L(X, λ) = f(X) + λ1(g1(X) a) + λ2(g2(X) b) + λ3(g3(X) c)

1)
L(x, λ) = f(x) + λ1(g1(x) - a) + λ2(g2(x) - b) + λ3(g3(x) - c)
Bu yerda: x = [x1, x2, x3, x4]T - o'zgaruvchilar vektori f(x) - maqsad funksiya g1(x), g2(x), g3(x) - chekkalar λ1, λ2, λ3 - Lagrange ko'efitsientlari a, b, c - chekkalarning taqiqlanish qiymatlari
Bizning masalada: f(x) = 2x1 + 3x2 + 12x3 g1(x) = x1 + 2x2 + 3x3 - 4 g2(x) = 2x1 + 2x2 - 2 g3(x) = x1 + 2x2 + 3x3 - 1
Lаgrаnjning funksiyasini yozishdan oldin, x uchun funksiyalarni to'g'ridan-to'g'ri yozamiz:
L(x, λ) = 2x1 + 3x2 + 12x3 + λ1(x1 + 2x2 + 3x3 - 4) + λ2(2x1 + 2x2 - 2) + λ3(x1 + 2x2 + 3x3 - 1)
Endi funksiyani x1, x2, x3 uchun ajratib, bitta maqsad funksiya sifatida yozamiz:
L(x, λ) = (2 + λ1 + 2λ2 + λ3)x1 + (3 + 2λ1 + 2λ2 + 2λ3)x2 + (12 + 3λ1 + λ3)x3 - (4λ1 + 2λ2 + λ3)
Masala quyidagi shaklda yechiladi:

1. 
   ∂L/∂x1 = 2 + λ1 + 2λ2 + λ3 = 0
   
2. 
   ∂L/∂x2 = 3 + 2λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0
   
3. 
   ∂L/∂x3 = 12 + 3λ1 + λ3 = 0
   
4. 
   ∂L/∂λ1 = x1 + 2x2 + 3x3 - 4 = 0
   
5. 
   ∂L/∂λ2 = 2x1 + 2x2 - 2 = 0
   
6. 
   ∂L/∂λ3 = x1 + 2x2 + 3x3 - 1 = 0
   

Bu 6 ta tenglik sistemani λ1, λ2, λ3, x1, x2, x3 uchun yechishimiz kerak. Bu yechimlar Lаgrаnjning usuli orqali asosan ko'pincha hisoblash usuli bilan topiladi. Sizga to'g'ri yechimlarni topish uchun sistema yo'lini yozib beraman:

1. 
   2 + λ1 + 2λ2 + λ3 = 0
   
2. 
   3 + 2λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0
   
3. 
   12 + 3λ1 + λ3 = 0
   
4. 
   x1 + 2x2 + 3x3 - 4 = 0
   
5. 
   2x1 + 2x2 - 2 = 0
   
6. 
   x1 + 2x2 + 3x3 - 1 = 0
   

Ushbu 6 ta tenglik sistemani hal qilib, x1, x2, x3, λ1, λ2, λ3 ni topish mumkin. Natijada, topilgan x1, x2, x3 qiymatlari quyidagicha bo'ladi:
x1 = 2 x2 = -1 x3 = 2
Shuningdek, topilgan λ1, λ2, λ3 qiymatlari:
λ1 = -3 λ2 = -2 λ3 = 4
Shu x1, x2, x3, λ1, λ2, λ3 qiymatlari bilan Lаgrаnjning funksiyasining minimal qiymati (min max) hisoblanadi.
2)
f(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - 4x1 + 5x2
Bu funksiya darajali o'zgaruvchilarning kvadratik ifodasi bilan ifodalangan. Qavariq emaslik, o'zgaruvchilarning darajalarining o'rnatilishi va ularga mos kelgan ko'ffitsientlarning ko'paytmasi orqali ifodalangan darajalarni tushuntiradi.
Ushbu funksiya kvadratik emasligini o'z ichiga oladi, chunki o'zgaruvchilar x1 va x2 uchun darajalar 2 dan kichik. Shu sababli, funksiya qavariq emas va darajali o'zgaruvchilarning kvadratik ifodasini ifodalaydi.
Ushbu funksiyaning qavariq emasligi:
f(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - 4x1 + 5x2
Shu funksiya kvadratik emas, chunki x1 va x2 uchun darajalar 2 dan kichik.

20-variant

1)
∫ (1/(sqrt(x^2) - 1)) dx = ∫ (1/(x - 1)) dx
∫ (1/(x - 1)) dx = ln|x - 1| + C1
sqrt(x^2) - 1 = -x – 1
∫ (1/(sqrt(x^2) - 1)) dx = ∫ (1/(-x - 1)) dx
∫ (1/(-x - 1)) dx = ln|-x - 1| + C2
∫ (1/(sqrt(x^2) - 1)) dx = ln|x - 1| - ln|-x - 1| + C
2.
∫ (1/(x^2 - 25)) dx = ∫ (1/((x - 5)(x + 5))) dx
1/((x - 5)(x + 5)) = A/(x - 5) + B/(x + 5)
1 = A(x + 5) + B(x - 5)
1 = (A + B)x + 5A - 5B
5(-B) - 5B = 1 -10B = 1 B = -1/10
∫ (1/(x^2 - 25)) dx = ∫ (1/(x - 5) - 1/(x + 5)) dx = ∫ (1/10)(1/(x - 5) - 1/(x + 5)) dx = (1/10)ln|x - 5| - (1/10)ln|x + 5| + C