Mashg’ulot turi Ajratilgan soat

Qo‘shish haqida tushuncha

Qo‘shish amali to‘plamlar ustida bajarilgan operatsiyalar natijasidan paydo bo‘ladi.
Haqiqatdan ham, umumiy unsurga ega bo‘lmagan ikkita M₁ va M₂ to‘plamga tegishli hamma unsurlarni bir to‘plamga birlashtirish natijasida, faqat o‘sha M₁ va M₂ ga tegishli hamma unsurlardan tuzilgan yangi M to‘plam hosil qilamiz. M to‘plamni M₁ va M₂ to‘plamlarning yig‘indisi deymiz.
Shunday qilib, umumiy unsuri bo‘lmagan M₁ va M₂ to‘plamlarning yig‘indisi deb, faqat o‘sha to‘plamlarning hamma unsurlaridan tuzilgan yangi to‘plamga aytiladi.
Yig‘indining xossalari.
Qo‘shish amalining quyidagi xossalariga, qo‘shishning qonunlari deb nom berilgan: o‘rin almashtirish (kommutativlik) xossasi, gruppalash (assotsiativlik) xossasi va monotonlik xossasi.
1. O‘rin almashtirish. Qo‘shiluvchilarning o‘rnini almashtirgan bilan yig‘indi o‘zgarmaydi.
Misol: 5 + 3 = 8 va 3 + 5 = 8
2. Gruppalash. Qo‘shiluvchilar bir nechta bo‘lganda ularni turli gruppalarga birlashtirib, avval o‘sha gruppalarda qo‘shishni bajarib, so‘ngra bu gruppalarning yig‘indisini topsak ham, bu sonlarning yigindisi o‘zgarmaydi.
Misol: 3 + 6 + 7 = (3 + 7) + 6 = 10 + 6 = 16
Yig‘indining monotonligi. 1. Agar ikki son bir-biriga teng bo‘lsa ularning har birini uchinchi songa qo‘shish natijasida o‘zaro teng yig‘indlar hosil bo‘ladi.
25 = 25
+ 10 = 10
35 = 35
2. Agar bir son ikkinchi sondan katta yoki kichik bo‘lsa, bu sonlarning har birini uchinchi son bilan qo‘shganimizda birinchi yig‘indi mos ravishda ikkinchi yig‘indidan katta yoki kichik bo‘ladi.
25 > 15
+ 10 10
35 > 25
Ayirish amalining ta’rifi. Ikki sonning yig‘indisi to‘g‘risidagi mulohazalarga suyanib, ikki sonni bir-biridan ayirishni quyidagicha tushuntira olamiz. Agar bir-biriga teng bo‘lmagan ikki son berilgan bo‘lsa, ya’ni biri katta, ikkinchisi kichik, katta sonni hosil qilish uchun kichik songa qandaydir uchinchi bir sonni qo‘shish kerak bo‘ladi.
Demak, katta sondan kichik sonni ayirish degan so‘z, katta sonni hosil qilish uchun kichik songa qo‘shish kerak bo‘lgan sonni topish degan so‘zdir.
Ayirmaning xossalari
1. Ayirish amali, faqat kamayuvchi ayriluvchidan katta yoki unga teng bo‘lgan hollardagina bajariladigan va birdan-bir natija beradigan amaldir.
2. Biron sondan yig‘indini ayirish uchun u sondan yig‘indining har bir qo‘shiluvchisini ketma-ket ayirish mumkin.
Misol: 18 - (6 + 2) = 18 – 6 – 2 = 10
3. Biron sondan bir necha sonni ayirish uchun ayriladigan sonlarni qo‘shishdan chiqqan yig‘indidan ayirsak ham bo‘ladi.
Misol: 25 – 8 – 3 – 4 = 25 – (8 + 3 + 4) = 25 – 15 = 10

4. 
   Yig‘indidan biron sonni ayirish uchun u sonni biron qo‘shiluvchidan ayirsak ham bo‘ladi. Misol: (10 + 5) – 5 = 10–5+5 = 10
   
5. 
   Biron sondan ayirmani ayiriish uchun u sondan kamayuvchini ayirib, ayriluvchini qo‘shsak ham bo‘ladi.
   

Misol: 25 – (13 – 8) = 25 – 13 + 8 = 20
Natural sonlarning ko‘paytmasi
Bir natural sonning o‘zini, ikkinchi natural son qancha bo‘lsa, shuncha marta qo‘shishni, bu ikki sonning ko‘paytmasi deymiz.


23 + 23 + 23 + … + 23 = 23 · 12
12 ta qo‘shiluvchi

Bunda teng qo‘shiluvchilarning yig‘indisini ko‘paytma, takrorlanayotgan qo‘shiluvchini ko‘payuvchi, qo‘shiluvchilarning soniga teng bo‘lgan sonni ko‘paytuvchi deymiz.

Nomanfiy butun sonlarni ko‘paytirish ham xuddi qo‘shishdagi o‘rin almashish, gruppalab ko‘paytirish monotonlik va tarqatish xossalariga ega.
1. Ko‘paytuvchilarning o‘rinlarining almashishi bilan ko‘paytma o‘zgarmaydi: 4 x 6 = 6 x 4
2. Bir necha sonni ko‘paytirish uchun oldin ikki sonni bir-biriga ko‘paytirib, undan chiqqan natijani esa uchinchi songa ko‘paytiramiz, hosil bo‘lgan natijani to‘rtinchi songa ko‘paytiramiz.
Bir necha sonni guruhlab ko‘paytirish, ya’ni ko‘paytmalarni ko‘paytirish ham mumkin:
5 x 4 x 8 = (5 x 8) x 4 = 40 x 4 = 160
3. Ko‘paytmani tarqatish xossasi. Yig‘indini biron songa ko‘paytirish uchun yig‘indining natijasini shu songa ko‘paytirish yoki uning qo‘shiluvchilarini shu songa alohida-alohida ko‘paytirib, natijalarini qo‘shish kerak.
Misol: (10 + 4) x 5 = 10 x 5 + 4 x 5
4. Teng sonlarni tengsizlikka ko‘paytirsak, natijada shu tengsizlik o‘z holicha qoladi:
50 kg = 50 kg
x
10 > 8
500 kg > 400 kg
5. Har qanday son birga ko‘paytirilsa, natijada o‘sha sonning o‘zi hosil bo‘ladi: 538 x 1 = 538.
6. Har qanday sonni nolga ko‘paytirganda yoki nolni har qanday songa ko‘paytirilganda natija nolga teng bo‘ladi:
Haqiqatdan ham, 0 x 7 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Bo‘lish amalining ta’rifi: Bir sonni ikkinchi songa bo‘lish degan so‘z, shunday sonni topish degan so‘zki, ikkinchi sonni o‘sha songa ko‘paytirganda birinchi son hosil bo‘lsin: 25 : 5 = 5
1. Bo‘linmaning xossalari. Agar bo‘linuvchi 0 ga teng bo‘lmasa, bo‘lish amalini hamma vaqt bajarish mumkin va hamma vaqt bitta natija chiqadi.
Nolga bo‘lish mumkin emas. Chunki har qanday sonning 0 ga ko‘paytmasi 0 ni beradi. Shuning uchun ham 0 ni 0 ga bo‘lish aniqsizlik bo‘lib qoladi. Bundan, bo‘luvchi 0 bo‘lishi mumkin emas, degan xulosaga kelamiz.
2. Qoldiqli bo‘lish. Ikki natural sonni bir-biriga bo‘lganda bo‘luvchiga yetmaydigan son kelsa, uni qoldiq deyiladi va bo‘linma bilan bo‘luvchining ko‘paytmasi bo‘linuvchi bilan qoldiqning ayirmasiga teng bo‘ladi. Misol: 77 : 25 = 3 (2 qoldiq).
3. Har qanday son 1 ga qoldiqsiz bo‘linadi va bo‘linma o‘sha sonning o‘ziga teng.
4. Yig‘indini biror songa bo‘lish uchun u songa qo‘shiluvchilarning har birini bo‘lib, natijalarni qo‘shish mumkin.
Misol: (80 + 90) : 5 = 80 : 5 + 90 : 5 = 16 + 18 = 34
5. Ayirmani biror songa bo‘lish uchun kamayuvchi va ayriluvchini yakkalab bo‘lib, natijalarni bir-biridan ayirish mumkin.
Misol: (90 - 80) : 5 = 90 : 5 – 80 : 5
6. Ko‘paytmani biror songa bo‘lish uchun ko‘paytuvchilardan birini o‘sha songa bo‘lishning o‘zi kifoY.
Misol: (27 x 5) : 9 = (27 : 9) x 5 = 3 x 5 = 15
7. Biror sonni ko‘paytmaga bo‘lish uchun u sonni navbati bilan ko‘paytuvchilarning biriga bo‘lib, undan chiqqan sonni ikkinchisiga yana bo‘lish kerak va hokazo.
Misol: 180 : (18 x 5) = (180 : 18) : 5 = 10 : 5 = 2
8. Biror sonni bo‘linmaga bo‘lish uchun u sonni uning bo‘linuvchisiga bo‘lib, bo‘luvchisiga ko‘paytirish mumkin.
Misol: 1000 : (250 : 5) = (1000 : 250) x 5 = 4 x 5 = 20
9. Bo‘linmani biror songa bo‘lish uchun bo‘linuvchini o‘sha songa bo‘lib, chiqqan natijani bo‘luvchiga bo‘lish mumkin yoki bo‘linuvchini bo‘luvchi bilan o‘sha sonning ko‘paytmasiga bo‘lish mumkin.
Misol: (1000 : 25) : 8 = (1000 : 8) : 25 = 125 : 25 = 5 yoki
(1000 : 25) : 8 = 1000 : (25 x 8) = 1000 : 200 = 5

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Natural son deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   Natural sonlar qatorining aksiomalarini yoritib bering.
   
3. 
   Qo‘shish amalining xossalarini sanab chiqing.
   
4. 
   Ayirmaning xossalarini misollar keltirib yoritib bering.
   
5. 
   Sonlarni ko‘paytirish va bo‘lish qanday xossalarga ega?
   

Tayanch iboralar: Tub, murakkab son, umumiy bo‘luvchilar, eng katta umumiy bo‘luvchisi, eng kichik umumiy karralisi
O‘zi bilan 1 dan boshqa songa bo‘linmaydigan har qanday natural songa tub son deyiladi.
Masalan: 2, 3, 5, 7, 13, 23, 37 va hokazolar tub sonlardir.
O‘zi va birdan boshqa natural songa bo‘linadigan natural sonlar murakkab sonlar deyiladi.
Misol: 4, 6, 8, 10, 20 va hokazolar murakkab sonlardir.
Bir tub son ham emas, murakab son ham emas. Tub sonlar qatori ham, murakkab sonlar qatori ham cheksizdir: 2, 3, 5, 7, 11, ...