Mashg’ulot turi Ajratilgan soat

Kasrlarni taqqoslash

Suratlari har xil, maxrajlari bir xil kasrlarning qaysi birining surati katta bo‘lsa, o‘sha kasr boshqalaridan katta bo‘ladi. Qaysi birining surati eng kichik bo‘lsa, o‘sha kasr eng kichik bo‘ladi.
Misol: , , , kasrlarni olaylik. Bulardan eng kichigi , eng kattasi .
Suratlari bir xil, maxrajlari har xil bo‘lgan kasrlarning qaysi birining maxraji katta bo‘lsa, o‘sha kasr kichik bo‘ladi, qaysi birining maxraji kichik bo‘lsa, o‘sha kasr katta bo‘ladi.
Misol: , , , bu kasrlarning eng kattasi , eng kichigi .
Boshqacha aytganda, bu kasrlarning har birini 100 ga ko‘paytirilsa protsent bilan ifodalangan bo‘ladi va qaysi birining katta kichikligi protsent bo‘yicha ravshan ko‘rinadi.
Misol; , kasrlarni olaylik;
x 100 = 87,5 % x 100 = 83,3 % demak, < ekan.

Kasrlarni qo‘shish va ayirish

Maxraji bir xil kasrlarni qo‘shish uchun, suratlarini qo‘shib maxrajlaridan bittasini maxraj qilib yozish kerak.
Misol: + = = .
Maxraji har xil bo‘lgan kasrlarni bir-biriga qo‘shish uchun ular eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi, hosil bo‘lgan suratlarini qo‘shib, yig‘indini suratga, umumiy maxrajni esa maxraj qilib yozish, so‘ngra qisqarsa, kisqartirish kerak.
Masalan: + = = =
Aralash kasrlarni qo‘shish uchun ularning butunlari bilan butunlarini, kasrlari bilan kasrlarini qo‘shish kerak.
Misol: 3 + 2 = 5 = 5
Kasrdan kasrni ayirish uchun oldin ularni eng kichik umumiy maxrajga keltirib, so‘ngra kamayuvchining suratidan ayriluvchining suratini ayirish va ayirmaning tagiga umumiy maxrajni yozib, so‘ngra kisqarsa, qisqartirish kerak.
Masalan: - = = =
Aralash sondan aralash sonni ayirish uchun, ularning butun qismlarini alohida, kasr qismlarini alohida ayirish kerak, agar kamayuvchi kasr ayriluvchi kasrdan kichik bo‘lsa, u xolda kamayuvchi aralash sonning butunidan bittani, unga tegishli kasr maxrajiga maydalab (bir butunni kasr maxrajiga maydalash deb, uni kasr maxrajini o‘z-o‘ziga bo‘lingan ko‘rinishda olishni aytamiz) uni kamayuvchi kasrga qo‘shib, keyin ayirish kerak.
Masalan: 5 - 2 = 3 = 2 = 2 = 2
Kasrni kasrga ko‘paytirish uchun ularning suratini suratga ko‘paytirib surat, maxrajini maxrajga ko‘paytirib; maxraj qilib yozish kerak. Masalan;
· = =
Ko‘paytirishda (mumkin bo‘lsa) qisqartirish kerak.
Kasrni kasrga bo‘lish uchun bo‘linuvchi kasrning suratini bo‘luvchi kasrning maxrajiga ko‘paytirish, bo‘linuvchi kasrning maxrajini bo‘luvchi kasrning suratiga ko‘paytirish va birinchi ko‘paytmani surat, ikkinchi ko‘paytmani esa maxraj qilib yozish kerak.
Masalan: : = = = = 4
Agar kasrlarni ko‘paytirish va bo‘lishda, kasrlar aralash sonlardan iborat bo‘lsa, dastlab ular noto‘g‘ri kasrga aylantiriladi, keyin ko‘paytirish yoki bo‘lish amallari bajariladi.
Butun sonni kasr songa yoki kasr sonni butun songa ko‘paytirish uchun butun son kasr maxrajiga kisqarsa qisqartirib, qolgan sonni suratga ko‘paytirib surat, maxrajdan qolgan sonni esa maxraj qilib yozish kerak.
24· = = = 21; · 24 = = 21
Butun sonni kasr songa bo‘lish uchun butun son kasr surati bilan qisqarsa qisqartirib, qolgan butun sonni maxrajga ko‘paytirib surat, suratdan qolgan sonni esa maxraj qilib yozish kerak.
Masalan: 24 : = = 45
Butun sonni aralash songa bo‘lish uchun aralash sonni noto‘g‘ri kasrga aylantirib, so‘ngra butun sonni kasr songa bo‘lgandek bo‘lish kerak.
O‘nli kasrlar oddiy kasrlarga qaraganda hayotda ko‘proq qo‘llanadi va katta amaliy qo‘llanishga ega.
Maxraji 10, 100, 1000 va hokazo bo‘lgan kasrlar, ya’ni maxraji bir va undan keyin (bitta yoki bir necha) noli bo‘lgan kasrlar o‘nli kasrlar deyiladi.
Masalan: 5,2379 = 5 + + + +
Og‘zaki aytilgan o‘nli kasrni yozma tasvirlash uchun birinchi galda butun yoziladi, verguldan so‘ng aytilgan maxrajining nollar sonidan aytilgan kasr xonalar soni qancha kam bo‘lsa, shuncha nol yozib undan keyin kasr soni yoziladi. Masalan; 4 butun yuz dan besh, uni bunday yozma tasvirlanadi: 4,05.
Yozilgan o‘nli kasrni o‘qish uchun, butundan keyin kasrning oxirgi xonasidan boshlab vergulgacha bo‘lgan xonalarini bilib, undan ham bir xona ortig‘i bilan aytib, undan so‘ng kasrdagi ko‘ringan sonni aytish kerak. Misol: 4,2536; xonalari: 6-birlik, 3-o‘nlik, 5-yuzlik, 2-minglik, undan bir xona yuqoridan minglik. Shuning uchun bunday o‘qiladi: 4 butun o‘n mingdan 2536.
Ikki o‘nli kasrning bir xil o‘rinda turgan raqamlari teng bo‘lsa, unday o‘nli kasrlar teng bo‘ladi. Agar bir o‘nli kasrning butun soni ikkinchi o‘nli kasrning butunidan katta bo‘lsa, birinchi o‘nli kasr albatta ikkinchisidan kattadir. Agar ikkala o‘nli kasrning butunlari teng bo‘lib, qaysi birining birinchi o‘nlik xonalari katta bo‘lsa, o‘sha kasr katta bo‘ladi. Birinchi o‘nlik xonalari teng bo‘lsa, yuzlik xonalarini qaraymiz va hokazo. Misol: 25,45 > 25,42.
O‘nli kasrning xossalari. O‘nli kasrni oddiy kasrga aylantirish uchun uning butunini yozib, kasr chizig‘i chiziladi va qanday o‘qilsa, maxrajiga o‘sha darajali o‘nni yozib, suratiga kasrini yozish kifoY.
Misol: 9,564, bu to‘qqiz butun mingdan besh yuz oltmish to‘rt deb o‘qiladi. Shuning uchun ham: 9 .
O‘nli kasrning oxiriga istalgancha nol qo‘ygan bilan yoki oxiridagi nollarni o‘chirgan bilan qiymati o‘zgarmaydi, lekin qismni yiriklab yoki maydalab aytish mumkin.
O‘nli kasrni qo‘shish va ayirish
O‘nli kasrlarni qo‘shish yoki ayirish uchun butun qismini butun qism tagiga, kasr qismini kasr qism tagiga (xonalarga rioya qilib), ba’zi
kasrlarning o‘ng tomoniga, dilda bo‘lsa ham, nollar yozib, keyin butun sonlarni qo‘shish kabi qo‘shib yoki ayirib, natijaga vergullarning to‘g‘risidan vergul qo‘yish kerak. (Chunki, o‘nli kasr oddiy kasrning xususiy xolidir). Bu qoidani ushbu misollar bilan oydinlashtiramiz:



O‘nli kasrni ko‘paytirish va bo‘lish
O‘nli kasrlarni bir-biriga ko‘paytirishda ularning vergullariga e’tibor qilmay, butun sonlarni ko‘paytirgandek ko‘paytirish kerak, so‘ngra ko‘payuvchi bilan ko‘paytuvchida qancha kasr xonasi bo‘lsa, ko‘paytmada o‘ngdan chapga qarab shuncha kasr xonani vergul bilan ajratish kerak.
Masalan:

2,175 2,12 4350 2175 4350 461100

42,51 2,06 25506 8502 87,5706

O‘nli kasrni butun songa bo‘lishda bo‘linuvchi bo‘luvchidan kichik bo‘lsa, bo‘linmaga nol butun yozib uni vergul bilan ajratamiz, so‘ngra bo‘lish amalini, butun sonlarni bo‘lishdagi kabi bajaramiz, bo‘lishdan chiqqan qoldiqlarni esa mayda o‘nli ulushlarga aylantirib borib, bo‘lishni davom ettiriladi.
Misol:

O‘nli kasrni o‘nli kasrga bo‘lish uchun, oldin bo‘luvchini butunga aylantiramiz. Uning vergulini oxirigacha necha xona surilgan bo‘lsa (kasr xonasi qancha bo‘lsa), bo‘linuvchining vergulini ham shuncha xona kasr tomonga surish kerak. So‘ngra o‘nli kasrni yoki butun sonni butun songa bo‘lishdek ish ko‘raveramiz.
Misol: 21,34 ni 2,5 ga bo‘ling.

Davriy kasrlar

kasrning suratini maxrajiga bo‘lsak, natijasi aniq o‘nli kasr bo‘lmay, bo‘linmada 6 cheksiz qaytarilaveradi:



Shunga o‘xshash  0,714285714285... bu bo‘linmada olti xonali son cheksiz qaytarilmoqda.
193 : 88  2,1931818 ...
Bunday davriy o‘nli qator bilan XVII asrning oxirlarida ingliz olimi Nyuton, amerikalik olim Vallis, XVIII asrning o‘rtalarida esa Rossiyada akademik Eyler shug‘ullandi. Ular bo‘linmada cheksiz qaytarilayotgan bir yoki bir necha raqamlar to‘plamini davr deb atadilar.
O‘nli davriy kasrlarni, quyidagi qoidaga asosan, oddiy kasrlar bilan ifodalab yozish mumkin.
Qoida. Har qanday o‘nli davriy kasrni oddiy kasr xolida yozish uchun, undagi verguldan keyingi ikkinchi davrgacha bo‘lgan sondan birinchi davrgacha bo‘lgan son ayirmasini suratga, maxrajiga esa davrda qancha raqam bo‘lsa o‘shancha to‘qqiz (9) yozib, uning o‘ng yoniga vergul bilan birinchi davr orasida qancha raqam bo‘lsa, o‘shancha nol yozish kerak (kasrning butun qismi esa, butun qilib yozilaveradi).
Masalan: 5,8333...= 5 = 5 =5 ;
7,5123123... = 7 = 7 = 7 ;
3,888... = 3 = 3 va hokazo.
Nazorat savollari

1. 
   O‘nli kasr deb nimaga aytiladi?
   
2. 
   O‘nli kasrlar qanday yoziladi va o‘qiladi?
   
3. 
   O‘nli kasrlarning asosiy xossalarini aytib bering.
   
4. 
   , , va kasrlarni o‘nli kasrlarga aylantiring.
   
5. 
   O‘nli kasrlar ustida to‘rt arifmetik amallar bajarishning har birini algoritmi bilan tanishtirish uslubiyatini yoritib bering.
   
6. 
   Qanday kasrga o‘nli davriy kasr deyiladi?
   
7. 
   Kasr deb nimaga aytiladi?
   
8. 
   Kasrlarning turlarini sanab chiqing.
   
9. 
   Kasrlarning qanday xossalari bor?
   
10. 
    Kasrlarning eng kichik umumiy maxrajga keltirish uslubiyatini yoritib bering.
    
11. 
    Oddiy kasrlar bilan to‘rt arifmetik amaldan har birining algoritmi bilan tanishtirish uslubiyatini ochib bering.