MA’ruza 8 murakk ab fu nksiy anin g ho sil asi. To `la di ffеrе ntsi al tushun ch asi. Ekstrеmuml ari. T aqri biy hi sobl ash. D astu riy paketlar yo rd amid a h I sobl ash

MA’RUZA 8  

MURAKK AB FU NKSIY ANIN G HO SIL ASI . TO `LA DI FFЕRЕ NTSI AL  

TUSHUN CH ASI . EKSTRЕMUML ARI. T AQRI BIY HI SOBL ASH. D ASTU RIY  

PAKETLAR YO RD AMID A H I SOBL ASH .  

Maqsad:  Talabalarga ko’po’zgaruvchili  funksiyalarning differensiali,  ekstremumlari  va taqribiy 

hisoblash usullari bo’yicha ko’nikma hosil qilish. 

Reja: 

1. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. 

2. Murakkab va oshkormas funksiya hosilalari 

3. Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumi 

Tayanch  so’z  va  iboralar:  funksiya  gradiyenti,  yuqori  tartibli  xususiy  hosila,  aralash  xususiy 

hosila, oshkormas funksiyaning hosilasi. 

Faraz qilaylik, M

0

 nuqta va uning atrofida 

 funksiya 

 xususiy hosilaga ega bo`lsin 

1. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. 

1-ta’rif. 

  nuqtada 

  funksiyaning  birinchi  tartibli 

  xususiy  hosilasidan 

 

o‘zgaruvchi  bo‘yicha  olingan  xususiy  hosilaga 

  funksiyaning 

  nuqtadagi  ikkinchi 

tartibli xususiy hosilasi deb aytiladi. 

  funksiyaning 

  nuqtadagi  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilasi  quyidagicha 

belgilanadi: 

                                (1) 

Turli  o‘zgaruvchilar  bo‘yicha  olingan  xususiy  hosilalarga  aralash  xususiy  hosilalar 

deyiladi.  

Xuddi shuningdek, 

 funksiyaning  

 ikkinchi tartibli xususiy hosilasidan aynan 

shu  o’zgaruvchi  bo’yicha  olingan  xususiy  hosilaga  uning  uchinchi  tartibli  xususiy  hosilasi 

deyiladi:  

  va h.k. 

Misol.  1) 

  funksiyaning  barcha  ikkinchi  tartibli  xususiy 

hosilalarni toping.      

a) birinchi tartibli xususiy hosilalar: 

. 

b) ikkinchi tartibli xususiy hosilalar esa 

)

M

(

f

j

x





f

0

M

)

( M

f

i

f

x





j

x

)

( M

f

0

M

)

( M

f

0

M

.

2

j

i

j

i

x

x

f

x

f

x

































)

( M

f

2

2

i

f

x





3

3

i

f

x





5

2

6

3

1

2

1

2

(

)

2

3

4

f M

x x

x

x







4

2

5

5

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1 0

1 8

;

4

1 2

f

f

x x

x

x x

x

x

x

















 

1-teorema.  Agar 

  va 

 xususiy   hosilalar biror 

 nuqta  atrofida  aniqlangan 

va 

 nuqtada  uzluksiz bo`lsa, u holda  

 

bo`ladi.  

 funksiyaning  yuqori  tartibli differentsiali quyidagicha aniqlanadi: 

 -2 tartibli differentsial, 

 -3 tartibli differentsial va  hokazo… 

 nuqtada aniqlangan 

 funksiya va 

 

vektor 

billan 

aniqlangan 

 

yo’nalish 

berilgan 

bo’lsin. 

Bu 

yerda 

; 

  lar 

  vektorning  koordinata 

o’qlari bilan hosil qilgan hosil qilgan burchaklarining kosinuslari bo’lib yo’naltiruvchi kosinuslar 

deb ataladi. 

  nuqtani 

  yo’nalish  bo’ylab 

  siljitib  bu 

yo’nalish bo’ylab 

 funksiyaning 

 orttirmasini olamiz.  

Agar 

  bo’lsa,  u  holda 

  bo’lib  o’z 

navbatida 

 

bo’ladi. 

2. Murakkab va oshkormas funksiya hosilalari 

Agar differensiallanuvchi 

funksiya berilgan bo’lib , o’z navbatida 

 lar biror 

 

o’zgaruvchining differensiallanuvchi funksiyasi , ya’ni 

 bo’lsa , u holda 

ning murakkab funksiyasi. 

 

 

differensiallanuvchi bo’ladi va uning hosilasi  

 

 

formula orqali topiladi. 

2

3

2

4

1

2

1

2

1

1

1

2

4

1

2

1

2

1

2

2

1

2

5

1

2

2

2

2

2

4 0

9 0

;

2 0

;

4

2 4

.

f

f

x x

x

x

x

x

f

f

f

x x

x

x

x

x

x

x

f

f

x

x

x

x

x































































 















































j

i

x

x

f







2

i

j

x

x

f







2

0

M

0

M









i

j

j

i

x

x

M

f

x

x

M

f















0

2

0

2

)

( M

f

y



2

2

1

1

(

)

n

n

i

j

i

j

i

j

f

d

f

d d f

d x d x

x

x











 

 

3

3

2

1

1

1

(

)

n

n

n

i

j

k

i

j

k

i

j

k

f

d

f

d d

f

d x d x d x

x

x

x













  

  

1

2

(

,

, ...,

)

n

M

x

x

x

(

)

y

f

M



1

2

( c o s

, c o s

, ..., c o s

)

n

e







l

1

2

c o s

c o s

...

c o s

1

n















1

2

c o s

, c o s

, ..., c o s

n







e

1

2

(

,

, ...,

)

n

M

x

x

x

l

1

1

1

(

, ...,

)

n

n

M

x

x

x

x

 

 

(

)

y

f

M



1

(

)

(

)

l

y

f

M

f

M







1

M M

l

 

1

1

c o s

, ...,

c o s

n

n

x

l

x

l







 



 

1

1

2

2

1

2

(

c o s

,

c o s

, ...,

c o s

)

(

,

, ...,

)

l

n

n

n

y

f

x

l

x

l

x

l

f

x

x

x











 

 

 



( , )

z

f u v



,

u v

x

( ) ,

( )

u

x

v

x









x

(

( ) ,

( ) )

z

f

x

x







d z

z

d u

z

d v

d x

u

d x

v

d x

















Agar 

 lar 

 larning funksiyalari , ya’ni  

 

 

 

bo’lsa, u holda  

 murakkab funksiyaning xususiy hosilalari 

 

 

 

formulalar orqali topiladi.  x ning uzluksiz y funksiyasi 

 

tenglama bilan oshkormas shaklda berilgan bo’lsin. 

Agar 

 funksiyalar uzluksiz bo’lib, 

 bo’lsa, o 

holda oshkormas shaklda berilgan funksiya hosilasi  

 

Formula  orqali  topiladi.  Xuddiy  shuningdek, 

  tenglama  bilan  berilgan  z 

oshkormas funksiyaning xususiy hosilalari 

 

formulalar orqali topiladi. 

3. Ko’p o’zgaruvchili funksiya ekstremumi 

 funksiya 

 nuqtaning 

atrofida aniqlangan bo‘lsin.  

1-ta’rif.  Agar 

  nuqtaning  shunday 

  atrofi  mavjud  bo‘lsaki,  barcha 

 

lar    uchun 

  bajarilsa, 

  nuqta  lokal  minimum 

(maksimum) nuqta deyiladi.  

2-ta’rif. Funksiyaning lokal maksimum va minimum nuqtalariga funksiyaning lokal ekstremum 

nuqtalari deb ataladi.  

3-ta’rif. Agar 

 nuqtada 

 funksiyaning gradiyenti nol vektor, ya‘ni            

  bo‘lsa,  u  holda 

  nuqta

    funksiyaning  statsionar  nuqtasi 

deyiladi.  

Misol. 1) 

 funksiyaning statsionar nuqtasini toping.  

Ushbu funksiyaning gradiyenti   

       

     yoki          

   sistemani yechib, 

 statsionar 

nuqtani quramiz.  

,

u v

,

x y

( ;

) ,

( ;

)

u

x y

v

x y









(

( ;

) ;

( ;

) )

z

f

x y

x y







,

z

z

u

z

v

x

u

x

v

x

z

z

u

z

v

y

u

y

v

y





















 













































( ;

)

0

F x y















'

'

;

,

;

,

;

x

y

F

x y

F

x y

F

x y





'

;

0

y

F

x y



'

'

'

x

x

y

F

y

F

 





;

;

0

F

x y z







'

'

'

'

'

'

'

,

0

y

x

x

y

z

z

z

F

F

z

z

F

F

F

 

 



)

( M

f

y



0

M





0

r

S

M



0

M





0

M

S

r





0

M

S

M

r











0

0

(

)

(

)

(

)

f

M

f

M

f

M

f

M





0

M

n

R

M



0

)

( M

f

0

(

)

0

g r a d f

M



n

R

M



0

)

( M

f

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

(

,

)

6

9

5

f

x

x

x

x x

x

x

x

















1

2

1

2

(

)

2

6 ;

2

9 .

g r a d f M

x

x

x

x













(

)

0

g r a d f

M























0

9

2

0

6

2

2

1

2

1

x

x

x

x





4

;

1

0



M

Demak,  agar

    funksiyaning   

   

ekstremum  nuqtasida  barcha  xususiy  hosilalari 

mavjud bo‘lsa, u holda 

 

bo’lib 

 nuqta uning statsionar nuqtasi bo‘ladi.      

Ko’p  o’zgaruvchili  funksiyalarning 

  ekstremum  nuqtasini  topishni  ikki  o‘zgaruvchili 

 funksiya misolida ko’rib chqamiz. 

Bu funksiya uchun quyidagi belgilashlar kiritamiz: 

va   

  bo`lsin. 

U holda: 

1) agar 

 bo‘lsa, 

 statsionar nuqta lokal ekstremum nuqtasi bo‘lib, 

a) 

 bo‘lsa, 

 statsionar nuqta maksimum nuqta; 

b) 

 bo‘lsa, 

 statsionar nuqta minimum nuqta bo’ladi. 

2) agar 

 bo‘lsa, u holda 

  statsionar nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi; 

3)  agar 

  bo‘lsa,  u  holda  nuqtaning  ekstremum  nuqtasi  bo‘lishi  ham,  bo‘lmasligi 

ham mumkin. Bu holda qo‘shimcha tekshirish talab etiladi. 

Misol.  2)  1–  misolda  keltirilgan  funksiyaning 

  statsionar  nuqtasini  ekstremumga 

tekshiramiz: 

 

 bo‘lgani uchun 

 statsionar nuqta ekstremum va 

 bo‘lganidan minimum nuqta bo‘ladi. 

  funksiya  chegaralangan,  yopiq 

  to‘plamda  aniqlangan  va  uzluksiz  bo‘lsin. 

Funksiya  to‘plamining  har  bir  nuqtasida,  uning  ba‘zi  nuqtalaridan  tashqari,  xususiy  hosilalarga 

ega  bo‘lsin.  Ushbu  holda,   

  to‘plamga  tegishli  shunday 

  nuqta  topiladiki,  bu  nuqtada 

  funksiya  o‘zining  eng  katta  (eng  kichik)  qiymatiga  erishadi.  Funksiya 

  to‘plamda 

o‘zining  eng  katta  (eng  kichik)  qiymatini  nafaqat  ichki 

  statsionar  nuqtada  yoki  xususiy 

hosilalaridan  biri  mavjud  bo‘lmagan  nuqtada,  shu  bilan  birga  V  to‘plamning  chegarasida  ham 

erishishi mumkin.  

Yuqoridagilarni  e‘tiborga  olib, 

  funksiyaning  berilgan 

  to‘plamda  eng  katta  va  eng 

kichik qiymatlarini topish jarayonini quyidagi ketma – ketlikda amalga oshiriladi: 

a) 

 to‘plamning 

 funksiya xususiy hosilalari mavjud bo‘lmagan nuqtalari aniqlanadi; 

b) 

 funksiyaning 

 to‘plamga tegishli barcha statsionar nuqtalari topiladi; 

c)  barcha  aniqlangan  nuqtalarga  va 

  to‘plam  chegarasida 

funksiya  qiymatlari 

hisoblanadi  va  o‘zaro  solishtiriladi.  Ulardan  eng  kattasi  (eng  kichigi) 

  funksiyaning 

 

to‘plamda erishadigan eng katta (eng kichik) qiymati hisoblanadi.  

z=f(x;y)  funksiyaning  x  va  y  argumentlar  o’zaro  φ=(x;y)=0  tenglama  bilan  bog’langan  holdagi 

ekstremumi shartli ekstremum deyiladi. 

Funksiya shartli ekstremuminitopish uchun Lagrnaj funksiyasi deb ataluvchi quyidagi 

)

( M

f

y



0

M

0

(

)

0 ,

1,

i

f

M

i

n

x









0

M

0

M

1

2

(

,

)

y

f

x

x



B

x

x

M

f

A

x

M

f















2

1

0

2

2

1

0

2

)

(

,

)

(





C

x

M

f







2

2

0

2

0

2





AC

B

0

M

0

A



0

M

0

A



0

M

0

2





AC

B

0

M

0

2





AC

B

)

4

;

1

(

0



M









.

2

;

1

)

(

;

2

2

2

0

2

2

1

0

2

2

1

0

2





























x

M

f

C

x

x

M

f

B

x

M

f

A

,

0

3

2

2

)

1

(

2

2

















AC

B

)

4

;

1

(

0



M

0

2





A

)

( M

f

y



V

V

0

M

)

( M

f

V

0

M

)

( M

f

V

V

)

( M

f

)

( M

f

V

V

)

( M

f

)

( M

f

V

                (*) 

yordamchi funksiyani tuzamiz, bunda λ – no’malum o’zgarmas ko’paytuvchi. 

(*)  dan  x,  y  va  λ  bo’yicha  xususiy  hosilalar  olinib,  nolga  tenglashtirsak,  quyidagi  uch  (x,y,λ) 

no’malumli uchta tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz: 

           (**) 

Bu  tenglamar  sistemasini  yechib,  x,  y,  λ  larni  topamiz.  (**)  tenglamalar  shartli  ekstremumning 

zaruriy  shartlaridir.  Kritik  nuqtalarda  funksiya  shartli  ekstremumga  ega  bo’lish,  bo’lmasligi 

masalasi Lagranj funksiyasining 

 

Ikkinchi tartibli differensiali ishorasini tekshirish yordamida yechiladi, bunda dx va dy lar 

 

tenglama bilan bog’langan. 

Agar d

2

F<0 bo’lsa, z=f(x;y) funksiya shartli maksimumga, d

2

F>0 bo’lsa, shartli minimumga ega 

bo’ladi. 

Xususiy  holda,  agar  kritik  nuqta  F(x;y)  funksiya  uchun  ∆>0  bo’lib,  A<0  (C<0)  bo’lsa,  f(x;y) 

funksiya  shu  nuqtada  shartli  maksimumga  A>0  (C>0)  bo’lsa,  shartli  minimumga  ega  bo’ladi. 

Ikki  o’zgaruvchi  funksiya  shartli  ekstremumga  tekshirishning  yuqoridagi  usuli  uch  va  undan 

ortiq o’zgaruvchili funksiyalar uchun ham o’rinli. 

Mavzuni mustahkamlash uchun savollar 

1. Yuqori tartibli xususiy hosila qanday topiladi? 

2. Murakkab funksiyaning xususiy hosilasi qanday topiladi? 

3. Ko’p o’zgaruvchili funksiya qanday shart bajarilganda eng kichik qiymatiga erishadi? 

4. Ko’p o’zgaruvchili funksiya qanday shart bajarilganda eng katta qiymatiga erishadi? 

 

 

( ;

;

)

( ;

)

( ;

)

F

x y

f

x y

x y



 





0

0

( ;

)

0

F

f

x

x

x

F

f

y

y

y

F

x y













 













































 











2

2

2

2

2

2

2

2

2

F

F

F

d F

d x

d x d x

d y

x

x y

y















 







2

2

0

0

d x

d y

d x

d y

x

y



















