Matematika fani predmeti. Matritsalar. Reja
Download 0.55 Mb. Pdf ko'rish
|
1-maruza Matritsalar
- Bu sahifa navigatsiya:
- Tayanch iboralar
- Fanning predmeti va uninig vazifalari.
- Matritsalar ustida chiziqli amallar. 2-ta’rif.
1-ma’ruza. Matematika fani predmeti. Matritsalar. Reja: 1. Fanning predmeti va uninig vazifalari. 2. Matritsa haqida asosiy tushunchalar. 3. Matritsa ustida chiziqli amallar. 4. Kvadrat matritsa determinanti. 5. Minor va algebraik to’ldiruvchi. Tayanch iboralar: Matematika, model, modellashtirish, matritsa, element, satr, ustun, nol matritsa, kvadrat matritsa, diagonal matritsa, birlik matritsa, determinant, kommutativ matritsalar chiziqli va chiziqsiz amallar.
Matematika (yunoncha mathematike, mathema – bilim, fan) – aniq mantiqiy mushohadalarga asoslangan bilimlar haqidagi fan. Dastlabki ob ʼyekti sanoq boʻlgani uchun koʻpincha unga "hisob-kitob haqidagi fan" deb qaralgan (bugungi matematikada hisoblashlar, hatto formulalar ustidagi amallar juda kichik o
ʻrin egallaydi). Matematika eng qadimiy fan sohasi boʻlib, uzoq rivojlanish tarixini bosib oʻtgan va buning barobarida "matematika nima?" degan savolga javob ham o ʻzgarib, chuqurlashib borgan. Yunonistonda matematika deganda geometriya tushunilgan. 9-13-asrlarda matematika tushunchasini algebra va
trigonometriya kengaytirgan. 17-18-asrlarda matematikada analitik geometriya, differensial va integral hisob asosiy o ʻrinni egallaganidan soʻng, to 20-asr boshlarigacha u "
" mazmunida ta ʼriflangan. 19-asr oxiri va 20-asr boshlarida turli geometriyalar ( Lobachevskiy geometriyasi, proyektiv geometriya, Riman geometriyasi kabi), algebralar (
kabi), cheksiz o ʻlchovli fazolar kabi mazmunan juda xilma-xil, ko ʻpincha sunʼiy tabiatli obʼyektlar oʻrganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi ta ʼrifi oʻta tor boʻlib qolgan. Bu davrda matematik mantiq va
toʻplamlar nazariyasi asosida o ʻziga xos mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng asosiy xususiyat — qat ʼiy mantiqiy mushohada, degan g ʻoya vujudga keldi. 1918 yilda tashkil etilgan Markaziy Osiyodagi birinchi universitet (hozirgi O ʻzbekiston milliy universiteti) da V.I.Romanovskiy matematika professori bo ʻldi. Sharqona milliy qadriyatlarni chuqur hurmat qilgan, o ʻzbek tilini oʻrgangan proffessor iqtidorli yoshlardan professional matematiklar yetishtirishga kirishdi va Toshkent ehtimollar nazariyasi va matematik statistika maktabiga asos soldi. Bu maktabdan T.A.Sarimsoqov, S.H.Sirojiddinov, T.Azlarov, Sh.Farmonov kabi yuzdan ortiq mutaxassislar yetishib chiqdi. Xalqaro Bernulli jamiyatining I kongressi Toshkentda o ʻtkazilgani (1986 yil) bu sohada O ʻzbekistonda olib borilayotgan tadqiqotlarning xalqaro miqyosda tan olinishi natijasidir. 20-asr 50-yillaridan boshlab respublika matematikaning boshqa sohalari bo ʻyicha ham ilmiy maktablar vujudga keldi. T.A.Sarimsoqov funksional analiz sohasida, I. S.Arjanix, M.S.Salohiddinov va T.J.Jo
ʻrayev – matematik fizika tenglamalari nazariyasi, I.S.Kukles – oddiy differensial tenglamalar nazariyasi, T.N.Qori-Niyoziy, S.H.Sirojiddinov, G.P.Matviyevskaya – matematika tarixi, V.Q.Qobulov, F.B.Abutaliyev, N.A. Bondarenko, T.Bo ʻriyev, A.F.Lavrik hisoblash matematikasi va sonlar nazariyasi yo ʻnalishlariga asos soldilar. 20-asrning soʻnggi choragida optimal boshqaruv nazariyasi (N.Yu.Sotimov), invariantlar nazariyasi (J.Hojiyev), matematik fizikaning funksional usullari (Sh.O.Alimov), operator algebralari va kvant fizikasining matematik usullari (Sh.A.Ayupov) kup kompleks o ʻzgaruvchili funksiyalar nazariyasi (A.S.Sadullayev) kabi eng zamonaviy sohalarida tadqiqotlar yo ʻlga qoʻyildi, O ʻzbekiston matematiklari Moskva, Sankt-Peterburg, Novosibirsk, Kiyev, Yekaterinburgdagi ilmiy markazlar bilan an ʼanaviy aloqalaridan tashqari yangi imkoniyatlarga ega boʻldilar. Buyuk Britaniya, Fransiya, AQSh ilmiy markazlarida o ʻzbekistonlik matematiklar asarlari muntazam chop etila boshladi. Matritsa haqida asosiy tushunchalar.
Aytaylik,
j m i a ij ; 1 , ; 1 m n ta ifodalar (sonlar) berilgan va ular ustida arifmetik amallar aniqlangan bo‘lsin. 1-ta’rif. Agar n j m i a ij ; 1 , ; 1 m n ta ifodalar (sonlar) m ta satr va n ta ustundan iborat mn m m n n a a a a a a a a a ...
... ...
2 1 2 22 21 1 12 11
(1)
jadval ko‘rinishda yozilgan bo‘lsa, uni matritsa , m×n ni esa uning tuzilishi (
i) deb ataladi. Yotiq (gorizontal) ko‘rinishda yozilgan
i i a a a , ... , , 2 1 ni
matritsaning i-satri ( i-satr-vektori ), tik
(vertikal) ko‘rinishda yozilgan
mj j j a a a ...
2 1
ni esa j-ustuni ( j-ustun-vektori ) deb ataladi. Demak, matritsani satr-vektorlar (yoki ustun-vektorlar) sistemasi sifatida ham qarash mumkin ekan. Matritsalarni belgilash uchun,
odatda, lotin
alifbosining bosh,
uni tashkil
etgan n j m i а ij , 1 ; , 1 ifodalarni (sonlarni) esa uning elementlari deyilib, qo‘sh indeks bilan ta’minlangan satriy harflaridan foydalaniladi. Aytilgan qo‘sh indekslardan birinchisi mazkur element joylashgan matritsa satrining, ikkinchisi esa ustunining tartibini bildiradi.
Matritsalarni belgilashda
qavslardan tashqari ( ) va { } qavslar, hamda ‖ ‖ kabi belgilash ham qo‘llaniladi. Shuningdek, soddalik uchun [a ij ]
, (a
)
va boshqa shularga o‘xshash belgilashlardan ham foydalanamiz. Agar matritsaning tuzilishi m×n da m ≠n bo‘lsa, uni to‘g‘ri to‘rtburchak , m=n bo‘lganda esa kvadrat matritsa deb ataladi (m=n bo‘lganda kvadrat matritsani n-tartibli matritsa deb ham yuritiladi va [a
]
o‘rniga [a
]
belgilashdan ham foydalanamiz). Agar A=[a ij ]
matritsaning a
(i=1,2,…,k) diagonal elementlaridan boshqa barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uni
deyiladi, bu yerda k=min(m,n). Diagonal matritsa odatda, D bilan
belgilanadi. Barcha diagonal elementlari 1 ga teng bo‘lgan kvadrat diagonal matritsani birlik matritsa deyiladi va
harfi orqali belgilanadi, ya’ni
1 ... 0 0 0 ...
1 0 0 ... 0 1 E .
Matritsaning barcha elementlari nollardan iborat bo‘lsa, uni nol matritsa deyiladi va E 0 yoki oddiy nol orqali belgilanadi, ya’ni E 0 =[a ij ]
=0. Bir xil o’lchamli n m ij а А va
n m ij в B matritsalardan birining barcha elementlari ikkinchisining mos elementlariga teng (ya’ni n j m i b a ij ij ; 1 , ; 1 , ) bo‘lsa, bu matritsalar teng deb hisoblanadi va A=B ko‘rinishda yoziladi. Agar birinchi matritsaning kamida bitta elementi ikkinchisining mos elementiga teng bo‘lmasa, bu matritsalar teng emas deyiladi va A
Quyidagi xossalar o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish osondir: 1 0 . A=B B=A; 2 0
B=C
2-ta’rif. Bir xil o’lchamli
n m ij a A va
n m ij b B matritsalarning yig‘indisi deb shunday C matritsaga aytiladiki, uning elementlari A va B matritsalar mos elementlarining yig‘indisidan iborat bo‘ladi va C=A+B deb yoziladi.
Ta’rif bo‘yicha n j m i b a c с С В А С ij ij ij n m ij , 1 , , 1 , , , . Matritsalar yig‘indisi ta’rifidan ularni qo‘shish amalining quyidagi xossalari kelib chiqadi: 1 0 . A+(B+C)=(A+B)+C; 2 0 . A+B=B+A; 3 0 . A+E 0 =A (bunda E 0 =(0), A,B,C – berilgan bir xil o’lchamli matritsalar).
Matritsalarning ayirmasi ularni qo‘shishga teskari amal tariqasida ta’riflanadi, ya’ni bir xil o’lchamli A va B matritsalarning ayirmasi deb, shunday C matritsaga aytiladiki, B+C=A bo‘ladi va C=A- B deb belgilanadi. Bu ta’rif asosida
va
n m ij b B bo‘lsa,
n j m i b a c с С В А С ij ij ij n m ij , 1 , , 1 , , ,
natija olinadi. Tuzilishlari bir xil bo‘lmagan, matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari aniqlanmagandir. 3-ta’rif.
n m ij a A matritsaning
deb, uning barcha elementlarini shu
songa ko‘paytirishdan hosil qilingan matritsaga aytiladi va
ko‘rinishda yoziladi. Ta’rifga ko‘ra
.
Matritsani songa ko‘paytirish amalining ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi: 1 0 . 1 . A = A . 1 = A; 2 0 . A . 0 = 0 .
0 ; 3 0 . ( A) = ( A) = ( )A; 4 0 . ( )
A =
5 0 .
Bu yerda A va B – bir xil o’lchamli matritsalar, va – haqiqiy sonlardir.
chiziqli amallardir.
O’lchamlari mos ravishda m×n va p×q bo‘lgan
q ij n m ij b B a A р ,
to‘g‘ri to‘rt burchak matritsalar berilgan bo‘lsin. Agar A matritsaning ustunlari soni n B matritsaning satrlari soni p ga teng bo‘lsa, bu matritsalarni ko‘paytirish amali ma’noga ega bo‘ladi.
va
q n ij b B matritsalarning ko‘paytmasi deb
shunday
q m ij c C matritsaga aytiladiki, uning elementlari n k kj ik ij q j m i b a c 1 ; 1 , ; 1 ;
(2) formula bilan aniqlanadi va AB=C kabi belgilanadi.
Ta’rifdan matritsalarni ko‘paytirish uchun quyidagi qoida kelib chiqadi: Ikki matritsaning ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan matritsaning i – satri va j – ustunida turuvchi elmentni hisoblash uchun birinchi matritsaning i – satridagi har bir elementini ikkinchi matritsaning j– ustunining mos elementiga ko‘paytirib, so‘ngra ularni qo‘shish kerak.
Masalan, quyidagi 1 3 1 0 1 2 , 4 3 2 1 B A
to‘g‘ri to‘rt burchak matritsalar ko‘paytmasini topaylik:
4 9 2 2 7 4 1 ) 4 ( 0 3 3 4 1 3 1 ) 4 ( 2 3 1 2 0 1 3 2 1 1 1 2 2 1 B A C .
Matritsalarni ko‘paytirish amali quyidagi xossalarga ega: 1 0
2 0 . (AB) = (
( B) 3 0 . (A ± B) . C = A . C ± B . C; 4 0 . C(A ± B) = C . A ± C . B; 5 0 . A va B lar bir xil tartibli kvadrat matritsalar bo‘lsa, det(AB)=(detA) (detB). Bu yerda A, B, C – matritsalar, – haqiqiy son. Ikki matritsaning ko‘paytmasi uchun kommutativlik (o‘rin almashtirish) xossasi umuman aytganda o‘rinli emas, yani ushbu AB=BA tenglik doim o‘rinli bo‘lavermaydi. Ammo, ular bir xil tartibli kvadrat matritsalar bo‘lib, bittasi E – birlik matritsadan iborat bo‘lganda (masalan, B=E) AE=EA=A tenglik o‘rinlidir.
Agar A va B matritsalar uchun AB=BA bajarilsa, u vaqtda ular kommutativ matritsalar deyiladi. Yuqorida eslatganimizdek, birlik matritsa o‘zi bilan bir xil tartibga ega bo‘lgan kvadrat matritsa bilan kommutativdir.
Matritsalarni ko‘paytirish ular ustidagi chiziqsiz amaldir.
mn m m n n a a a a a a a a a A ...
... ...
2 1 2 22 21 1 12 11 matritsadan uning satrlarini mos ustunlar qilib yozish natijasida hosil qilinadigan matritsani A ga nisbatan transponirlangan matritsa deyiladi va uni A* (yoki A ) bilan belgilanadi, ya’ni mn n n m m a a a a a a a a a A ...
... ...
* 2 1 2 22 12 1 21 11 . Bu ta’rifdan ko‘rinadiki, agar A matritsa m×n o’lchamli bo‘lsa, A* matritsa n×m o’lchamli bo‘ladi. Matritsani transponirlash amali doimo aniqlangan bo‘lib, quyidagi hossalarga ega: 1 0
2 0 . A va B lar bir xil o’lchamli bo‘lganda (A±B)*=A*±B* 3 0 . A=[a ij ] n –
simmetrik kvadrat matritsa , ya’ni n j i a a ji ij , 1 , bo‘lsa, A*=A bo‘ladi, va aksincha. 4 0
B AB o‘rinlidir.
Download 0.55 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling