Logarifm e asosli x

ni ln x ko

'rinishida yozamiz.


Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

11

 Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

(b) Darajali funksiya:

x

y a

    bu 


1  yoki 0<a<1

a

   da darajali funksiya.



Boshqacha aytganda logarifm funksiyaning teskari funksiyasi.

Bu funksiyaga  x va y ni o

'rnini almashtirib

ga kelamiz.



y log x.

a

                                      Agar 



1

 bo


'lsa o'sganda  y o'sadi.

Agar  


0

1

a

 

 da esa,  x ning o



'sishi y ni kamayishiga olib keladi. 

Uzliksizlik  :

 


x

f x

a

  doimo uzliksiz (chizmada uzilish yo'q)



Aniqlanish va qiymatlar sohasi:

              Qiymatlar sohasi   

 

f x

ni  x

R 

da >0



Mashiqlarda tushunish :

Isbotlang  :  

 


5

1

1



3

15

5



3

9

25



log

Chap qism



 

5

1



2

5

3



5

3

3



9

3 15


log

log





 


1

2

1



5

3

5



1 3

15

5



3

5

1 3



2

5

3



9

3

3



log

log

/

log

/











 


1

2

1



1

5

3



2 3

2

5



15

15

15



3

5

5



25

 o

'ng qism.



log

/  









   a > 0, a 

 1,      bunda ushbu    2log



x

 a + log



ax

 a + 3 

2

a x



log

a  = 0 tenglama...



(A)

Faqat bitta haqiqiy ildizga ega

(B)

Ikkita haqiqiy ildizga ega

(C)

Haqiqiy ildizga ega emas

(D)

Cheksiz ko

'p ildizga ega

Yechim : (B)

Tenglamani quyidagi tarzda yozib olamiz:

2 log

log


3 log

2

log



log ( )

log (


)

a

a

a

x

ax

a x



 = 0

. . . . . . .(i)

bunda


logb

log b=

a

loga





    a > 0 va   a 

 1, log a  0, (i) ni quyidagicha yozib olamiz:

2

1



3

2

y



b

y

b

y



  =  0


                             (bunda  b = log a va y = log x)

2 (b + y) (2b + y) + y (2b + y) + 3y (b + y) = 0



   

4b

2

 + 11by + 6y



2

 = 0


Tenglamani ga nisbatan yechib quyidagi yechimga kelamiz:



y = 

2

2

11



121

96

12



b

b

b



 = – 


4

,

3



2

b

b



y = log x va b = log a

log x = – 



4

3

 log yoki – 



1

2

 log a



 x = a

–4/3


a

–1/2                     



             [log



b = c 



 b = a



c

]

Ikkita haqiqiy ildizga ega.



      Ushbu funksiya grafigi       y = x

2

 + kx – x + 9      OX-o



'qidan yuqorida joylashadi. 

k ni toping?



(A)

k R



(B)



5 7



k

,

 


(C)

k



(D)

 


7 9

k

,



Yechim  :  (B)



y = ax

2

 + bx + c funksiya grafigi ox-o



'qidan 

yuqorida quyidagi holda bo

'ladi:

D = (k – 1)

2

 – 36 < 0



0  va

0

a



D



(k – 7) (k + 5) < 0

y = x

2

 + (k – 1) x + 9



– 5 < k < 7

                      x

 ning koeffisenti  a =1



3-TEST

4-TEST

2-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

12

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

    log

2

 (ax



2

 + x + a)    1 

 x 



 Ro'rinli bo'lsa ‘a’ ni toping :

(A)

5

0, 1



2







(B)

5

5

1



, 1

2

2









(C)

5

0, 1


2







(D)

5

1

,



2



 






Yechish  : (D)

log


2

 (ax

2

 + x + a)   1   x  R



2

0 va   4


8

1 0


a

a

a



  




ax

2

 + x + a   2    x  R



5

5

0 va



,1

1

,



2

2

a



a

 





  

 




 

 





ax

2

 + x + (a – 2)    0    x  R



a koeffisent   x

2

  > 0  va  D   0



5

1

,



.

2

a





 

 




a

      va



1-4a(a-2)  0

Eng kichik butun qiymat k uchun ushbu (k – 2) x

2

 + 8x + k + 4 > 0 ifoda x   R da o



'rinli. 



(A)

5

(B)

2

(C)

3

(D)

t.j.y

Yechim  : (A)

f (x) = (k – 2) x

2

 + 8x + k + 4



f (x) > 0

      a > 0  va



D < 0                                

[1.5 (b) dan]

k – 2 > 0  va

64 – 4 (k – 2) (k + 4) < 0



k > 2

 va


16 – (k

2

 + 2k – 8) < 0



k > 2

 va


k

2

 + 2k – 24 > 0



k > 2

 va


(k < –6 ; k > 4)

Bu holatdan k soni 4 dan katta qiymatga ega bo

'ladi.



k > 4.



Eng kichik butun qiymat: k = 5.



  

   a < b,  da  tengsizlik    x

2

 + (a + bx + ab < 0 yechimni toping?



(A)

x < b , x < a

(B)

a < x < b

(C)

x < a ,  x > b

(D)

b < x < – a



Yechim  : (D)

x

2

 + (a + bx + ab < 0



(x + a) (x + b) < 0

    

 –b < x < – a



    Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar 

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism

13

6-TEST

7-TEST

Illustration - 14

5-TEST

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

2-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

14

    

   a,b,c 



 R va (a + b + cc < 0, berilgan, bunda kop



'had     p (x) = ax

2

 + bx + c = 0 ...



(A)

Manfiy ildizga ega

(B)

Ikkita ildizga ega

(C)

Ildizi yo

'q

(D)

t.j.y

Yechim  : (B)

p (x) = ax

2

 + bx + c = 0



Endi  ,   a + b + c 

 p (1)  va  c  p (0)

Berilgan shartdan: 

(a + b + cc < 0



p (1) p (0) < 0



p (x) = 0  (0, 1) oraliqda ikkita ildizga ega.

 

 

Quyidagi uchta tenglama ham a, b, c uchta turli haqiqiy sonlar uchun  ax

2

 + bx + cbx



2

cx + a  va   cx

2

 + ax + b musbat bo



'lsa,   

  U holda



 

2

2

2



bc ca ab

a

b

c





 ning qiymati uchun:



(A)

 < 4



(B)

 < 1



(C)



 >  1/4



(D)

 > 1



Yechish  : (B) & (C)

Berilgan shartlardan topib olamiz: a > 0, b

2

 < 4ac   b > 0,  c



2

 < 4ab    c > 0,  a

2

 < 4bc





a

2

 + b



2

 + c

2

 < 4 (bc + ca + ab)



. . . . . . (i)

2



2

2

1



4

bc ca ab

a

b

c





1

4



 < 

.

Hamda: 



a

2

 + b



2

 + c

2

 – (bc + ca + ab)



 = 

1

2



 [(b – c)

2

 + (c – a)



2

 + (a – b)

2

] > 0     



. . . . . . (ii)

 



 

1



2

2

2



0

2

b c



c a

a b



 






  



2

2



2

0

a



b

c

bc ca ab







[(ii) dan]

1

1

2



2

2

bc ca ab



.

a

b

c









abc 

 Ra  0 da kvadrat tenglama         ax

2

 + bx + c = 0 haqiqiy ildizga ega emas,...



(A)

a + b + c > 0

(B)

a (a + b + c) > 0

(C)

b (a + b + c) > 0

(D)

c (a  + b + c) > 0

Yechim : (B) & (D)

     f (x) = a x

2

 + bx + c. bunda f (x) = 0 haqiqy ildizga ega bo



'lmasa f (x) > 0 yoki f (x)< 0 x  R da

9-TEST

8-TEST

10-TEST

                Yoki x 

 R  da f (x) ning qiymati x da bir-xil ishoraga ega bo'lishi kerak.



f (0) f (1) > 0

 c (a + b + c) > 0.



       yoki   a f  (1) > 0

 a (a + b + c) > 0.



       f (x) =  x

2

 + 4x + 1, uchun to



'g'ri javobni toping?

(A)

f (x) > 0  ixtiyoriy x da

(B)

f (x)   1   agar x  0 da

(C)

f (x)    1 agar   x   – 4 da

(D)

f (x) = f (–x)  ixtyoriy da

Yechish  : (B) & (C)

  f (x) kvadrat funksiya ikkita ildizga ega bo

'lsa, uning ishorasi manfiy ham musbat ham bo'ladi.

          f (x) 1

 x

2

 + 4x + 1    1



 x

2

 + 4x   0





x   – 4 yoki x   0

    (B) va (C) lar to'g'ri.



f (–x) = x

2

 – 4x + 1



   f (–x)   f (x)

    (D) esa xato.



Quyidagi grafikdan foydalanib funksiya y = ax

2

 + bx + c da ...



(A)

a < 0

(B)

b

2

 < 4 ac



(C)

c > 0

(D)

a va b turli ishorali.

Yechim  : (A) & (D)

 Chizmadan malumki funksiya tarmoqlari pastga qaragan, demak: a < 0.

 (A) to


'g'ri shart.

bu y = ax



2

 + bx + ikkita yechimga ega.

   Agar  ax

2

 + bx + c = 0 



   Bu ikki ildizlar x

1

 va  x



Chizmadan malumli  sonlar musbat:   x

1

 + x



2

 > 0.


 

va

turli ishorali sonlar.



to

'g'ri javob.



b

b

>0

>0

a

b

D

a

a





 

 


0  va

0

0



D

f

c

,

 



 (B) va (C) lar xato.

Quyidagi chizmadan funksiya    y = ax

2

 + bx + c. da ...



(A)

a > 0

(B)

b < 0

(C)

c > 0

(D)

b

2

 – 4 ac = 0



Yechim : (B) & (C)

Parabolaning tarmoqlari pastga yo“nalgan, demak:

 a < 0.

     y = ax



2

 + bx + c

Ikkita yechimga ega.

Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

2-qism 

15

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar 

13-TEST

11-TEST

12-TEST


3-qism

  Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

16

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

           ax

2

 + bx + c = 0



   ikkita ildizi    x

1

 va  x



2

  lar turli tomonlarda hamda           | x

1

| > | x



2

|

Sonlar yigindisi manfiy yani:             x



1

 + x

2

 < 0.


.

0

0



0

b

b

b

B

a

a



 

   



 

y

f x

    Funkisiya OY-o'qini  (0,c) da kesadi c > 0    



C

           

 to

'g'ri.


3.1

Ratsional funksiyaga kirish

Ratsional funksiya x da aniqlangan ikkita  P (x) va Q (x) ko

'phadlar  nisbati bo'lib,    Q (x)   0.

    f  (x) = 

( )

( )


P x

Q x Q (x)  0,

bu f (x),  da aniqlangan ratsional funksiya.

 Quyidagilar x da aniqlangan funkiyalarga misollar:

f (x) = 

2

1



1

x

x

x

   ;  f (x) = 



2

2

2



5

6

x



x

x

x

 


 ;  x 



 2, x  3  ;  f (x) = 

4

3



2

1

(



1)

x

x

x

x

 



 ;  x 

 1

5.2

Ratsional funksiyaning minimum va maksimum qiymatlari:

Masalan :

 f (x) = y = 

2

2

ax



bx c

px

qx r



 bunda





x R



,

,

 


 

Bu yerda 

, 

    ildizlari 



2

0 tengalaning.



px

qx r

 



. . . . .(i)

 f (x) ning maksimum va minimumlarni maxrajni y ga ko

'paytirib quyidagi tarzdagi tenglamaga.

keltirib haqiqiy yechimi mavjud deb y uchun kerakli sohani topib olamiz  :



y (px

2

 + qx + r) =



ax

2

 + bx + c



(a – pyx

2

 + (b – qyx +  (c – ry) = 0



yechim bor, D 

 0



(b – qy)

2

 – 4 (a – py) (c – ry



 0

Ratsional funksiya & Ratsional tengsizlik        



         

                           3-qism

y ga nisbatan tengsizlikni quyidagi 3 holdagi yechimlar orqali y ning qiymatlar sohasini topamiz.

I-holda :

 y 



 [AB]

Agar y ning qiymati  va B orasida bo

'lsa: 

Maksimum qiymat:  y = y



max

 = B, Minimum esa:   y = y

min

 = A.



II-holda :

y 



 (–



A



 [B, 



)

Agar y ning qiymati  A va oraliqdan tashqarida bo

'lsa,

Maksimum qiymat: y = y



max

 = 


     yani aniqlanmagan;

Minimum qiymat: y = y

min

 = – 


. yani aniqlanmagan;

III-holda :

y 



 (–





). yani y    R da 

Agar y ixtiyoriy songa teng bo



'lsa, 

Maksimum qiymat: y = y

max

 = 


          yani aniqlanmagan;

Minimum qiymat: y = y

min

 = – 


      yani aniqlanmagan;

    f (x) = 

2 34 71


2 2 7

x

x

x

x



. x 



 R, da f (x) ning qiymatlar sohasi :

(A)

 


5 9

,

(B)

 



5

9



,

,

 




(C)

 


5 9

,

(D)

t.j.y


Yechim :  (B)

2 34 71


2 2 7

x

x

x

x



 = k  deb olamiz:



(17 – k)

2

 – (1 – k) (7k – 71) 



 0

Maxrajni k ga ko



'paytirib quyidagi 

k



2

 – 112 k + 360 

 0

 ga nisbatan tenglamani tuzib olamiz :





k

2

 – 14k + 45 



 0



x

2

 (1 – k) + (34 – 2kx + 7k – 71 = 0



(k – 5) (k – 9) 

 0

      x 



 dan diskerminant D   0                



k

(–, 5]  [9, ) 



 

(34 – 2k)



2

 – 4 (1 – k) (7k – 71) 

 0

 Masofaviy tarzda mustaqil o



'

zlashtirish uchun

3-qism

17

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

14-TEST

3-qism

 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

18

Chuyanov Hamroz darslari

                            Kvadrat tengsizliklar

 

  m  ning qanday qiymatida ifodaning qiymati : 

2

2

5



3

4

x



x

x m





  barcha haqiqiy son.

xR.

4

m

 

  


 

(A)

 


4 6

m

,



(B)

 

6 8


m

,



(C)



6 4



m

,

  


(D)



4 2

m

,

  


Yechim :  (A)

2

2



5

3

4



x

x

x m



 = k      

 2x

2

 – (4k + 5) x + 3 + mk = 0



      x 

 da: D    0



(4k + 5)

2

 – 8 (3 + mk



 0



16k

2

 + (40 – 8 mk + 1 



 0

 k ning istalgan qiymatida o



'rinli bo'lishi uchun   koeffisent  

2

k musbat va  diskerminant    0 : 



(40 – 8 m)



2

 – 4 (16) (1) 

 0

 (5 – m)



2

 – 1 


 0



(m – 5 – 1) (m – 5 + 1) 

 0



 (m – 6) (m – 4) 

 0





m 

 [4, 6]


 

 m ning qanday qiymatida tengsizlik : 

2

1



2

1

x



mx

x

x



 

 < 3 o

'rinli bo'ladi x 



 R da.



(A)



1 8

m

,

 


(B)

 



1

5



m

,

,

  




(C)



1 5



m

,

 


(D)

t.j.y


Yechish :  (C)

Bizga malumki | a | < b

 –b < a < b

Bundan  


2

1

2



1

x

mx

x

x



 

 < 3.


    

2

1



3

3

2



1

x

mx

x

x



  

 



I-holda :

2

1



2

1

x



mx

x

x



 

 < 3


2

2



1) 3 (

1)

2



1

x

mx

x

x

x

x



 

 


 

 < 0


2

2



(

3)

2



0

2

3



1

4

2



x

m

x

x





 






16-TEST



15-TEST

Ikkla tomonni maxrajga ko“paytirib quyidagi ifodaga kelamiz:

–2x



2

 + (m – 3) x – 2 < 0



(chunki maxraj doimo musbat)

2x



2

 – (m – 3) x + 2 > 0

          Tengasilik ixtiyoriy x da istalgan qiymatida o

'rinli 2x

2

 > 0 va  D < 0 da.



(m – 3)

2

 – 4 (2) (2) < 0





m

2

 – 6 m – 7 < 0



(m – 7) (m + 1) < 0



m 

 (–1, 7)



. . . . . .(i)

2-holda :  

–3 < 


2

2

1



1

x

mx

x

x



 

 0 <  



2

2

1) 3 (



1)

2

1



x

mx

x

x

x

x



 

 


 

 4x

2

 + (m + 3) x + 4 > 0



Tengsizlik doimo o

'rinli x  R da D < 0 bo'lsa,

(m + 3)



2

 – 4 (4) (4) < 0

(+ 3 



 8) ( m + 3 + 8) < 0

         [  a

2

 



 b



2

 = (a + b) (a 



 b) dan ]

(m – 5) (m + 11) < 0





m 

 (–11, 5)



. . . . . . .(ii)

 

(i) va


 

(ii)


 

 javoblarni birlashtirib quyidagi

          

         Umumiy javob:



1 5



m

,

.

 


 Masofaviy tarzda mustaqil o

'

zlashtirish uchun

3-qism

19

Chuyanov Hamroz darslari

Kvadrat tengsizliklar

                                                                                                                             



Davomi bor...

Document Outline

  • Страница 1
  • Страница 2
  • Страница 3
  • Страница 4
  • Страница 5
  • Страница 6
  • Страница 7
  • Страница 8
  • Страница 9
  • Страница 10
  • Страница 11
  • Страница 12
  • Страница 13
  • Страница 14
  • Страница 15
  • Страница 16
  • Страница 17
  • Страница 18
  • Страница 19

Download 405.53 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling