Лабораторная работа №1 "Парная регрессия" Студент гр. М-163-17 Фамилия Ж. М


Download 0.88 Mb.
Pdf ko'rish
Sana14.05.2020
Hajmi0.88 Mb.
TuriЛабораторная работа

 

Каршинснкий энжинерно-экономический инстититут печати 

 

 

Экономический факултет 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



ЭКОНОМЕТРИКА 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №1 “Парная регрессия” 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



Студент гр. М-163-17  Фамилия Ж.М. 

 

Преподаватель Рахимов.А. 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Карши 


2020 

 


Задание 

 

Построить 

поле 

корреляции  для 



заданной 

совокупности 

наблюдений,  на  основе  визуального  анализа  удалить  из  выборки 

аномальные  наблюдения  (не  более  5%  от  исходного  числа),  добиваясь 

увеличения  коэффициента  детерминации  для  линейной  модели  парной 

регрессии.  

Используя  встроенные  функции  Excel,  для  скорректированной 

выборки  наблюдений  построить  модели  парной  регрессии  для  6 

заданных  функций  регрессии:  линейной,  степенной,  экспоненциальной, 

полулогарифмической,  обратной,  гиперболической.  Для  каждой  из 

построенных моделей определить коэффициент детерминации, среднюю 

ошибку 


аппроксимации, 

коэффициент 

эластичности. 

Прокомментировать качество построенных моделей. 

Привести расчетные формулы и выполнить вычисления параметров 

уравнения  парной  линейной  регрессии,  показателей  статистической 

значимости  уравнения  регрессии  в  целом,  коэффициентов  регрессии  и 

корреляции, точечного и интервального прогноза. Используя надстройку 

Excel  “Анализ  данных”  и  матричные  вычисления,  продублировать 

вычисления  параметров  модели  парной  линейной  регрессии  и  всех 

показателей, характеризующих ее качество. 

С  помощью  пакета  STATISTICA  провести  расчеты  для  линейной, 

гиперболической  и  обратной  функций  регрессии.  Построить  график  с 

доверительными интервалами прогноза для линейной регрессии.  

Проанализировать  возможность  улучшения  качества  модели 

регрессии  за  счет  применения  нелинейных  функций  регрессии  и 

удаления некоторых наблюдений (не более 10%). 


Исходные данные 

 

 


Поле корреляции по исходным данным 

Стоимость полиграфических работ, y

0

5

10

15

20

25

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Объем заказа, тыс. л.отт.

 

 



Выявление и удаление аномальных наблюдений 

 

Стоимость полиграфических работ, y

y = 0.0086x + 2.6112

R

2



 = 0.711

0

5

10

15

20

25

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Объем заказа, тыс. л.отт.

Аномальное наблюдение?

Аномальное наблюдение?

Аномальное наблюдение?

Аномальное наблюдение?

Аномальное наблюдение?

 

 



 

 

 



 

 


Значения  коэффициента  детерминации  для  исходной  выборки  и  после 

поочередного  удаления  предполагаемых  на  основе  визуального  анализа 

аномальных наблюдений: 

 

Исходная выборка 



0.711 

235.2 

1.42 

0.7266 

250 

10.1 

0.7704 

630 

4.58 

0.7415 

1300 

10.86 

0.7181 

1800 

20.54 

0.3879 

 

По  результатам  проведенного  анализа  из  выборки  удалено  наблюдение 



(10,1; 250). 

Скорректированная выборка (27 наблюдений) 

 

 

Описательная статистика  

 

 

Модели парной регрессии 

Линейная 



Стоимость полиграфических работ, y

y = 0.0087x + 2.3832

R

2

 = 0.7704

0

5

10

15

20

25

0

500

1000

1500

2000

Объем заказа, тыс. л.-отт.

 

 



Степенная  

Стоимость полиграфических работ, y

y = 0.3087x

0.4892

R

2

 = 0.4429

0

5

10

15

20

25

0

500

1000

1500

2000

Объем заказа, тыс. л.-отт.

 


Экспоненциальная 

Стоимость полиграфических работ, y

y = 2.9886e

0.0011x

R

2

 = 0.4803

0

5

10

15

20

25

0

500

1000

1500

2000

Объем заказа, тыс. л.-отт.

 

 



Логарифмическая 

Стоимость полиграфических работ, y

y = 3.3858Ln(x) - 12.988

R

2

 = 0.5468

0

5

10

15

20

25

0

500

1000

1500

2000

Объем заказа, тыс. л.-отт.

 

 



 

Обратная 

 

 


Стоимость полиграфических работ, y

0

2

4

6

8

10

12

14

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

Объем заказа, тыс. л.-отт.

2364

,

0

R

x

0002004

,

0

3442

,

0

1

y

2

=



=

 



 

Гиперболическая 

 

 

 



Стоимость полиграфических работ, y

0

5

10

15

20

25

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

Объем заказа, тыс. л.-отт.

583

0,2

R

x

4

,

464

035

,

8

y

2

=



=

 


Расчетные формулы 

Коэффициент детерминации 



,

)

y

y

(

)

y

ˆ

y

(

1

R

2

j

2

j

j

2





=

 

где  



j

 - наблюдавшееся значение результативного показателя; 

 

j



y

ˆ  - расчетное значение по уравнению регрессии; 

 

  - среднее значение результативного показателя. 

 

Коэффициент детерминации рассчитывался для степенной функции 



регрессии: 

0.6191

384.06

146.27

1

R

2

обр

=



=

 

для экспоненциальной функции регрессии: 



0.7801

384.06

84.45

1

R

2

обр

=



=

 

для обратной функции регрессии: 



0.236365

138.2846

105.5989

1

R

2

обр

=



=

 

и для гиперболической функции регрессии: 



.

0.285875

384.06

273.7588

1

R

2

гиперб

=



=

 

Коэффициент детерминации



 

для линейной и логарифмической функций 

получен с помощью команды Excel:  

Диаграмма_Добавить линию 

тренда. 

Средняя ошибка аппроксимации 

Для расчета средней ошибки аппроксимации использовались формулы: 



=

j



j

j

y

)

y

ˆ

y

(

n

100

A

 



,

n

)

y

ˆ

y

(

y

100

A

2

j

j



=

  





=

y

)

y

ˆ

y

(

n

100

A

j

j

Для  каждой  модели  выбиралось  минимальное  из  трех  рассчитанных 



значений



 

Коэффициент эластичности 

Для линейной функции: 

.

0.538318

319.4019

2.3832

0.0087

319.4019

2.3832

x

b

a

x

b

Э

=



+

=



+



=

 

Для степенной функции: 



.

0.4892

b

Э

=

=



 

Для экспоненциальной функции: 



.

0.351342

319.4019

0.0011

x

b

Э

=



=

=



 

Для полулогарифмической функции: 



.

0.5468

5.76645

3.3858

12.988

-

3.3858

x

b

a

b

Э

ln

=



+

=



+

=

 



Для обратной функции: 

.

0.1842

319.4019

0.0002004

0.3442

319.4019

0.0002004

x

b

a

x

b

Э

=



=



+



=

 



Для гиперболической функции: 

0.22093.

.396

64

4

319.4019

8.035

464.396

b

x

a

b

Э

=



=

+



=



 

 

Сравнительная характеристика моделей 

 

Вид модели 



Коэффициент 

детерминации 

Средняя ошибка 

аппроксимации 

Коэффициент 

эластичности 

Линейная 

0.7704 


29.79% 

0.5383 


Степенная 

0.6191 


32.66% 

0.4892 


Экспоненциальная 

0.7801 


29.98% 

0.3513 


Логарифмическая 

0.5468 


36.60% 

0.5180 


Обратная 

0.2364 


35.91% 

0.1804 


Гиперболическая 

0.2583 


42.92% 

0.2209 


 

Из  рассмотренных  моделей  наибольшее  значение  коэффициента 

детерминации,  близкое  к  требуемой  величине  0.8,  имеют  линейная  и 

экспоненциальная  модели.  Однако,  высокая  величина  средней  ошибки 



аппроксимации  (около  30%)  ограничивает  возможность  их  практического 

применения.  Ни  одна  из  других  моделей  не  соответствует  предъявляемым 

требованиям  по  величине  коэффициента  детерминации  и  средней  ошибки 

аппроксимации. 



 

Расчетные формулы для определения параметров 

регрессии и корреляции 

 

Система нормальных линейных алгебраических уравнений относительно  



параметров парной линейной регрессии 

 



=



+



=

+









=

+

=



+





8

.

8546

7

b

680555

6

a

85

.

623

8

21

.

39

1

b

85

.

623

8

a

27

x

y

x

b

x

a

y

x

b

na

j

j

2

j

j

j

j

 

Решение системы:  



a = 2.38315;     b = 0,00868. 

Коэффициент регрессии (альтернативные формулы) 

 

0.00868

145410.39

1262.3275

σ

y)

(x,

cov

b

x

2

=

=



=

 

 



0.00868

.4

19

3

-

247427.98

.4

19

3

5.1559

-

2909.14

x

x

x

y

yx

b

2

2

2

*

=



=



=

 

 



0.00868

145410.39

1262.33

)

x

(x

)

x

)(x

y

(y

b

2

j

j

j

=

=





=



 

 

Свободный член уравнения регрессии 



 

2.38315

.4

19

3

0.00868

-

5.1559

x

b

y

a

*

=



=

=



 

 

Коэффициент корреляции 



 

0.87772

3.7715

381.33

0.00868

σ

σ

b

y

x

r

yx

=



=

=

 



 

0.87772

.33

81

3

3.7715

1262.33

σ

σ

x)

(y,

cov

x

y

yx

r

=



=

=

 



 

0.87772

3926080.6

384.057

34082.844

)

x

x

(

)

y

y

(

)

x

x

(

)

y

y

(

*

*

*

j

j

j

yx

2

2

j

r

=

=





=



 



 

Индекс корреляции 

0.87772

24

2

14.

659

2

3.

1

σ

σ

1

ρ

2

2

y

ост

xy

=



=

=



 

0.87772

384.057

88.179

1

y

y

y

y

1

ρ

)

(

)

(

j

j

j

2

2

xy

=



=

=



 −

 −


 

 



Коэффициент детерминации 

 

0.7704



0.87772

r

R

2

2

yx

2

=

=



=

 

(для парной линейной регрессии). 



 

( )


( )

.

0.7704

384.057

295.88

y

y

y

y

R

j

j

2

2

2

=

=



=





 

 

Скорректированный коэффициент детерминации 



 

(

)



(

)

0.76122



25

26

0.7704

1

1

2

n

1

n

R

1

1

R

2

2

=



=





=

 

Более  76%  дисперсии  результативного  показателя  (Стоимость 



полиграфических работ) обусловлено изменением фактора-аргумента (Объем 

заказа  в  тыс.  л.-отт.).  По  этому  показателю  рассматриваемая  модель 

регрессии удовлетворяет необходимым требованиям. 

 

Стандартная ошибка регрессии 



 

(

)



1.87808

25

88.179



2

n

s



y j

y j


2

ост


=

=



=

− 



 

 

 



F-критерий Фишера 

 

( )



(

)

(



)

.8854


3

8

5



2

/

88.179



1

/

295.88



1

m

n



/

m

/



F

y j


y j

y

y j



2

2

факт



=

=



=





 



 

(

)



.8854

3

8



1

25

0.7704



1

0.7704


m

1

m



n

R

1



R

F

2



2

факт


=



=



=

 



 

F

табл



 =FРАСПОБР(0.05;1;25) = 4.2417  

 

F



табл

 =FРАСПОБР(0.01;1;11) = 7.7698 

 

При уровне значимости  = 0,05 и при более строгом подходе ( = 0,01) 



уравнение регрессии в целом является значимым. 

 

 

Стандартные ошибки параметров регрессии и коэффициента корреляции 



 

0.47147


.33

81

3



27

6680555.4

1.878

σ

n



x

s

m



x

ост


a

j

2



=



=

=



 

 

0.00095



27

381.33


1.878

n

σ



s

m

x



ост

b

=



=

=



 

 

 



0.09583

25

0.7704



1

2

n



r

1

m



2

2

r



=

=



=



 

 

Расчетные значения T-критериев Стьюдента 



 

5.055


0.47147

2.383


m

a

t



a

a

=



=

=

 



 

9.1589


0.000948

0.00868


m

b

t



b

b

=



=

=

 



 

9.1589


0.09583

0.87772


m

r

t



r

r

=



=

=

 



 

Соотношение между T-критериями Стьюдента и F-критерием Фишера 

 

.885


3

8

9.1589



9.1589

F

t



t

2

2



b

r

2



2

=

=



=

=



 

 

Табличное значение T-критерия Стьюдента 



 

T

табл



 =СТЬЮДРАСПОБР(0.05;25) = 2.05954  

 

T



табл

 =СТЬЮДРАСПОБР(0.01;25) = 2.7874  

 

При  уровне  значимости    =  0,05  и  при    =  0,01  параметры  уравнения 



регрессии a и b, а также коэффициент корреляции r являются значимыми. 

 

Точечный прогноз 



 

5.4332


.4

19

3



1

.

1



0.00868

2.383


x

b

a



y

p

p



=



+

=



+

=



 

 

5.4332



.4

19

3



1

.

0



0.00868

5.1559


)

x

x



(

b

y



y

p

p



=



+

=



+

=



 

 



Ошибка прогноза 

 

( )



(

)

(



)

1.91278


3926080.6

.4

19



3

1

.



0

27

1



1

1.878


x

x

x



x

n

1



1

s

m



2

j

2



p

2

ост



p

*

*



y

=



+

+

=



+

+



=

 −


 

 

Доверительный  интервал  прогноза  с  учетом  индивидуального  рассеивания 



результирующего показателя при x = 1.1x

средн.


 

 

9.37264



y

1.49376


1.91278

2.0595


5.4332

y

1.91278



2.0595

5.4332


m

t

y



y

m

t



y

p

p



p

2

n



,

p

p



p

2

n



,

p

y



y



+







+







 



 

Доверительный  интервал  прогноза  без  учета  индивидуального  рассеивания 

результирующего показателя при x = 1.1x

средн. 


 

 

 



Доверительные  интервалы  прогноза  с  учетом  и  без  учета  индивидуального 

рассеивания результирующего показателя при различных значениях x  

 

Доверительные интервалы прогноза 

стоимости полиграфических работ

-5

0

5

10

15

20

25

30

0

500

1000

1500

2000

2500

Объем заказа, тыс. л.-отт.

 


 

 

Результаты расчетов с помощью пакета  



“Анализ данных”  

 

 



 

 


 

 

 



Матричные вычисления 

 

1



Т

2

ост

МНК

B

МНК

Т

МНК

2

ост

Т

1

Т

МНК

)

X

X

(

)

B

X

Y

(

)

B

X

Y

(

1

m

n

1

Y

X

)

X

X

(

B

s

s



=







=



=

 

 



 

 

 

Расчеты с помощью пакета STATISTICA 

 

Линейная модель 

 

 

 



 

 


 

 

Параметры регрессии 



Regression Summary for Dependent Variable: 

Стоимость полиграфических работ, y

 (Spreadsheet1)

R= .87772475 R?= .77040074 Adjusted R?= .76121677

F(1,25)=83.885 p<.00000 Std.Error of estimate: 1.8781

N=27

Beta


Std.Err.

of Beta


B

Std.Err.


of B

t(25)


p-level

Intercept



Объем заказа в тыс. л.-отт., x

2.383154 0.471474 5.054686 0.000032

0.877725 0.095833 0.008681 0.000948 9.158895 0.000000

 

 



 

Доверительные интервалы прогноза 

Scatterplot (Spreadsheet1 2v*27c)



Стоимость полиграфических работ, y

 = 2.3832+0.0087*x

-200

0

200



400

600


800

1000


1200

1400


1600

1800


2000

Объем заказа в тыс. л.-отт., x

0

2



4

6

8



10

12

14



16

18

20



22

С

то

и

м

о

ст

ь

 п

о

л

и

гр

аф

и

ч

ес

ки

х 

р

аб

о

т,

 y

 

Пунктирная линия на графике соответствует прогнозу для значения 



фактора,  превышающего  на  10%  его  среднюю  величину  (ранее  было 

получено: 1,49376  ≤ y

р

 ≤ 9,37264). 



 

 

 

Парная нелинейная регрессия 

 

Гипербола 



 

 

 

 



 

 

 



Regression Summary for Dependent Variable: 

Стоимость полиграфических работ, y

 (Пример парной регрессии.sta)

R= .50822911 R?= .25829683 Adjusted R?= .22862870

F(1,25)=8.7062 p<.00680 Std.Error of estimate: 3.3755

N=27

Beta


Std.Err.

of Beta


B

Std.Err.


of B

t(25)


p-level

Intercept

1/V2

8.035


1.1722

6.85452 0.000000

-0.508229 0.172244 -464.396 157.3889 -2.95063 0.006796

 

 



 

Analysis of Variance; DV: 

Стоимость полиграфических работ, y

 (Пример парной регрессии.sta)

 Effect

Sums of


Squares

df

Mean



Squares

F

p-level



Regress.

Residual


Total

99.2007


1 99.20072 8.706206 0.006796

284.8563 25 11.39425

384.0571

 

 



Результаты расчетов совпадают с полученными ранее в Excel: 

 

Коэффициенты 



линеаризованной 

модели 

-464.4  8.03501 

157.389  1.17222 

0.2583  3.37554 

8.70621 

25 

99.2007  284.856 

 

Дополнительно  получена  скорректированная  величина  индекса 



детерминации 0,2286 и уровни значимости свободного члена и коэффициента 

регрессии. 

 

 

Обратная функция 



 

 

 



 

 

 

Regression Summary for Dependent Variable: 1/V1 (Пример парной регрессии.sta)



R= .45802304 R?= .20978511 Adjusted R?= .17817651

F(1,25)=6.6370 p<.01628 Std.Error of estimate: .15416

N=27

Beta


Std.Err.

of Beta


B

Std.Err.


of B

t(25)


p-level

Intercept



Объем заказа в тыс. л.-отт., x

0.344175 0.038700

8.89333 0.000000

-0.458023 0.177788 -0.000200 0.000078 -2.57623 0.016283

 

 

 



 

 

Analysis of Variance; DV: 1/V1 (Пример парной регрессии.sta)



 Effect

Sums of


Squares

df

Mean



Squares

F

p-level



Regress.

Residual


Total

0.157729


1 0.157729 6.636964 0.016283

0.594129 25 0.023765

0.751858

 

 

 



Результаты расчетов в Excel: 

 

Коэффициенты 



линеаризованной модели 

-0.00020043594  0.34418 

7.7802E-05 

0.0387 

0.209785106  0.15416 

6.636963798 

25 

0.157728585  0.59413 

 


 

Для  гиперболической  и  обратной  функций  регрессии  результаты, 

полученные  пакетом  STATISTICA,  полностью  совпадают  с    параметрами 

линеаризованных  моделей  регрессии,  рассчитанных  ранее  с  помощью 

функции Excel "ЛИНЕЙН". 

 

Предложения по улучшению модели 

 

Нелинейная функция регрессия с двумя слагаемыми 



 

 

 



 

За  счет  применения  нелинейной  функции  с  двумя  слагаемыми  не 

удалось улучшить коэффициент детерминации, дополнительный фактор 


x

1/2


  оказался незначимым, его  включение  в модель  нецелесообразно. Не 

привело  к  улучшению  модели  включение  в  качестве  дополнительного 

фактора  1/x,  ln(x),  x

2

.  Некоторое  улучшение  исходной  модели  парной 



линейной регрессии имеет место при замене x на  x

2



 

 

 



Исключение наблюдения методом Монте-Карло 

 

Случайные числа 



Объем заказа в 

тыс. л.-отт., x 

Стоимость 

полиграфических работ, y 

0.901497058 

67.2222 

2.16 

0.708706091 

280 

7.31 

0.458937517 

336 

4.89 

0.21076708 

184.8 

4.85 

0.173503726 

630 

4.58 

0.984780677 

109.2 

2.13 

0.122357235 

1300 

10.86 

0.297489252 

143 

4.4 

0.792862629 

1800 

20.54 

0.079878536 

184.8 

1.66 

0.277892891 

311.111 

5.62 

0.84261417 

600 

8.33 

0.513903269 

300 

5.2 

0.035772746 

100.8 

2.07 

0.339773519 

144.222 

4.77 

0.102913686 

79.8 

3.81 

0.194761822 

66 

4.33 

0.239156682 

270 

2.9 

0.352146129 

281.944 

5.45 

0.255540589 

136.111 

5.01 

0.847962716 

176.4 

3.32 

0.923866415 

235.2 

1.42 

0.555366508 

81 

1.64 

0.592801588 

260 

2.78 

0.946900586 

90.7407 

4.14 

0.389226652 

115.5 

6.18 

0.101839229 

340 

8.86 

 

y = 0.0088x + 2.0846



R

2

 = 0.8201

0

5

10

15

20

25

150

350

550

750

950

1150

1350

1550

1750

1950

 

За  счет  удаления  точки  (340;  8,86)  коэффициент  детерминации 



увеличивается  с  0,7704  до  0,7965.  За  счет  дальнейшего  удаления  точки 

(115,5; 6,18) коэффициент детерминации увеличивается  до 0,8201. 



 

Download 0.88 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling