Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики


Download 1.42 Mb.
Pdf ko'rish
bet3/23
Sana24.04.2020
Hajmi1.42 Mb.
#101093
TuriЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Bog'liq
konspekt lekciy 123 semestra vlasov
badiiy tahlil asoslari (3), choliqushi va otkan kunlar romanlaridagi badiiy tasvir vositalarining qiyosiy tahlili, badiiy asar tahlili, konspekt lekciy 123 semestra vlasov, badiiy tahlil asoslari (1), 100 tests on mathematics inha university in tashkent 2015, Ma’ruza№1 mavzu kasbiy psixologiya faniga kirish. Fanning pr, Dis mat, parol o`, Elektrotexnikaning nazariy asoslari, Laboratoriya 1-2, Diskret1 mustaqil ish, 2.Lesson 2-line graph worksheet, 01 Sentence Structure DVD
C

26
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Пример 2.
Решить:
(
x + y = 1 ,
−x − y = −1 .
B
1.
Исследование на совместность.
B =
 
1
1
−1 −1
1
−1
!

 
1 1
0 0
1
0
!
r
A
= r
B
= r = 1 — система совместна.
2.
Число свободных параметров (неизвестных).
n
− r = 2 − 1 = 1 — один свободный параметр.
3.
Нахождение неизвестных.
(
x + y = 1,
−x − y = −1;
y = c , тогда x = 1
− c .
4.
Проверка.
 
1
1
−1 −1
!  
1
− c
c
!
=
 
1
− c + c
−1 + c − c
!
=
 
1
−1
!
.
Ответ:


x =
 
1
− c
c
!
C
Второй случай
m = n,


b = 0.
Очевидно, что однородная система всегда совместна.
r
A
= r
B
= r
6
n , x
i
=

i

, прич¨ем ∆
i
= 0 .
а
) Если ∆
6= 0, то x
i
=
0

= 0 — тривиальное решение.
б
) Если ∆ = 0, то x
i
=

0
0

— бесконечно много решений.

Лекция 4. Системы линейных уравнений и их исследование 27
Пример 3.
Решить:





x
− y + 3z = 0 ,
2x + 3y
− z = 0 ,
3x + 2y + 2z = 0 .
B
1.
A =



1
−1
3
2
3
−1
3
2
2







1
−1
3
0
5
−7
0
5
−7








1
−1
3
0
5
−7
0
0
0



=

r = 2 .
2.
n = 3 , n
− r = 3 − 2 = 1 .
3.
z = c +





x
− y + 3z = 0
2x + 3y
− z = 0
3x + 2y + 2z = 0
=

=

(
x
− y = −3c
2x + 3y = c
∆ =
1
−1
2
3
= 5,

1
=
−3c −1
c
3
=
−8c,

2
=
1
−3c
2
c
= 7c .
x =

1

=

8
5
c,
y =

2

=
7
5
c,
z = c .
4.
Проверка:



1
−1
3
2
3
−1
3
2
2



c
5



−8
7
5



=
c
5



−8 − 7 + 15
−16 + 21 − 5
−24 + 14 + 10



=



0
0
0



.
Ответ:


x =
c
5



−8
7
5



C

28
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 5. Решение систем линейных
уравнений
Существует несколько методов решения систем линейных
алгебраических уравнений
. В частности, решение системы мо-
жет быть сведено к перемножению двух матриц
.
Третий случай
Число уравнений не равно числу неизвестных: m 6= n.
Пример 1.
Решить:
(
x
− 2y + 3z = 0 ,
2x + y
− z = 0 ;
n = 3 ,
m = 2 .
B
1.
 
1
−2
3
2
1
−1
0
0
!

 
1
−2
3
0
5
−7
0
0
!
|
{z
}
r=2, система совместна
2.
r = 2 , n
− r = 3 − 2 = 1 .
3.
z = c
+
(

(
x
− 2y = −3c ,
2x + y = c .
∆ =
1
−2
2
1
= 5,

1
=
−3c −2
c
1
=
−c .

2
=
1
−3c
2
c
= c + 6c = 7c
⇒ x = −
c
5
, y =
7c
5
.
4.
 
1
−2
3
2
1
−1
!




c
5
7c
5
c



=
 

c
5

14c
5
+ 3c

2c
5
+
7c
5
− c
!
=
|
{z
}
(2×3)(3×1)=(2×1)

Лекция 5. Решение систем линейных уравнений
29
=
 

15c
5
+
15c
5
5c
5
− c
!
=
 
0
0
!
.
Ответ:


x =




c
5
7c
5
c


 C
P
ешение систем линейных алгебраических
уравнений методом обратной матрицы
A
−1
— обратная матрица
F
Матрица называется обратной к данной квадратной мат-
рице, если их произведение равно единичной матрице.
A
· A
−1
= A
−1
· A =
b
1 =
b
E =






1 0
· · · 0
0 1
· · · 0
..
.
..
.
. .. ...
0 0
· · · 1






• Обратная матрица существует только для невырожденной квад-
ратной матрицы.
F
Вырожденной квадратной матрицей называется такая мат-
рица, определитель которой равен нулю.
Задача
1
Пусть A


x =


b , где A — квадратная матрица.
Выразить −

x через A
−1
.
I
A
−1
| A


x =


b
⇒ A
−1
A


x = A
−1


b
т.к.
b
1


x =


x , то


x = A
−1


b
— операторная форма
x
i
=
n
X
j=1
a
ij
−1
b
j
— тензорная форма
J

30
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
2
Hайти элементы обратной матрицы a
ij
−1
.
I
Для нахождения элементов обратной матрицы воспользуемся
формулой Крамера.
x
i
=

i

, ∆
i
=
n
X
j=1
(
−1)
i+j
b
j
M
ji
x
i
=
n
X
j=1
a
ij
−1
b
j
, x
i
=

i

=
n
X
j=1
(
−1)
i+j
M
ji

b
j
|
{z
}
w
w
w

a
−1
ij
=
(
−1)
i+j
M
ji

J
Пример 2.
Найти A
−1
, если A =
 
1 2
3 4
!
.
B
M
11
= 4 , M
12
= 3 ,
M
21
= 2 , M
22
= 1 .
∆ =
1 2
3 4
=
−2.
a
11
−1
=
−2 , a
12
−1
= 1 ,
a
21
−1
=
3
2
,
a
22
−1
=

1
2
.
Проверка:
 
−2
1
3
2

1
2
!  
1 2
3 4
!
=
 
1 0
0 1
!
.
Ответ:
A
−1
=
 
−2
1
3
2

1
2
!
C

Лекция 5. Решение систем линейных уравнений
31
Пример 3.
Решить методом обратной матрицы:
(
x + 2y = 4 ,
3x + 4y = 12 .
B


x = A
−1


b =
 
−2
1
3
2

1
2
!  
4
12
!
=
 
4
0
!
.
Проверка:
 
1 2
3 4
!  
4
0
!
=
 
4
12
!
.
Ответ:


x =
 
4
0
!
C
Вычисление обратной матрицы методом Гаусса
Алгоритм вычисления обратной матрицы методом Гаусса со-
стоит в следующем преобразовании:
(A
|E) ⇒ (E|A
−1
)
которое пpоводится посpедством тех же элементаpных дейст-
вий, что и при вычислении опpеделителей.
Пример 4.
Найти A
−1
, если A =
 
1 2
3 4
!
.
B
 
1 2
3 4
1 0
0 1
!
=

 
1
2
0
−2
1 0
−3 1
!
=

=

 
1
0
0
−2
−2 1
−3 1
!
=

 
1 0
0 1
−2
1
3
2

1
2
!
.
Ответ: A
−1
=
 
−2
1
3
2

1
2
!
C

32
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 6. Скалярное произведение
векторов
В этой лекции мы углубим школьное знакомство со скалярным
произведением векторов
, а также с преобразованием векто-
ров из прямоугольной системы координат в косоугольную
.
Вектор в n-мерном пространстве
F
Множество R называется линейным пространством, а его
элементы — векторами, если для любых двух векторов


a
и


b определена их сумма


a +


b
∈ R и произведение
α


a
∈ R, где α — любое число; и выполнены условия:
1.


a +


b =


b +


a .
2. (


a +


b ) +


c =


a + (


b +


c ).
3. α


a + α


b = α(


a +


b ).
4. α


a + β


a = (α + β)


a .
5. α(β


a ) = (αβ)


a .
6. 1
·


a =


a .
7.


a +


0 =


a , где


0 — нуль-вектор.
8.


a



a =


0 .
F
Заданные векторы пространства R называют линейно за-
висимыми, если существует равная нулю нетривиальная
линейная комбинация этих векторов:
n
X
k=1
α
k


a
k
= 0 , где α
k
6= 0 .
В противном случае эти векторы называют линейно неза-
висимыми.

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
33
F
Размерность пространства — это максимальное число со-
держащихся в н¨ем линейно независимых векторов.
F
Упорядоченную систему n линейно независимых векторов
называют базисом пространства R
n
.
F
Вектор в линейном n-мерном пространстве R
n
представ-
ляет собой матрицу размерности (n × 1) или (1 × n).


a = (n
× 1) =






a
1
a
2
..
.
a
n








a
T
= (1
× n) = (a
1
a
2
. . . a
n
) — транспонированный вектор.
Скалярное произведение векторов
F
Скалярным произведением двух ненулевых векторов назы-
вается матричное произведение этих векторов (строка на
столбец), результатом которого является скаляр:



a ,


b

= (a
1
a
2
. . . a
n
)






b
1
b
2
..
.
b
n






= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ . . . + a
n
b
n



a ,


b

=


a
T


b =


a
·


b
• Выше приведены различные обозначения скалярного произве-
дения векторов. Знак транспонирования у векторов обычно для
краткости опускают.
(1
× n)(n × 1) = (1 × 1) — скаляр.

34
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
a
2
=


a
·


a = a
1
2
+ a
2
2
+ . . . + a
n
2

квадрат модуля
вектора


a
= a =
q
a
1
2
+ a
2
2
+ . . . + a
n
2
=
r


a
·


a


модуль
вектора
• В скалярном произведении комплексных векторов первый век-
тор должен быть подвергнут не только операции транспониро-
вания, но и комплексного сопряжения.
Вектор в тp¨
ехмерном пространстве
F
Вектор в тp¨ехмерном пространстве в декаpтовой системе
кооpдинат опpеделяется одним из выpажений


x = (x y z) =


i x +


j y +


k z =



x
y
z



,
где x, y, z — кооpдинаты или пpоекции вектоpа, а


i =



1
0
0



,


j =



0
1
0



,


k =



0
0
1



единичные оpтогональные вектоpы, задающие декаpтов
базис.


a
·


b = a
x
b
x
+ a
y
b
y
+ a
z
b
z

скалярное произведение
в т
p¨ехмерном пространстве
Задача
1
Показать, что векторы


i ,


j ,


k являются единичными и оp-
тогональными (самостоятельно).

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
35
Задача
2
Установить связь между направляющими косинусами вектора.
6
-
-
x
y
z


a
β
α
γ
6


i


k


j




*
I


a = a(


i cos α +


j cos β +
+


k cos γ) ,


a
·


i = a cos α = пр
~i


a

проекция вектора


a на базис-
ный вектор


i , т.к.
(cos α cos β cos γ)



1
0
0



= cos α
cos α =
пр
~i


a
a
,
cos β =
пр
~j


a
a
,
cos γ =
пр
~k


a
a


a
·


a = a
2
(cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ) = a
2
|
{z
}

cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1
J
Задача
3
Выразить


a
·


b через косинус угла между этими векторами.
6
-
z
x
y


a
ϕ
6


b






*
I
Вектор −

b направим по оси
y, тогда


b = b



0
1
0



,


a = a



cos α
cos ϕ
cos γ





a
·


b = ab (0
· cos α +
+1
· cos ϕ + 0 · cos γ) = ab cos ϕ.

36
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
• Скалярное произведение векторов равно произведению моду-
лей этих векторов на косинус угла между ними.


a
·


b = ab cos ϕ
=
⇒ cos ϕ =


a
·


b
ab
= cos
d


a


b
J
• Скалярное произведение ортогональных (перпендикулярных)
векторов равно нулю.
• Сказанное верно в n-мерном пространстве.
H
еравенство Коши-Буняковского
Задача
4
Показать, что в n-мерном пространстве выполняется неравен-
ство



a
·


b

2
6



a
·


a



b
·


b

.
I
Введ¨ем вспомогательный вектор


a + λ


b
Очевидно, что



a + λ


b



a + λ


b

>
0



a
·


a

+ 2λ



a
·


b

+ λ
2



b
·


b

>
0
Пусть


a
·


a = C,
Тогда

2
+ Bλ + C
>
0,
2


a
·


b = B,
если
D = B
2
− 4AC
6
0.


b
·


b = A.
Отсюда:
4



a
·


b

2
− 4



a
·


a



b
·


b

6
0
|
{z
}




a
·


b

2
6



a
·


a



b
·


b

J

Лекция 6. Скалярное произведение векторов
37
Вектор в косоугольном базисе тр¨
ех векторов
Задача
5
Пусть задано 4 вектора


a ,


b ,


c и


d в декартовой системе
координат. Требуется найти вектор


d в базисе
n


a ,


b ,


c
o
.
-
-


b


a
λ
1


a
λ
2


b


d




















3
I


d = λ
1


a + λ
2


b + λ
3


c
λ
1
, λ
2
, λ
3
= ?
Если расписать это векторное равенство,
то получим систему линейных алгебраи-
ческих уравнений:





λ
1
a
x
+ λ
2
b
x
+ λ
3
c
x
= d
x
m = 3
λ
1
a
y
+ λ
2
b
y
+ λ
3
c
y
= d
y
n = 3
λ
1
a
z
+ λ
2
b
z
+ λ
3
c
z
= d
z

6= 0





⇒ λ
i
=

i

Ответ:


d =

1



a +

2



b +

3



c
J
Пример 1.
Пусть −

a =



1
0
0



,


b =



1
1
0



,


c =



1
1
1



и −

d =



2
0
−1



. Hайти вектор


d в базисе
n


a ,


b ,


c
o
.
B
∆ =
1 1 1
0 1 1
0 0 1
= 1, ∆
1
=
2
1 1
0
1 1
−1 0 1
=
1
2
2 1 1
0 1 1
0 1 3
= 2.
Аналогично находятся: ∆
2
= 1, ∆
3
=
−1.
Ответ:


d = 2


a +


b



c
или −

d = (2, 1,
−1) в базисе
n


a ,


b ,


c
o
.
C

38
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 7. Векторное и смешанное
произведение векторов
Результатом перемножения двух векторов может быть не
только скаляр
, но и вектор, скалярное умножение которого
на третий вектор да
¨ет смешанное произведение.
Задача
1
Hайти вектор, ортогональный двум заданным векторам.
Дано:


a =



a
x
a
y
a
z



,


b =



b
x
b
y
b
z



. Hайти вектор


N



a ,


b .
I
По условию и свойству скалярного произведения


N
·


a =


N
·


b = 0

x y z




a
x
a
y
a
z



=

x y z

Download 1.42 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling