Математические основы криптографии

1-практическая работа
Тема: Математические основы криптографии


Контрольные вопросы
1) Опишите простые числа, простые числа и приведите примеры.
2) Объясните на примере свойства работы модуля.
3) Целые числа и их использование в криптографии.

1 Простые числа: 2, 3, 11, 17, 131, 5232, 3, 11, 17, 131, 523. Они делятся только сами на себя и на 11. Составные числа: 6, 63, 121, 66976, 63, 121, 6697. То есть число 66 можно разложить на 22 и 33, а 6363 на 1, 3, 7,9, 21, 631, 3, 7,9, 21, 63, а 121121 на 11, 1111, 11, то есть его делители будут 1, 11, 1211, 11, 121. Число 66976697 разложится на 3737 и 181181. Заметим, что понятия простых чисел и взаимно простых чисел – разные понятия. 

2. Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Знак модуля: |a| = OA.
3. Бурное развитие информационных и коммуникационных технологий повышает актуальность проблемы информационной безопасности. В связи с этим требуется разработать ряд новых методов и средств, направленных на обеспечение информационной безопасности. Следовательно, требуется комплексный подход для надежного обеспечения информационной безопасности. Другими словами, возникает необходимость эффективного использования правовых, организационных и инженерно-технических обеспечений защиты информации. В частности, криптографические методы играют важную роль в защите информации. Сегодня широко используется криптографические системы защиты информации. Все эти криптографические системы работают на основе криптографического алгоритма. В настоящее время в качестве основы для многих криптографических стандартов берутся алгоритмы RSA и Эль-Гамаль. Эти алгоритмы основаны на задаче факторизации и дискретном логарифмировании в конечном поле. Для шифрования данных и создания электронной цифровой подписи в обоих алгоритмах используются 1024-битные и большие простые чисел. Таким образом, генерирование и работа с большими простыми числами стали одним из главных вопросов в криптографии. В общем, причиной широкого использования простых чисел в криптографии является трудность обнаружения этих чисел. Простые числа — это целые натуральные числа больше единицы, которые имеют ровно 2 натуральных делителя (только 1 и самого себя), т. е. не делятся ни на одно другое число, кроме самого себя и единицы [2]. Давно уже проводятся исследования, посвященные генерации простых чисел. Однако до сих пор не было найдены только генерирующие функции числа [1]. Причиной этого можно назвать отсутствие возможности описания простых чисел с помощью тех или иных натуральных чисел. Кроме того, простые числа неравномерно расположены в среде натуральных чисел. Имеется неограниченное количество простых чисел. То есть, ими можно пользоваться сколько угодно. Но они мало встречаются среди натуральных чисел.