Ma’ruza №6 Mavzu: Barqaror elektr va magnit maydoni (3- qism)


Download 94.31 Kb.
Pdf ko'rish
Sana06.06.2020
Hajmi94.31 Kb.
#115487
Bog'liq
Elektrodinamika-Ma'ruza-6


B.Yavidov ma’ruzalari 

6-1 


 

Ma’ruza № 6 

 

Mavzu: Barqaror elektr va magnit maydoni (3- qism) 

 

Auditoriya ishlari: 

 

Reja:  



1.  Toklarning hosil qilgan maynit maydoni. 

2.  Vektor potentsial. 

3.  Cehklangan toklar tizimi hosil qilgan magnit maydoni (Magnit multipol yoyish). 

 

Mustaqil ta’lim topshiriqlari: 

 

1.  O`zgarmas tok hosil qilgan magnit maydoni energiyasi.   



2.  O`zgarmas elektr toki. 

 

1.  1. Toklarning hosil qilgan maynit maydoni. 2. Vektor potentsial



 

 

O`tgan mashg`ulotlarimizda biz elektrostatika masalalarini qarab, ularni muhokama qilgan edik. Endi 



bugun magnitostatika masalalarini qarashni boshlaymiz.Magnitostatika masalalarini o`rganishda biz 

uchun dastlabki tenglamalar M- tizim tenglamalari bo`lib hisoblanadi. 

 

M-tizim: 



 

4

rot H



j

c

π

=



,     (6.1) 

div 0


B

=



 

 

 



 

 

(6.2) 



4

B

H

M

π

=



+

    (6.3) 



 

Bu yerda 

 va 

B

H

− mos ravishda magnit maydonining induktsiya va kuchlanganliklari,  



o`tgazuvchanlik toki zichligi,  - moddaning qutblanishi vektori. Bir jinsli, izotrpo va ferromagnit 

bo`lmagan muhitlar uchun (6.3) munosabat soda ko`rinishga keladi: 

 

B

H

μ

=



 

 



 

 

 



(6.4) 

 

(6.4) formuladagi 



μ

- moddaning magnit singdiruvchanligi. Yuqoridagi formulalar yordamida  

1) toklar zichligi   berilganda; 

2) doimiy magnitlar mavjudligida

3) kuchlanganligi 

0

 bo`lgan tashqi magnit maydoni mavjudligida; 

4) o`tao`tkazgichlar mavjudligida (to`liq toklar berilgan bo`lsa) 

magnit maydoni induktsiyasi   ni hisoblash mumkin. 

Keling oldiniga vakuumda berilgan toklar hosil qilgan magnit maydoni induktsiyasini topamiz. 

Buning uchun  



B.Yavidov ma’ruzalari 

6-2 


 

4

rot 



div 0

B

j

c

B

π



=



=



     (6.5) 

 

tenglamalar tizimini yechishimiz lozim. Tok zichligi 



j

 qanday tenglamaga bo`ysinishini aniqlash 

uchun (6.5) tenglamalar tizimining birinchi tenglamasining ikkala tomonidan divergentsiya olamiz: 

 

(



)

4

div rot div 



B

j

c

π

=



 

 

 



 

 

 



(6.6) 

 

Vektor tahlil kursidan ixtiyoriy 



a

 uchun 


(

)

div rot 0



a

=

 munosabat o`rinli bo`lganligidan, tok zichligi 



vektori qanoatlantiruvchi  

 

div 0



j

=

 



 

 

 



 

 

(6.7) 



 

tenglamani qo`lga kiritamiz. Tenglamalar tizimining ikkinchi tenglamasi 

div 0

B

=

 har doim bajarilishi 



uchun  

 

rot 



B

A

=

 



 

 

 



 

 

(6.8) 



 

bo`lishi shart! 



A

 miqdor vektor-potentsial deb ataladi. (6.8) ni (6.5) tenglamalar tizimining birinchi 

tenglamasiga qo`yamiz 

 

(



)

4

rot rot A



j

c

π

=



.   

 

 



 

 

(6.9) 



 

Vektor tahlil kursidan ixtiyoriy 



a

 uchun o`rinli bo`lgan 

 

(

)



 =grad 

(div )


rot rot 

a

a

a

Δ



 

 



 

 

 



(6.10) 

 

Munosabatdan foydalanib, (6.9) formulani 



 

(

)



4

div 


A

A

j

c

π

Δ − ∇



= −

 

 



 

 

 



 

(6.11) 


 

deb yozamiz. Berilgan magnit maydoni induktsiyasi 



B

 uchun (6.8) formuladan cheksiz ko`p vektor-

potentsiallar 

A

 ni topish mumkin. Yani 



A

 ning aniqlanishi bir qiymatli emas! Rostdan ham ixtiyoriy 

skalayr funktsiya 

ψ

 uchun  



 

(

)



rot grad 0

ψ

=



 

 

 



 

 

 



(6.12) 

 


B.Yavidov ma’ruzalari 

6-3 


 

munosabat o`rinli bo`lganligidan, 



A

 vektor-potentsial o`rniga, undan biror skalyar funktsiya 

ψ

 

gradientiga farq qiladigan boshqa bir  



 

grad 


A

A

ψ

′ = +



 yani 

 

A



A

ψ

′ = + ∇



   

 

 



(6.13) 

 

vektor-potentsialni olish mumkin. Vektor-potentsialning (6.13) formula bo`yicha almashtirilishi 



gradient almashtirish yoki kalibrli (darjali) almashtirish deb ataladi. (6.13) ni har doim 

 

div 0



A

=

 



 

 

 



 

 

 



(6.14) 

 

tanlanishi shart bajariladigan qilib tanlash mumkin. Buning uchun skalyar funktsiya 



ψ

 ni 


 

div 


A

ψ

Δ = −



  

 

 



 

 

 



(6.15) 

 

tenglamani qanoatlantiradigan qilib tanlashimis lozim. U holda, doimo 



div 0

A

=

 deb qabul qilishimiz 



va vektor-potentsialni 

 

4



div 0

A

j

c

A

π

⎧Δ = −





=

 



 

 

 



 

 

(6.16) 



 

tenglamalar tizimi yechimi sifatida topishimiz mumkin. Yani vektor-potentsial Puasson tenglamasini 

qanoatlantirar ekan. Shu Puasson tenglamasini yechib, yechimlar ichidan 

div 0


A

=

 shartni 



qanoatlantiradiganini olishimiz darkor. Puasson tenglamasining yechimi 

 

3



1

( )


( )

d

|



|

j r

A r

r

c

r

r



=



 

 



 

 

 



(6.17) 

 

ko`rinishda yoziladi. (6.17) formula bilan topilgan vektor-potentsial 



A

 

div 0



A

=

 shartni 



qanoatlantiradi.  

 

Uyga topshiriq: (6.17) formula bilan topilgan vektor-potentsial 



A

 

div 0



A

=

 shartni qanoatlantirishini 



tekshiring.  

 

 



 

(6.17) yechimga 

0

0

A



Δ =

 Laplas tenglamasini va 

div 0

A

=

 shartni qanoatlantiruvchi boshqa yechimni 



qo`shish mumkin. Agar toklar tizimi fazoda cheklangan bo`lsa va cheksizlikda nolga intiladiga 

yechimlar talab qilingan bo`lsa,  

0

0

A



=

 bo`ladi! Chunki vektor-potentsial garmonik funktsiya 

hisoblanadi va maksimum qoidasiga ko`ra 

 

0



lim

0

r



A

→∞

=



 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-4 


 

 

bo`lishi uchun 



0

0

A

=

 bo`lishi shart! 



 

(6.17) formulaga rotor amaliyotini qo`llab magnit maydoni induktsiyasini topamiz: 

 

3

3



1

( )


1

1

rot ( )



rot 

d

( ) d



|

|

|



|

j r

B

A r

r

j r

r

c

r

r

c

r

r







=

=

=













.  

(6.18) 


 

(6.18) dan Bio-Savar-Laplas formulasini qo`lga kiritamiz: 

 

3

3



( ) (

)

1



d

|

|



j r

r

r

B

r

c

r

r



× −





=



    (6.19) 



 

Demak, (6.5) va (6.19) tenglamalari o`zaro ekvivalent ekanligi ko`rsatildi. Agar muhitda magnit 

maydoni o`rganilayotgan bo`lsa, 

B

 o`rniga 



H

 qo`yilishi, 



j

 esa muhitning magnit singdiruvchanligi 

μ  

ga ko`paytirilishi kerak. 



 

 

3.  Cehklangan toklar tizimi hosil qilgan magnit maydoni (Magnit multipol yoyish). 

 

 

a radiusli sferaning hajmi V bo`lib, uning ichida toklarning taqsimoti 



j

bilan berilgan bo`lsin. Bu 

toklarning hosil qilgan magnit maydoni vektor-potentsiali  

 

3



1

( )


( )

d

|



|

j r

A r

r

c

r

r



=



 

 



bilan aniqlanadi. Vektor-potentsial ifodasiga kiradigan  

1

|



|

r

r

 



ni 

r

a

r

> >


 da to`g`ri bo`ladigan Teylor qatoriga yoyamiz  

( )


0

1

( 1)



1

|

|



!

l

l

l

r

r

r

l

r

=



=





 



va uni (6.17) ga qoyib vektor-potentsial uchun 

 

( )



1

1

0



0

( 1)


1

( 1)


1

( )


!

!

l



l

l

l

l

i

i

i

i

l

l

V

A r

j r

dV

M

cl

r

l

r



=

=



′ ′



=



=





.  



(6.20) 

 

ni olamiz. (6.20) ifodaga 



1

l

i

i

M

 tenzor kiritilgan bo`lib, u 2



– tartibli (pol) magnit momentni tavsiflaydi 

va  

 


B.Yavidov ma’ruzalari 

6-5 


 

1

1



1

l

l

i

i

i

i

V

M

x

x j dV

c



′ ′ ′

=





   (6.20) 

 

formula bilan aniqlanadi. 



1

l

i

i

M

 tenzorning har bir komponenti vektordan iborat.  Eng kichik tartibli 



multipol moment 

 

1



( 0)

0.

V



M

M

jdV

=

=



=

   



 

 

 



(6.21) 

 

Multipol yoyishning birinchi tartibli hadi 



 

( )


1

1

1



1

1

[[



]

]

2



V

V

A

j r

dV

r

j

dV

c

r

c

r



′ ′



= −



= −


×

× ∇


  



(6.22) 

 

ko`rinishga ega. (6.20) ifodani  



 

1

[



]

2

V



m

r

j dV

c

=

×



   


 

 

 



(6.23) 

 

formula bilan aniqlanadigan va toklar tizimining magnit moment deb ataluvchi kattalikni kiritib, 



 

1

3



[

]

m r



A

r

×

=



 

 

 



 

 

 



(6.24) 

 

shaklda yozish mumkin. 



0

r

>

 da bajariladigan 



 

3

3



[

]

(



)

rot 


m r

m r

r

r

×



= −∇

   


 

 

 



(6.25) 

 

ayniyatdan foydalanib va elektrostatika analogiyasidek (6.24) ni 



m

 magnit momentiga ega magnit 

dipolini tavsiflovchi magnit skalyar potentsiali gradient sifatida yozish mumkin: 

 

1



3

(

)



m r

B

r

ψ



= −∇

= −∇


    (6.26) 

 

Bu yerda 



1

ψ

 magnit skalyar potentsiali 



 

B.Yavidov ma’ruzalari 

6-6 


 

1

3



(

)

m r



r

ψ



=

 



 

 

 



 

(6.27) 


 

Misol tariqasida biror kontur 

Γ

 boyicha o`tayotgan cheklangan chiziqli toklar I tizimini qaraylik. 



Chiziqli toklar uchun  

jdV

Idl

=

 



 

 

 



 

 

(6.28) 



 

uchun (6.17) formulaga muvofiq vektor-potentsial 

 

|

|



I

dl

A

c

r

r

Γ



=



  

 



 

 

 



(6.29) 

 

 



ba binoan topiladi. Stoks teoremasini qo`llab (6.29) ni 

Γ

 konturga tortilgan S sirt orqali oqim orqali 



ifodalashimiz mumkin: 

  

3



[

(

)]



[

]

|



|

|

|



S

S

I

ds

I

n

r

r

A

n

ds

c

r

r

c

r

r



× −




=

× ∇


=





.  


 

(6.30) 


(6.30) ni elementar magnit momenti 

 

1



dm

In ds

c

′ ′



=

   


 

 

 



 

(6.31) 


 

ni kiritib, magnit juft-qatlamning vektor-potentsiali shaklida tasvirlash mumkin: 

 

3

[



(

)]

|



|

S

dm

r

r

A

r

r



× −

=



 



 

 

 



 

(6.32) 


 

Agar biz (6.30) ga mos keladigan skalyar magnit potentsialini kiritadigan bo`lsak, u magnit juft-

qatlamning vektor-potentsiali formulasiga o’xshash bo`ladi: 

 

3



(

(

))



|

|

S



dm

r

r

I

r

r

c

ψ



⋅ −


=

= Ω




    (6.33) 

 

Bu yerda 



Ω

 – qaralayotgan nuqtadan 



Γ

 konturning ko`rinish fazoviy burchagi. 



 

Download 94.31 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling