Лекции по восьми основным разделам курса высшей математики. Именно такой объ¨ем мате матики


Download 1.42 Mb.
Pdf ko'rish
bet4/23
Sana24.04.2020
Hajmi1.42 Mb.
#101093
TuriЛекции
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23
Bog'liq
konspekt lekciy 123 semestra vlasov
badiiy tahlil asoslari (3), choliqushi va otkan kunlar romanlaridagi badiiy tasvir vositalarining qiyosiy tahlili, badiiy asar tahlili, konspekt lekciy 123 semestra vlasov, badiiy tahlil asoslari (1), 100 tests on mathematics inha university in tashkent 2015, Ma’ruza№1 mavzu kasbiy psixologiya faniga kirish. Fanning pr, Dis mat, parol o`, Elektrotexnikaning nazariy asoslari, Laboratoriya 1-2, Diskret1 mustaqil ish, 2.Lesson 2-line graph worksheet, 01 Sentence Structure DVD




b
x
b
y
b
z



= 0.
или
и тем самым задача сводится к решению системы:
(
xa
x
+ ya
y
+ za
z
= 0,
xb
x
+ yb
y
+ zb
z
= 0;
m = 2,
n = 3.
1.
Если векторы коллинеарны, то


a = λ


b и тогда
 
λb
x
λb
y
λb
z
b
x
b
y
b
z
0
0
!
=
⇒ λ
 
b
x
b
y
b
z
0
0
0
0
0
!
.
-
C
C
CCO
C
C
CCW






-


b


a
Отсюда r = 1, n − r = 3 − 1 = 2.
Здесь решением является множество
векторов, лежащих в плоскости, орто-
гональной векторам


a = λ


b .

Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
39
2.
Если −

a
6= λ


b , то r = 2, n
− r = 3 − 2 = 1
(один свободный параметр).
z = c
+
(
=

xa
x
+ ya
y
=
−ca
z
,
xb
x
+ yb
y
=
−cb
z
;
∆ =
a
x
a
y
b
x
b
y
, ∆
1
=
−ca
z
a
y
−cb
z
b
y
= c
a
y
a
z
b
y
b
z
.
x =
c
a
y
a
z
b
y
b
z
a
x
a
y
b
x
b
y
, y =
−c
a
x
a
z
b
x
b
z
a
x
a
y
b
x
b
y
.
Зададим c таким образом, чтобы решение упростилось, а имен-
но, c = ∆. Тогда


N =


i
a
y
a
z
b
y
b
z



j
a
x
a
z
b
x
b
z
+


k
a
x
a
y
b
x
b
y
=


i


j


k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
F
Векторным произведением двух векторов называется век-
тор ортогональный этим векторам и определяемый фор-
мулой:


a
×


b =
h


a ,


b
i
=


i


j


k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
J
Свойства векторного произведения
1. Векторное произведение коллинеарных векторов равно ну-
лю.
2.
h
λ


a ,


b
i
= λ
h


a ,


b
i
.

40
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
3.
h


a ,


b
i
=

h


b ,


a
i
.
• Первые три свойства следуют из свойств определителя.
Задача
2
Выразить модуль векторного произведения через угол между
векторами.
6
z
x
y


a
ϕ


b







-


N
|


N
|
-
I
Выбираем систему коорди-
нат таким образом, чтобы


a = (a, 0, 0),


b = (b cos ϕ, b sin ϕ, 0).
Векторное произведение, после
подстановки


a и


b в форму-
лу, полученную в предыдущей
задаче, принимает вид:


a
×


b =


i


j


k
a
0
0
b cos ϕ b sin ϕ
0
=


k
a
0
b cos ϕ b sin ϕ
=
=


k ab sin ϕ.


a
×


b
= ab sin ϕ = S =


N
 J
4. Модуль векторного произведения равен площади паралле-
лограмма, построенного на этих векторах.
Смешанное произведение векторов
F
Смешанным произведением тр¨ех векторов называется ска-
лярное произведение одного из векторов на векторное про-
изведение двух других.

Лекция 7. Векторное и смешанное произведение векторов
41
Задача
3
Представить смешанное произведение векторов в виде опреде-
лителя.
I
Поскольку


a
×


b =


i



a
×


b

x
+


j



a
×


b

y
+


k



a
×


b

z
, то



c ,


a
×


b

= c
x



a
×


b

x
+ c
y



a
×


b

y
+ c
z



a
×


b

z
=
= c
x
a
y
a
z
b
y
b
z
− c
y
a
y
a
z
b
y
b
z
+ c
z
a
y
a
z
b
y
b
z
=
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
.



c ,


a
×


b

=
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z

смешанное
произведение
векторов
J
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение компланарных векторов равно
нулю.
F
Компланарными векторами называются векторы, лежа-
щие в одной плоскости.
Задача
4
Доказать 1-ое свойство.
I
Если


c лежит в той же плоскости, что и


a и


b , то


c = λ
1


a + λ
2


b .

42
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Тогда смешанное произведение векторов −

c ,


a и


b равно
λ
1
a
x
+ λ
2
b
x
λ
1
a
y
+ λ
2
b
y
λ
1
a
z
+ λ
2
b
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
= 0
J
2. Ч¨етная перестановка векторов в смешанном произведении
его не меняет:



c ,
h


a ,


b
i
=



a ,
h


b ,


c
i
=



b ,
h


c ,


a
i
.
Задача
5
Доказать 2-ое свойство.
I
Согластно известному свойству определителя (Лекция 2)
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
=
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
=
b
x
b
y
b
z
c
x
c
y
c
z
a
x
a
y
a
z
ч¨етная перестановка строк его не изменит.
J
3. Модуль смешанного произведения равен объ¨ему паралле-
пипеда, построенного на этих векторах.
Задача
6
Доказать 3-е свойство.













3
-
6


a


b


c
ϕ


a
×


b
6
?
h
I



c ,


a
×


b

=
= c


a
×


b
cos ϕ =
=
n
h = c cos ϕ
o
=
= Sh = Vпараллепипеда
J

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
43
Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
В различных по
pазмеpности пpостpанствах одно и то же ли-
нейное уравнение описывает
pазличные геометpические объек-
ты
.
Общие уравнения плоскости и прямой
Задача
1
Пусть плоскость задана тремя точками K, N и L с координа-
тами (x
1
, y
1
, z
1
), (x
2
, y
2
, z
2
) и (x
3
, y
3
, z
3
) соответственно.
Hайти условия принадлежности произвольной точки M (x, y, z)
этой плоскости.
x
-
y
z
-



=
M
K
N
PPP
P
q
L
D
6
I
Pешение будем
искать, основываясь на
известном свойстве сме-
шанного произведения
для компланаpных век-
торов:
−−→
KM
·

−−→
KN
×
−→
KL

= 0
Поскольку
−−→
KM = (x
− x
1
,
y
− y
1
,
z
− z
1
)
−−→
KN = (x
2
− x
1
, y
2
− y
1
, z
2
− z
1
)
−→
KL = (x
3
− x
1
, y
3
− y
1
, z
3
− z
1
)
, то
x
− x
1
y
− y
1
z
− z
1
x
2
− x
1
y
2
− y
1
z
2
− z
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
= 0.
=

(x
− x
1
)
y
2
− y
1
z
2
− z
1
y
3
− y
1
z
3
− z
1
|
{z
}
A
+(y
− y
1
)
z
2
− z
1
x
2
− x
1
z
3
− z
1
x
3
− x
1
|
{z
}
B
+

44
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
+(z
− z
1
)
x
2
− x
1
y
2
− y
1
x
3
− x
1
y
3
− y
1
|
{z
}
C
= 0;
A(x
− x
1
) + B(y
− y
1
) + C(z
− z
1
) = 0
|
{z
}
;

Ax + By + Cz + D = 0 —
общее уравнение
плоскости
J
Задача
2
Определить, какой геометрический объект описывается уравне-
нием z = 0.
I
пространство:
одномерное
{z}
z = 0
точка
двухмерное
{x, z}
z = 0
x - любые
прямая
тр¨ехмерное {x, y, z} z = 0 x, y - любые плоскость
J
Задача
3
Исследовать уравнение прямой, заданной пересечением двух плос-
костей.
I
(
Ax + By + Cz + D = 0
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0

общее уравнение
прямой
1. Если (A
1
B
1
C
1
) = λ (ABC), т.е. векторы коллинеарны.
 
A
B
C
A
1
B
1
C
1
−D
−D
1
!

 
A B C
0
0
0
−D
−D
1
+ λD
!
,
r
A
= 1
6= r
B
= 2.
Система несовместна и плоскости не пересекаются.
2. Если (A
1
B
1
C
1
)
6= λ (ABC), т.е. векторы неколлинеарны.
r
A
= r
B
= 2 и система совместна; n
− r = 3 − 2 = 1.

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
45
L
L
LHHH
HH
HH
H
L
L
L
L
L
L
L
L
L









L
L
L



H
H
HH
HH

(
By + Cz
=
−Ax − D,
B
1
y + C
1
z =
−A
1
x
− D
1
.
y =
−Ax − D
C
−A
1
x
− D
1
C
1
B
C
B
1
C
1
= kx + l.
Аналогично z = k
1
x + l
1
.
-
x
6
y
α
)
l
0
Если z = 0, т.е. A
1
= B
1
= D
1
= 0, то
заданная система уравнений да¨ет извест-
ное со школы уравнение прямой на плос-
кости
:
y = kx + l
где k = tg α − угловой коэффициент.
J
Параметрические уравнения плоскости и прямой
Задача
4
Пусть плоскость задана двумя векторами


p и


q , лежащими
на ней, и точкой M
0
с координатами (x
0
, y
0
, z
0
).
Найти условия принадлежности точки M(x, y, z) плоскости D.
x
-
y
z





1


p
M


q
M
0
0


r
0


r
-
HH
HHH
j

*
6
I
λ
1


p + λ
2


q =
−−−→
M
0
M =
=


r



r
0
.
Отсюда





λ
1
p
x
+ λ
2
q
x
= x
− x
0
λ
1
p
y
+ λ
2
q
y
= y
− y
0
λ
1
p
z
+ λ
2
q
z
= z
− z
0

параметрическое уравнение
плоскости
n = 5, r = 3, n
− r = 2 — число свободных параметров.
J

46
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
5
Пусть прямая задана направляющим вектором


a = (a
x
a
y
a
z
)
и точкой M
0
(x
0
, y
0
, z
0
). Найти условия принадлежности точки
M (x, y, z) этой прямой.
x
y
z

B
B
B
B
BBM





*
-
6

















*


a
M
0
M


r


r
0
I
−−−→
M
0
M =


r



r
0
= λ


a





x
− x
0
= λa
x
y
− y
0
= λa
y
z
− z
0
= λa
z

параметрическое
уравнение прямой
Исключая параметр λ получим:
x
− x
0
a
x
=
y
− y
0
a
y
=
z
− z
0
a
z

каноническое
уравнение прямой
J
Пример 1.
Пусть −

a = (2
− 1 0) и точка M
0
(1, 2, 1) при-
надлежат прямой. Записать каноническое уравнение этой пря-
мой.
B
x
− 1
2
=
y
− 2
−1
=
z
− 1
0
C
Векторные уравнения плоскости и прямой
Задача
6
Пусть плоскость задана нормальным единичным вектором


n



n
= 1

и точкой на плоскости M
0
(x
0
, y
0
, z
0
).
Записать уравнение этой плоскости.

Лекция 8. Уравнения плоскости и прямой
47
F
Hормальным вектором плоскости называется такой век-
тор, который ортогонален любому вектору, лежащему на
этой плоскости.
x
-
y
z


r
0


r
HH
H
j
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
#
#
#
##
#
#
#
##
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H


n
M
0
M








7
1
6




I
По условию −−−→
M
0
M перпен-
дикулярен


n . По свойству
скалярного произведения:
−−−→
M
0
M
·


n = 0.
Поскольку


r



r
0
=
−−−→
M
0
M ,
то получим



r



r
0

·


n = 0 — векторное уравнение плоскости
J
Задача 7
Пусть вектор −

a и точка
M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) принад-
лежат прямой. Записать уравнение прямой через векторы, без
привлечения параметра.
x
y
z

B
B
B
B
BBM





*
-
6

















*


a
M
0
M


r


r
0
I
Поскольку
−−−→
M
0
M =


r



r
0


a ,
то используя свойство вектор-
ного произведения, получим



r



r
0

×


a = 0 — векторное уравнение прямой
J

48
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Лекция 9. Уравнения прямой и плоскости
Одна и та же прямая или плоскость могут быть описаны раз
-
личными уравнениями
. Выбор того или иного уравнения опре-
деляется постановкой задачи
.
Уравнение плоскости в отрезках
Задача
1
Hайти связь между уравнениями
Ax + By + Cz + D = 0 (1) и
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 (2) ,
и определить смысл a, b, c.
x
y
z






H
H
H
H
H
H
H







a
b
c
6
-
I
Вопрос: Как осуществить пе-
реход от (1) к (2)?
Ответ: Поделить на −D.
Ax
−D
+
By
−D
+
Cz
−D
= 1,
a =

D
A
, b =

D
B
, c =

D
C
.
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 — уравнение плоскости в отрезках
J
Уравнение прямой в отрезках
Задача
2
Преобразовать общее уравнение прямой
(
Ax + By + Cz + D = 0,
z = 0;
к уравнению прямой в отрезках.

Лекция 9. Уравнения прямой и плоскости
49
-
6
y
x
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l





b
|
{z
}
a
I
Ax + By + D = 0
| : (−D)
|
{z
}

x
a
+
y
b
= 1 —
уравнение
прямой
в отрезках
где a = −
D
A
b =

D
B
J
Уравнение плоскости в нормальном виде
Задача
3
Пусть нормальный вектор плоскости задан направляющими ко-
синусами


n =



cos α
cos β
cos γ



,
и известно кратчайшее расстояние p от этой
плоскости до начала координат. Уравнение
плоскости выразить через эти величины.
x
-
y
z
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
#
#
#
##
#
#
#
##
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
~n
M
0
M
6
-

p
>
*













r
0


r
I



r



r
0

·


n = 0


r


n =


r
0


n ,


r =



x
y
z



(x y z)



cos α
cos β
cos γ



=


r
0


n ,
где


n
= 1.
Поскольку −

r
0


n = пр


n


r
0
= p, то получим
x cos α + y cos β + z cos γ = p

уравнение плоскости
в нормальном виде
J

50
Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Задача
4
Дано уравнение плоскости в общем виде.
Hайти расстояние p от плоскости до начала координат.
I
Вопрос: Каким образом вы предлагаете решать эту задачу?
Ответ: Необходимо перейти от уравнения плоскости в общем

Download 1.42 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling