Logarifmik qoldiq. Argument prinsipi. Rushe teoremasi. Modulning maksimum prinsipi. Shvars lemmasi Logarifmik qoldiq

Logarifmik qoldiq. Argument prinsipi. Rushe teoremasi. Modulning maksimum prinsipi. Shvars lemmasi


Logarifmik qoldiq.

Teorema 1(logarifmik qoldiq haqida). Agar va funksiyalar chekli sondagi qutb maxsus nuqtalardan tashqari chekli bog’lamli sohaning barcha nuqtalarida va uning chegarasida regulyar bo’lib, soha chegarasi da bo’lsa, u holda

(1)

tenglik o’rinli bo’ladi. Bunda va orqali mos ravishda funksiyaning sohadagi nollari va qutblarining soni belgilangan. Har bir nol yoki qutbning karrasi qancha bo’lsa, o’shancha nol yoki qutb deb hisoblanadi.

Isbot. funksiya sohada chekli sondagi qutb maxsus nuqtalarga ega bo’lishi mumkin. Bu funksiya boshqa xildagi maxsuslikka ega emas. Chunki bu funksiya meromorf funksiya sifatida va sohada regulyar funksiyalarning nisbati sifatida sohaning ixtiyoriy nuqtasida yo regulyar yoki unda qutb maxsus nuqtaga ega bo’lishi mumkin. Faraz qilaylik, nuqta funksiya uchun - tartibli nol bo’lsin. U holda funksiya ko’rinishda ifodalanib, bunda funksiya nuqtada regulyar va bo’ladi. Shuning uchun

Shunga o’xshash, - tartibli qutbni - tartibli nol deb qarash mumkinligi uchun, agar - tartibli qutb ( funksiya uchun) bo’lsa, u holda ni hosil qilamiz. Bu yerdan (1) formulaning o’rinliligini olamiz. Teorema isbot bo’ldi.

Argument prinsipi. bo’lganligi uchun quyidagi tenglikni olamiz:



Bunda nuqta chegara har bir komponentasini musbat yo’nalishda bir marta aylanib o’tgandagi funksiya variasiyasi o’zgarishi yig’indisidan iborat. Bu yerdan (1) formulaga ko’ra (2)

ni olamiz. va bir qiymatli hamda ko’p qiymatli funksiya bo’lganligi uchun . U holda (2) dan

(3)

formulani hosil qilamiz. (3) formula argument prinsipini ifodalaydi.