Mashg’ulot turi Ajratilgan soat

Sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajratish

Har qanday murakkab sonni tub ko‘paytuvchilarga ajratish mumkin.
Tub sonlarning eng kichigi ikki hisoblanadi, shuning uchun berilgan natural sonni 2 ga bo‘lamiz. Undan chiqqan bo‘linmani yana ikkiga bo‘lamiz va hokazo bo‘linmada toq son chiqquncha 2 ga bo‘lishni davom ettiramiz, 3 ga bo‘linish-bo‘linmasligini qaraymiz, agar 3 ga bo‘linsa, yuqoridagidek tartibda bo‘lib, 3 ga bo‘linmay qolganda qoldiqni 5 ga bo‘linishini tekshiramiz, beshga bo‘linmasa 7 ga, 11 ga, 13 ga bo‘linishini tekshiramiz va hokazo.
Masalan: 96 va 80 larni tub ko‘paytuvchilarga ajratish quyidagicha bajariladi:

96 48 24 12 6 3	2 2 2 2 2 3		80 40 20 10 5 1	2 2 2 2 5
1

Demak, 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3.

80 = 2 x 2 x 2 x 2 x 5.
Mashqlar: 204, 245, 1024, 1635, 3240 sonlarni tub ko‘paytuvchilarga ajrating.
Berilgan sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi
Ikki yoki bir necha sonning har biri bo‘linadigan sonlarni shu sonlarning umumiy bo‘luvchilari deyiladi va umumiy bo‘luvchilardan eng kattasini eng katta umumiy bo‘luvchi deyiladi.
Misol: (140, 80, 120) = 20 eng katta umumiy bo‘luvchi qisqacha EKUB deb yuritiladi.
Ta’rif. Ikki sonning eng katta umumiy bo‘luvchisi 1 bo‘lsa, u sonlar o‘zaro tub sonlar deyiladi.
Misol: (18, 19) = 1.
21 bilan 11 ham o‘zaro tub sonlar deyiladi. Chunki bu sonlarning eng > umumiy bo‘luvchisi 1 ga teng.
Eng katta umumiy bo‘luvchi haqidagi asosiy teoremalarni ko‘rib chiqamiz.
1-teorema. Agar ikki sonning biri ikkinchisiga bo‘linadigan bo‘lsa, kichik son bu ikki sonning eng katta umumiy bo‘luvchisidir.
Misol: (48, 12) = 12
2-teorema. Agar ikki son bir-biriga bo‘linmasa, kattasini kichigiga bo‘lgandan chiqqan qoldiq bilan kichik sonning eng katta umumiy bo‘luvchisi shu ikki sonning ham eng katta umumiy bo‘luvchisidir. Misol: (90, 24) = ?
90 ni 24 ga bo‘lib, uni bunday yoza olamiz:
90 = 24 ∙ 3 + 18 ; ammo (24, 18) = 6.
Demak, (90, 24) = 6.
Ikki yoki bir necha sonning eng katta umumiy bo‘luvchisini ularni tub ko‘paytuvchilarga ajratish yo‘li bilan ham topish mumkin.
Misol: (42, 90).

42 21 7 1	2 3 7		90 45 15 5	2 3 3 5
			1

Har ikkalovidagi umumiy tub ko‘paytuvchilarni bittadan olib ko‘paytirishdan hosil bo‘lgan ko‘paytma eng katta umumiy bo‘luvchi bo‘ladi. Hozirgi misolda eng katta umumiy bo‘luvchi 2 x 3 = 6.
Mashqlar. Quyidagi sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi topilsin: 1) 60, 75 va 105; 2) 32, 88 va 104; 3) 105, 150, 210 va 75; 5) 404, 6768, 1088 va 2044.
Yevklid algoritmi (algorifmi)
Eramizdan avvalgi III asrda yashagan olim Yevklid ketma-ket bo‘lish yo‘li bilan ikki sonining eng katta umumiy bo‘luvchisini topgan. Shuning uchun ham bu yo‘lni Yevklid algoritmi (algorifmi ham) deyiladi.
Algoritm ma’lum qoida asosida bajariladigan arifmetik yoki algebraik protsessdir. Algoritm so‘zining kelib chiqish tarixi quyidagicha: o‘rta asrlarda o‘nli sanoq sistemasi bo‘yicha bajariladigan to‘rt amaldan birini algoritm deyishgan. Bu qoidalarning anchaginasini IX asrda Xorazmda yashagan Muhammad al-Xorazmiy belgilab bergan. Yevropada esa bunday qoidalarni al-Xorazmiy ismiga bog‘lab algorizm, keyinroq o‘zgartirib algoritm deb yuritganlar. Yevklid algoritmi ketma-ket bo‘lish orqali ikki natural sonning eng katta umumiy bo‘luvchini topishda quyidagicha ishlatiladi: kattasini kichigiga, undan so‘ng kichik sonni birinchi qoldiqqa, birinchi qoldiqni ikkinchi qoldiqqa, ikkinchi qoldiqni uchinchi qoldiqqa va hokazo … to qoldiqda nol hosil bo‘lguncha bo‘lishni davom ettirish kerak. Ana shu 0 qoldiqdan oldingi qoldiq yoki qoldiq 0 bo‘lgandagi bo‘luvchi berilgan son uchun eng katta umumiy bo‘luvchi bo‘ladi.
Misol: 88, 32.
Ketma-ket bo‘lishning jarayoni quyidagicha:

88 = 32 x 2 + 24 (24-1 qoldiq) 32 = 24 x 1 + 8 (8-2 qoldiq) 24 = 8 x 3 (qoldiq-0)

Demak, EKUB (88, 32) = 8.

2-misol. EKUB (66, 48) topilsin.

66 = 48 x 1 + 18 48 = 18 x 2 + 12 18 = 12 x 1 + 6 12 = 6 x 2

Demak, EKUB (66, 48) = 6.
Sonlarning eng kichik umumiy karralisi (bo‘linuvchisi)
Berilgan sonlarning eng kichik umumiy karralisi deb u sonlarga bo‘linadigan natural sonlarning eng kichigiga aytiladi.
Misol: 12, 16 ga 48 ham, 96 ham, 48 va 96 ning ko‘paytmasi ham bo‘linadi. Lekin shu bo‘linadigan sonlarning eng kichigiga 48 dir.
Natural sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish uchun ularning har qaysisini yakka-yakka tub ko‘paytuvchilarga ajratib, ulardagi bir xil tub ko‘paytuvchilarning bittasidan boshqalarini o‘chirish kerak, o‘chirilmay qolgan hamma tub ko‘paytuvchilarning ko‘paytmasi u sonlarning eng kichik umumiy karralisi bo‘ladi.
Misol: 20, 12, 16 sonlarning eng kichik umumiy karralisini topish.

20	2		12	2		16	2
10	2		6	2		8	2
5	5		3	3		4	2
1			1			2	2
						1

O‘chirilmay qolgan hamma tub ko‘paytuvchilarning ko‘paytmasi quyidagilardan iborat bo‘ladi: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 240
240 ni navbatma-navbat berilgan sonlarning har biriga bo‘lganda butun son chiqadi. Demak, 240 izlanayotgan javob bo‘ladi.
Bir necha sonning EKUKni topishga oid test topshiriqlarini to‘g‘ri bajarish uchun ushbu tavsiyalarni berish mumkin.
2-usul. Bir necha natural sonning eng kichik umumiy karralisini (EKUK) ni topish quyidagi algoritm bo‘yicha amalga oshiriladi.
1) Bir necha natural sonning eng kichik umumiy karralisi shu sonlar ichidagi eng katta sondan kichik bo‘la olmaydi. Demak, berilgan sonlar ichidan eng kattasi topiladi.
2) Agar mumkin bo‘lgan javoblar ichida eng katta sondan kichik sonlar bo‘lsa, ular javoblar qatoridan chiqariladi.
3) Berilgan sonlar ichida eng kattasini navbatma-navbat qolgan sonlarga bo‘linadi. Agar natijalar butun son bo‘lsa, u holda berilgan sonlar ichidan eng kattasi ularning EKUK bo‘ladi, aks holda sonlarning ichida eng kattasi ham mumkin bo‘lgan javoblar qatoridan chiqariladi.
4) Qolgan javoblarni navbatma-navbat berilgan sonlarga bo‘lib chiqiladi. Agar qolgan javoblarning barchasi berilgan sonlarning har biriga qoldiqsiz bo‘linsa, u holda ulardan eng kichigi izlanayotgan javob bo‘ladi.
1-misol: 168, 231 va 60 sonlarning eng kichik umumiy karralisini (bo‘linuvchisini) toping.
A) 9240 V) 168 S) 3 D) 231 YE) 60
Berilgan sonlar ichidan eng kattasi 231.
V), S), YE) lardagi sonlar 231 dan kichik, shu sababli ular izlanayotgan javoblar qatoridan chiqarib yuboriladi.
Endi A) va D) javoblardan qaysi biri izlanayotgan javob bo‘lishini aniqlaymiz. 231 : 168 – natija butun son emas.
Shu sababli, u javoblar qatoridan chiqarib yuboriladi.
9240 ni navbatma-navbat berilgan sonlarning har biriga bo‘lganda butun son chiqadi, demak 9240 izlanayotgan javob bo‘ladi.
2-misol: EKUK (25, 38) topilsin.
A) 25 B) 38 S) 1 D) 63 YE) 950
Yuqoridagi algoritmga qat’iy rioya qilish shart emas. Agar javoblar ichida berilgan sonlarning eng kattasi bo‘lsa, uni ikkinchi songa bo‘linish bo‘linmasligini tekshirish kifoY. 38 sonini 25 ga bo‘lganda butun son chiqmasligi yaqqol ko‘rinib turibdi.
Shu sababdan mumkin bo‘lgan javoblar ichidan 38 va undan kichik sonlarning barchasi, ya’ni A), V), S) lar izlanayotgan javoblar qatoridan chiqariladi.
63 soni 38 va 25 sonlariga butun son marta bo‘linmaydi, demak, u ham javoblar qatoridan chiqariladi.
Va nihoyat, so‘nggi qolgan javob – 950 - EKUK (25, 38) bo‘ladi

Nazorat savollari

1. 
   Sonlarning bo‘linish belgilarini misollar keltirib yoritib bering.
   
2. 
   Sonlarning umumiy bo‘luvchilari deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Sonlarning eng katta umumiy bo‘luvchisi haqidagi asosiy teoremalarni aytib bering.
   
4. 
   60, 75 va 105 ni eng katta umumiy bo‘luvchisini toping.
   
5. 
   Natural sonlarning eng kichik umumiy karralisini qanday topish mumkin?
   
6. 
   18, 27 va 84 ni eng kichik umumiy karralisini toping.