Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики


Download 1.42 Mb.
Pdf ko'rish
bet2/23
Sana24.04.2020
Hajmi1.42 Mb.
#101093
TuriЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Bog'liq
konspekt lekciy 123 semestra vlasov
badiiy tahlil asoslari (3), choliqushi va otkan kunlar romanlaridagi badiiy tasvir vositalarining qiyosiy tahlili, badiiy asar tahlili, konspekt lekciy 123 semestra vlasov, badiiy tahlil asoslari (1), 100 tests on mathematics inha university in tashkent 2015, Ma’ruza№1 mavzu kasbiy psixologiya faniga kirish. Fanning pr, Dis mat, parol o`, Elektrotexnikaning nazariy asoslari, Laboratoriya 1-2, Diskret1 mustaqil ish, 2.Lesson 2-line graph worksheet, 01 Sentence Structure DVD

14
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
a
11
a
22
− a
12
a
21
=
a
22
x
0
1
− a
12
x
0
2
=
a
11
x
0
2
− a
21
x
0
1
=
a
11
a
21
x
0
1
x
0
2
a
11
a
21
a
12
a
22
a
12
a
22
x
0
1
x
0
2
= ∆
= ∆
1
= ∆
2

























определители
J
• Полученное решение известно в математике как формула Кра-
мера (правило Крамера).
Формула Крамера
Формула Крамера — формула решения квадратной системы n
линейных алгебраических уравнений:
x
i
=

i

; ∆
6= 0, где i = 1, 2, . . . , n.

i
— дополнительные определители,
∆ — определитель системы (детерминант матрицы системы).
F
Дополнительный определитель образуется из определите-
ля системы, заменой i-того столбца на столбец свободных
членов.
Пример 2.
Hайти: ∆ , ∆
1
, ∆
2
, x
1
, x
2
, если
(
2x
1
+ 3x
2
= 6,
−4x
1
+ 5x
2
= 1.
B
∆ =
2 3
−4 5
= 10 + 12 = 22,

1
=
6 3
1 5
= 27,

2
=
2 6
−4 1
= 26,
x
1
=
27
22
,
x
2
=
26
22
=
13
11
C

Лекция 2. Определители и их свойства
15
Лекция 2. Определители и их свойства
Рассмотренные ниже свойства определителя нам пригодят
-
ся как для вычисления определителей
, так и для нахождения
рангов матриц при решении систем линейных алгебраических
уравнений
.
F
Определителем или детерминантом квадратной матрицы
называется скаляр, образованный из элементов этой мат-
рицы следующим образом
∆ = det A =
a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
n1
a
n2
· · · a
nn
=
X
j
(
−1)
t
j
a
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
.
Здесь j = j
1
, j
2
, . . . , j
n
— это всевозможные перестановки нату-
ральных чисел j = 1, 2, 3, . . . , n, при этом сам этот набор чисел:
j = 1, 2, 3, . . . , n — основная перестановка, а t
j
— число транспо-
зиций, которое необходимо совершить, чтобы перевести данную
перестановку к основной.
F
Порядком определителя называется число столбцов (строк)
квадратной матрицы
Детерминант 2-го порядка
∆ =
a
11
a
12
a
21
a
22
=
X
j
(
−1)
t
j
a
1j
1
a
2j
2
= a
11
a
22
+ (
−1)
1
a
12
a
21
.
j
1
, j
2
1, 2
2, 1
t
j
0
1

16
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Определитель 3-го порядка
Вопрос: Сколько перестановок можно составить из тр¨ех эле-
ментов?
Ответ: 3! (три факториал). 3! = 3 · 2 · 1 = 6.
∆ =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
X
j
(
−1)
t
j
a
1j
1
a
2j
2
a
3j
3
= a
11
a
22
a
33
+
+a
12
a
23
a
31
+ a
13
a
21
a
32
− a
13
a
22
a
31
− a
12
a
21
a
33
− a
11
a
23
a
32
.
3!























j
1
, j
2
, j
3
1, 2, 3
3, 2, 1
2, 3, 1
2, 1, 3
1, 3, 2
3, 1, 2
t
j
0
3
2
1
1
2
t
j
− ч¨етная
t
j
− неч¨етная
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
Свойства определителя
1. Определитель n-го порядка сводится к вычислению опре-
делителей n −1-го порядка посредством его разложения по
какой-либо строке (столбцу).
det A =
n
X
i=1
(
−1)
i+k
a
ik
M
ik
=
n
X
k=1
(
−1)
i+k
a
ik
M
ik
.
F
M
ik
— определитель n
− 1-го порядка, называемый мино-
ром, полученный из основного определителя, вычеркива-
нием i-той строки и k-того столбца.
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
3
X
k=1
(
−1)
1+k
a
1k
M
1k
=

Лекция 2. Определители и их свойства
17
= (
−1)
1+1
a
11
M
11
+ (
−1)
1+2
a
12
M
12
+ (
−1)
1+3
a
13
M
13
=
= a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
− a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+ a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
.
2. Определитель транспонированной матрицы равен опреде-
лителю исходной матрицы.
F
Транспонированной матрицей называется такая матрица,
у которой все строки заменены соответствующими столб-
цами.
A =
 
a
11
a
12
a
21
a
22
!
6= A
T
=
 
a
11
a
21
a
12
a
22
!
, при a
12
6= a
21
.
det A = det A
T
.
3. Если поменять в определителе местами какие-либо две стро-
ки (столбца), то определитель изменит знак.
a
11
a
12
a
21
a
22
=

a
21
a
22
a
11
a
12
.
a
22
a
11
− a
21
a
12
=
−(a
21
a
12
− a
22
a
11
).
4. Если какую-либо строку (столбец) определителя умножить
на число, то такой определитель будет отличаться от ис-
ходного умножением на это число.
det A
0
=
X
j
(
−1)
t
j
a
0
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
=
n
a
0
1j
1
= ka
1j
1
o
=
=
X
j
(
−1)
t
j
ka
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
= k
X
j
(
−1)
t
j
a
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
.
det A
0
= k det A.

18
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) определи-
теля равны 0, то такой определитель равен 0.
6. Если в определителе какие-либо две строки (столбца) рав-
ны между собой, то такой определитель равен 0.
По третьему свойству, после перестановки строк (столбцов) опре-
делитель должен сменить знак, но с другой стороны после пере-
становки одинаковых строк (столбцов) определитель не должен
измениться, т.е.

0
=
−∆

0
= ∆
)
=
⇒ ∆
0
= ∆ = 0.
7. Если к элементам какой-либо строки (столбца) определи-
теля прибавить элементы другой строки (столбца) этого
же определителя, умноженные на любое число, то опреде-
литель не изменится.
det A
0
=
X
j
(
−1)
tj
a
0
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
=
=
X
j
(
−1)
tj
(a
1j
1
+ ka
2j
2
)a
2j
2
. . . a
nj
n
=
=
X
j
(
−1)
tj
a
1j
1
a
2j
2
. . . a
nj
n
+ k
X
j
(
−1)
tj
a
2j
2
a
2j
2
. . . a
nj
n
|
{z
}
= 0
по
6-ому свойству
= det A.
Пример 1.
Вычислить определитель.
B
1 2 3
4 5 6
7 8 9
=
1
0
0
4
−3
−6
7
−6 −12
= 1(
−1)
1+1
2
3 6
3 6
= 0
C
• Вычисление опpеделителей пpоводится пут¨ем последователь-
ного понижения поpядка опpеделителя посpедством элементаp-
ных пpеобpазований, не меняющих его значение (7-ое свойство).

Лекция 3. Матрицы и действия над ними
19
Лекция 3. Матрицы и действия над ними
Произведение матриц в отличие от произведения чисел зави
-
сит от порядка сомножителей
, и более того, не всякие мат-
рицы можно перемножать или складывать
.
F
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел или
буквенных выражений, содержащая m-строк и n-столбцов.
A = (a
ij
) =
b
a =






a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · · a
mn






= (m
× n).
F
Квадратной матрицей называется матрица, у которой чис-
ло строк равно числу столбцов — (n × n) .
F
Матрицы равны между собой, если равны все соответству-
ющие элементы этих матриц.
A = B, если a
ij
= b
ij
, где i = 1, m;
j = 1, n.
F
Матрица,содержащая один столбец или одну строку, на-
зывается вектором.
(m
× 1) =






c
1
c
2
..
.
c
m






=


c ; (1
× m) = (c
1
c
2
. . . c
m
) =


c
T
.
F
Hулевой матрицей называется матрица, у которой все эле-
менты равны нулю.
b
0 =
 
0 0
0 0
!
, в частности,


0 =
 
0
0
!

20
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Действия над матрицами
Сложение матриц
F
Pезультатом сложения двух матриц является матрица, каж-
дый элемент которой представляет собой сумму соответ-
ствующих элементов матриц.
b
a +
b
b =
b
c
|
{z
}
(m×n)+(m×n)=(m×n)
,
где c
ij
= a
ij
+ b
ij
.
 
1 3
2 4
!
+
 
5
6
!
=
(
не имеет
смысла
• Складываются только матрицы одинаковой размерности.
 
1
2
!
+
 
3
4
!
=
 
4
6
!
.

1 2

+
 
3
11
!
=
(
не имеет
смысла
а
) A + B = B + A
— переместительное свойство.
б
) (A + B) + C = A + (B + C)
— сочетательное свойство.
Умножение матрицы на число
F
Pезультатом умножения матрицы на число является мат-
рица, каждый элемент которой умножен на это число.
λ
·
b
a =
b
c
| {z }
λ·(m×n)=(m×n)
,
где c
ij
= λ
· a
ij
3
 
1 5
−2 4
!
=
 
3 15
−6 12
!
3
1 5
−2 4
=
3 15
−2 4
=
3 5
−6 4











Сравни
!

Лекция 3. Матрицы и действия над ними
21
Умножение матриц
F
Pезультатом умножения матриц, будет матрица, каждый
элемент которой является результатом перемножения со-
ответствующей строки первой матрицы на соответствую-
щий столбец второй матрицы.
b
a
·
b
b =
b
c
| {z }
(m×n)(n×k)=(m×k)
,
где c
ij
=
n
X
l=1
a
il
b
lj
 
a
11
a
12
a
21
a
22
!  
b
11
b
12
b
21
b
22
!
=
 
c
11
c
12
c
21
c
22
!
=
=
 
a
11
b
11
+ a
12
b
21
a
11
b
12
+ a
12
b
22
a
21
b
11
+ a
22
b
21
a
21
b
12
+ a
22
b
22
!
.
• Перемножаются только такие две матрицы, у которых число
столбцов первой равно числу строк второй матрицы.
Пример 1.
Вычислить.
B



1 2
3 4
5 6



·
 
0
−2 4
1
3 2
!
=



2 4
8
4 6 20
6 8 32



|
{z
}
(3×2)(2×3)=(3×3)
C
Пример 2.
Вычислить.
B
 
0
−2 4
1
3 2
!



1 2
3 4
5 6



=
 
14 16
20 26
!
|
{z
}
(2×3)(3×2)=(2×2)
C
• Умножение матриц не обладает перестановочным свойством,
более того, при перестановке может меняться размерность.
A
· B 6= B · A.

22
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
F
Единичной матрицей называется такая квадратная мат-
рица, диагональные элементы которой равны единицам, а
остальные равны нулю.
E =
b
1 =
 
1 0
0 1
!
.
• Единичная матрица, а также нулевая квадратная матрица,
обладают перестановочным свойством по отношению к квад-
ратной матрице той же размерности.
b
0
·
b
a =
b
a
·
b
0 =
b
0;
b
1
·
b
a =
b
a
·
b
1 =
b
a.
 
1 0
0 1
!  
1 2
3 4
!
=
 
1 2
3 4
!  
1 0
0 1
!
=
 
1 2
3 4
!
.
P
анг матрицы
F
Pангом матрицы называется наибольший порядок отлич-
ного от нуля определителя, порожденного данной матри-
цей.
• При вычислении ранга матрицы производят те же преобразо-
вания, что и при вычислении определителя.
Пример 3.
Найти ранг матрицы.
B



1 2 3
4 5 6
7 8 9







1 4 7
2 5 8
3 6 9







1
4
7
0
−3
−6
0
−6 −12








1 4 7
0 3 6
0 3 6







1 4 7
0 3 6
0 0 0



, r(ранг)= 2
C
• Pанг матрицы фактически равен числу отличных от нуля эле-
ментов, примыкающих к гипотенузе нулевого треугольника.

Лекция 4. Системы линейных уравнений и их исследование 23
Лекция 4. Системы линейных уравнений
и их исследование
Не только в математике
, но и в жизни, люди нередко ставят
и пытаются решать задачи
, которые не имеют решения. Нам
нужно научиться определять
: имеет ли система одно реше-
ние
, нуль решений или множество решений.
F
Системой линейных алгебраических уравнений, содержа-
щей m уравнений и n неизвестных, называется выражение
следующего вида:









a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
12
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
· · · · · · · · · · · · ·
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
где a
ij
— коэффициенты системы, i = 1, m, j = 1, n ;
x
j
— неизвестные, b
i
— свободные члены.






a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · · a
mn












x
1
x
2
..
.
x
n






=






b
1
b
2
..
.
b
m







матричная
форма
A
·


x =


b
— операторная форма
n
X
j=1
a
ij
x
j
= b
i
,
i = 1, m — тензорная форма
F
Совокупность чисел α
1
, α
2
, . . . , α
n
или





α
1
α
2
· · ·
α
n





называ-
ется решением системы, если она обращает все уравнения
в тождества.

24
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
F
Система совместна, если она имеет хотя бы одно решение,
и несовместна, если она не имеет ни одного решения.
F
Система называется однородной, если все свободные чле-
ны равны нулю
A


x = 0,
где под 0 подразумевается нулевой вектор


0 .

det A = ∆
— определитель системы
F
Pасширенной матрицей системы называется матрица сис-
темы, дополненная столбцом свободных членов
B =






a
11
a
12
· · · a
1n
a
21
a
22
· · · a
2n
..
.
..
.
. ..
..
.
a
m1
a
m2
· · · a
mn
b
1
b
2
..
.
b
m






.
Теорема Кронекера
-Капелли
Система совместна, если ранг A равен рангу B и несовместна,
если ранг B больше ранга A.
I
1.
Пусть система совместна, тогда
α
1





a
11
a
21
· · ·
a
m1





+ α
2





a
12
a
22
· · ·
a
m2





+ . . . + α
n





a
1n
a
2n
· · ·
a
mn











b
1
b
2
· · ·
b
m





,
т.е. столбец свободных членов является линейной комбинацией
столбцов матрицы системы. Исходя из седьмого свойства опре-
делителя и определения ранга матрицы приходим к выводу, что
ранг A равен рангу B ( r
A
= r
B
).

Лекция 4. Системы линейных уравнений и их исследование 25
2. Пусть r
B
> r
A
. В этом случае столбец свободных членов
не может сводиться к линейной комбинации столбцов матрицы
системы, т.е.





b
1
b
2
· · ·
b
m





6≡ α
1





a
11
a
21
· · ·
a
m1





+ α
2





a
12
a
22
· · ·
a
m2





+ . . . + α
n





a
1n
a
2n
· · ·
a
mn





Последнее означает, что система несовместна.
J
Вопрос: В ч¨ем нестрогость пров¨еденного доказательства?
Ответ: В первом пункте показано обратное.
Первый случай
Пусть m = n,


b
6= 0.
а
) Если ∆
6= 0, то r
A
= r
B
= r = n, x
i
=

i

.
б
) Если ∆ = 0, то либо r
B
> r
A
, либо r
A
= r
B
= r < n.
Последние два случая рассмотрены в Примерах 1 и 2.
Пример 1.
Решить:
(
x + y = 1 ,
−x − y = 2 .
B
1.
Исследование на совместность.
B =
 
1
1
−1 −1
1
2
!

 
1 1
0 0
1
3
!


r
A
= 1,
r
B
= 2
)
r
B
> r
A
.
Ответ: Система несовместна.

Download 1.42 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling