Matematika fani predmeti. Matritsalar. Reja


Download 0.55 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana10.12.2020
Hajmi0.55 Mb.
#162847
  1   2   3
Bog'liq
1-maruza Matritsalar


1-ma’ruza. Matematika fani predmeti. Matritsalar. 

 

Reja: 

1. Fanning predmeti va uninig vazifalari. 

2. Matritsa haqida asosiy tushunchalar.  

3. Matritsa ustida chiziqli amallar.  

4. Kvadrat matritsa determinanti. 

5. Minor va algebraik to’ldiruvchi. 



Tayanch iboralar: 

Matematika,  model,  modellashtirish,  matritsa,  element,  satr,  ustun,  nol  matritsa,  kvadrat  matritsa, 

diagonal matritsa, birlik matritsa, determinant, kommutativ matritsalar chiziqli va chiziqsiz amallar. 

 

Fanning predmeti va uninig vazifalari. 



 

Matematika

  (yunoncha 



mathematike,  mathema

  –  bilim,  fan)  –  aniq  mantiqiy  mushohadalarga 

asoslangan  bilimlar  haqidagi  fan.  Dastlabki  ob

ʼyekti  sanoq  boʻlgani  uchun  koʻpincha  unga  "hisob-kitob 

haqidagi  fan"  deb  qaralgan  (bugungi  matematikada  hisoblashlar,  hatto  formulalar  ustidagi  amallar  juda 

kichik o


ʻrin egallaydi). Matematika eng qadimiy fan sohasi boʻlib, uzoq rivojlanish tarixini bosib oʻtgan 

va  buning  barobarida  "matematika  nima?"  degan  savolga  javob  ham  o

ʻzgarib,  chuqurlashib  borgan. 

Yunonistonda 



matematika

  deganda 



geometriya

  tushunilgan.  9-13-asrlarda  matematika  tushunchasini 



algebra

 va 


trigonometriya

 kengaytirgan. 17-18-asrlarda matematikada 



analitik geometriya, differensial

 va 

integral  hisob

  asosiy  o

ʻrinni  egallaganidan  soʻng,  to  20-asr  boshlarigacha  u  "

miqdoriy  munosabatlar  va

 

fazoviy  shakllar  haqidagi  fan

"  mazmunida  ta

ʼriflangan.  19-asr  oxiri  va  20-asr  boshlarida  turli 

geometriyalar  (



Lobachevskiy  geometriyasi,  proyektiv  geometriya,  Riman  geometriyasi

  kabi),  algebralar 

(

Bull  algebrasi,  kvaternionlar  algebrasi,  Keli  algebrasi

  kabi),  cheksiz  o

ʻlchovli  fazolar kabi  mazmunan 

juda xilma-xil, ko

ʻpincha sunʼiy tabiatli obʼyektlar oʻrganila boshlanishi bilan matematikaning yuqoridagi 

ta

ʼrifi  oʻta  tor  boʻlib  qolgan.  Bu  davrda 



matematik  mantiq

  va 


toʻplamlar  nazariyasi

  asosida  o

ʻziga  xos 

mushohada uslubi hamda tili shakllanishi natijasida matematikada eng asosiy xususiyat — qat

ʼiy mantiqiy 

mushohada, degan g

ʻoya vujudga keldi. 

1918  yilda  tashkil  etilgan  Markaziy  Osiyodagi  birinchi  universitet  (hozirgi  O

ʻzbekiston  milliy 

universiteti)  da  V.I.Romanovskiy  matematika  professori  bo

ʻldi.  Sharqona  milliy  qadriyatlarni  chuqur 

hurmat  qilgan,  o

ʻzbek  tilini  oʻrgangan  proffessor  iqtidorli  yoshlardan  professional  matematiklar 

yetishtirishga kirishdi va Toshkent ehtimollar nazariyasi va matematik statistika maktabiga asos soldi. Bu 

maktabdan T.A.Sarimsoqov, S.H.Sirojiddinov, T.Azlarov, Sh.Farmonov kabi yuzdan ortiq mutaxassislar 

yetishib  chiqdi.  Xalqaro  Bernulli  jamiyatining  I  kongressi  Toshkentda  o

ʻtkazilgani  (1986 yil) bu sohada 

O

ʻzbekistonda olib borilayotgan tadqiqotlarning xalqaro miqyosda tan olinishi natijasidir. 



20-asr  50-yillaridan  boshlab  respublika  matematikaning  boshqa  sohalari  bo

ʻyicha  ham  ilmiy 

maktablar vujudga keldi. T.A.Sarimsoqov funksional analiz sohasida, I. S.Arjanix, M.S.Salohiddinov va 

T.J.Jo


ʻrayev  –  matematik  fizika  tenglamalari  nazariyasi,  I.S.Kukles  –  oddiy  differensial  tenglamalar 

nazariyasi,  T.N.Qori-Niyoziy,  S.H.Sirojiddinov,  G.P.Matviyevskaya  –  matematika  tarixi,  V.Q.Qobulov, 

F.B.Abutaliyev,  N.A.  Bondarenko,  T.Bo

ʻriyev,  A.F.Lavrik  hisoblash  matematikasi  va  sonlar  nazariyasi 

yo

ʻnalishlariga asos soldilar. 20-asrning soʻnggi choragida optimal boshqaruv nazariyasi (N.Yu.Sotimov), 



invariantlar  nazariyasi  (J.Hojiyev),  matematik  fizikaning  funksional  usullari  (Sh.O.Alimov),  operator 

algebralari  va  kvant  fizikasining  matematik  usullari  (Sh.A.Ayupov)  kup  kompleks  o

ʻzgaruvchili 

funksiyalar  nazariyasi  (A.S.Sadullayev)  kabi  eng  zamonaviy  sohalarida  tadqiqotlar  yo

ʻlga  qoʻyildi, 

O

ʻzbekiston  matematiklari  Moskva,  Sankt-Peterburg,  Novosibirsk,  Kiyev,  Yekaterinburgdagi  ilmiy 



markazlar  bilan  an

ʼanaviy  aloqalaridan  tashqari  yangi  imkoniyatlarga  ega  boʻldilar.  Buyuk  Britaniya, 

Fransiya, AQSh ilmiy markazlarida o

ʻzbekistonlik matematiklar asarlari muntazam chop etila boshladi. 



 

Matritsa haqida asosiy tushunchalar. 

 

Aytaylik, 





n



j

m

i

a

ij

;

1



,

;

1



  m





n  ta  ifodalar  (sonlar)  berilgan  va  ular  ustida  arifmetik  amallar 

aniqlangan bo‘lsin. 



1-ta’rif. Agar 



n

j

m

i

a

ij

;

1



,

;

1



 m





n ta ifodalar (sonlar) m ta satr va n ta ustundan iborat 

 

















mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

...


...

...


2

1

2



22

21

1



12

11

   



 

(1) 


 

jadval ko‘rinishda yozilgan bo‘lsa, uni 



matritsa

m×n ni esa uning 



tuzilishi

 (

o’lcham



i) deb ataladi. 

Yotiq (gorizontal) ko‘rinishda yozilgan 



in



i

i

a

a

a

,

...



,

,

2



1

 ni 


matritsaning i-satri

 (

i-satr-vektori

), tik 


(vertikal) ko‘rinishda yozilgan  

 

 



 

 

 



 











mj

j

j

a

a

a

...


2

1

 



ni  esa 

j-ustuni

  (

j-ustun-vektori

)  deb  ataladi.  Demak,  matritsani  satr-vektorlar  (yoki  ustun-vektorlar) 

sistemasi sifatida ham qarash mumkin ekan. 

Matritsalarni 

belgilash 

uchun, 


odatda, 

lotin 


alifbosining 

bosh, 


uni 

tashkil 


etgan 



n

j

m

i

а

ij

,

1



;

,

1



 ifodalarni (sonlarni) esa uning 



elementlari

 deyilib, qo‘sh indeks bilan ta’minlangan 

satriy  harflaridan  foydalaniladi.  Aytilgan  qo‘sh  indekslardan  birinchisi  mazkur  element  joylashgan 

matritsa satrining, ikkinchisi esa ustunining tartibini bildiradi. 

 

Matritsalarni belgilashda 



 



 qavslardan tashqari  ( )  va { } qavslar, hamda ‖ ‖ kabi belgilash ham 

qo‘llaniladi.  Shuningdek,  soddalik  uchun  [a



ij

]

m*n

,  (a

ij

)

m*n

  va  boshqa  shularga  o‘xshash  belgilashlardan 

ham foydalanamiz.  

Agar  matritsaning  tuzilishi  m×n  da    m

n  bo‘lsa,  uni 



to‘g‘ri  to‘rtburchak

,  m=n  bo‘lganda  esa 



kvadrat matritsa

 deb ataladi (m=n bo‘lganda kvadrat matritsani 



n-tartibli matritsa

 deb ham  yuritiladi va 

[a

ij

]

m*n

 o‘rniga  [a

ij

]

 n

 belgilashdan ham foydalanamiz). 

Agar  A=[a



ij

]

m*n

  matritsaning  a

ii

  (i=1,2,…,k)  diagonal  elementlaridan  boshqa  barcha  elementlari 

nolga teng bo‘lsa, uni 

diagonal matritsa

 deyiladi, bu yerda k=min(m,n). Diagonal matritsa odatda



bilan 


belgilanadi. 

Barcha  diagonal elementlari 1 ga teng bo‘lgan kvadrat diagonal matritsani 



birlik matritsa

 deyiladi 

va 

E

 harfi orqali belgilanadi, ya’ni 

 















1



...

0

0



0

...


1

0

0



...

0

1



E

 



Matritsaning barcha elementlari nollardan iborat bo‘lsa, uni 

nol matritsa

 deyiladi va E

0

 yoki oddiy 



nol orqali belgilanadi, ya’ni E

0

=[a



ij

]

m*n

=0. 

Bir  xil    o’lchamli 



 

n

m

ij

а

А



  va 

 


n

m

ij

в

B



  matritsalardan  birining  barcha  elementlari 

ikkinchisining mos elementlariga teng (ya’ni 



n

j

m

i

b

a

ij

ij

;

1



,

;

1



,



) bo‘lsa, bu matritsalar teng deb 

hisoblanadi va  A=B ko‘rinishda yoziladi. Agar birinchi matritsaning kamida bitta elementi ikkinchisining 

mos elementiga teng bo‘lmasa, bu 



matritsalar teng emas

 deyiladi va A



B ko‘rinishda yoziladi.  

 

Quyidagi xossalar o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilish osondir: 



1

0

A=B



 B=A

2

0

A=B





 B=



 A=C. 

 

Matritsalar ustida chiziqli amallar. 

 


2-ta’rif.  Bir  xil  o’lchamli 

 


n

m

ij

a

A



  va   

 


n

m

ij

b

B



 

matritsalarning  yig‘indisi 

deb  shunday  C 

matritsaga  aytiladiki,  uning  elementlari  A  va  B  matritsalar  mos  elementlarining  yig‘indisidan  iborat 

bo‘ladi va C=A+B deb yoziladi. 

 

Ta’rif bo‘yicha 



 

n

j

m

i

b

a

c

с

С

В

А

С

ij

ij

ij

n

m

ij

,

1



,

,

1



,

,

,







  . 



Matritsalar yig‘indisi ta’rifidan ularni qo‘shish amalining quyidagi xossalari kelib chiqadi: 

1

0



A+(B+C)=(A+B)+C

2

0



A+B=B+A

3

0



.  A+E

0

=A (bunda E



0

=(0),  A,B,C – berilgan bir xil o’lchamli matritsalar). 

  

Matritsalarning  ayirmasi  ularni  qo‘shishga  teskari  amal  tariqasida  ta’riflanadi,  ya’ni  bir  xil 



o’lchamli A va B 

matritsalarning ayirmasi 

deb, shunday C matritsaga aytiladiki, B+C=bo‘ladi va C=A-



deb belgilanadi

Bu ta’rif asosida   

 

n

m

ij

a

A



 va  

 


n

m

ij

b

B



 bo‘lsa,   

 

 



 

n

j

m

i

b

a

c

с

С

В

А

С

ij

ij

ij

n

m

ij

,

1



,

,

1



,

,

,







 



natija olinadi.  

Tuzilishlari bir xil bo‘lmagan, matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari aniqlanmagandir. 



3-ta’rif. 

 


n

m

ij

a

A



 

matritsaning 



  songa  ko‘paytmasi 

deb, uning barcha elementlarini shu 

 



songa ko‘paytirishdan hosil qilingan matritsaga aytiladi va 



A yoki A

 ko‘rinishda yoziladi. 



 

Ta’rifga ko‘ra 

 

n

m

ij

a

A

A







 

Matritsani songa ko‘paytirish amalining ta’rifidan uning quyidagi xossalari kelib chiqadi: 



1

0

. 1



.

= A

.

1 = A; 



2

0

. A 



0 = 



= E

0

; 



3

0

.



(



 A) = 

(





 A) = (



)A; 



4

0

. (





)

.



= 



 A ± 



 A; 

5

0



. 



 (A±B) = 



 A ± 



 B. 

Bu yerda A va B – bir xil o’lchamli matritsalar, 

 va 



 – haqiqiy sonlardir. 

 

 

Yuqorida ta’riflangan qo‘shish, ayirish va songa ko‘paytirish matritsalar ustidagi 



chiziqli

 amallardir

 

 



O’lchamlari mos ravishda m×n va p×q bo‘lgan 

 


 

q

ij

n

m

ij

b

B

a

A



р



,

 

to‘g‘ri  to‘rt  burchak  matritsalar  berilgan  bo‘lsin.  Agar  A  matritsaning  ustunlari  soni  n    B  matritsaning 



satrlari soni p ga teng bo‘lsa, bu matritsalarni ko‘paytirish amali ma’noga ega bo‘ladi. 

 

4-ta’rif.  Berilgan  tartibda  olingan 

 

n

m

ij

a

A



  va 

 


q

n

ij

b

B



 

matritsalarning  ko‘paytmasi 

deb 


shunday 

 


q

m

ij

c

C



  matritsaga aytiladiki, uning elementlari  







n

k

kj

ik

ij

q

j

m

i

b

a

c

1

;



1

,

;



1

;

 



 

 

(2) 



formula bilan aniqlanadi va AB=C kabi belgilanadi. 

 

 



Ta’rifdan matritsalarni ko‘paytirish uchun quyidagi qoida kelib chiqadi: 

Ikki  matritsaning  ko‘paytmasidan  iborat  bo‘lgan  matritsaning  i  –  satri  va  j  –  ustunida  turuvchi  

elmentni hisoblash  uchun birinchi  matritsaning i  –  satridagi har bir elementini  ikkinchi matritsaning j–

ustunining mos elementiga ko‘paytirib, so‘ngra ularni qo‘shish kerak

 

Masalan, quyidagi 













1



3

1

0



1

2

,



4

3

2



1

B

A

 

to‘g‘ri to‘rt burchak matritsalar ko‘paytmasini topaylik: 



 

 


     





























4



9

2

2



7

4

1



)

4

(



0

3

3



4

1

3



1

)

4



(

2

3



1

2

0



1

3

2



1

1

1



2

2

1



B

A

C



 

Matritsalarni ko‘paytirish amali quyidagi xossalarga ega: 

1

0

  A(BC) = (AB)C; 



2

0

.  



(AB) = (



A)

.

= A

.

(



B) 

3

0



.   (A ± B)

.

= A

.

C ± B

.

C; 

4

0



.   C(A ± B) = C

.

A ± C

.

B

5

0



.  A va B lar bir xil tartibli kvadrat matritsalar bo‘lsa,     det(AB)=(detA)

(detB). 



Bu yerda A, B, C – matritsalar, 

 – haqiqiy son. 



 

Ikki matritsaning ko‘paytmasi uchun kommutativlik (o‘rin almashtirish) xossasi umuman aytganda 

o‘rinli emas, yani ushbu AB=BA  tenglik doim o‘rinli bo‘lavermaydi. Ammo, ular bir xil tartibli kvadrat 

matritsalar  bo‘lib,  bittasi  E  –  birlik  matritsadan  iborat  bo‘lganda  (masalan,  B=E)    AE=EA=A  tenglik 

o‘rinlidir. 

 

Agar  A  va  B  matritsalar  uchun  AB=BA  bajarilsa,  u  vaqtda  ular 



kommutativ  matritsalar 

deyiladi. 

Yuqorida  eslatganimizdek,  birlik  matritsa  o‘zi  bilan  bir  xil  tartibga  ega  bo‘lgan  kvadrat  matritsa  bilan 

kommutativdir. 

 

 

 



Matritsalarni  ko‘paytirish ular ustidagi chiziqsiz amaldir. 

 

Ta’rif. Berilgan m×n o’chamli 

















mn

m

m

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...


...

...


2

1

2



22

21

1



12

11

  matritsadan  uning  satrlarini  mos  ustunlar 



qilib  yozish  natijasida  hosil  qilinadigan  matritsani  A  ga  nisbatan 

transponirlangan  matritsa 

deyiladi  va 

uni A* (yoki A

) bilan  belgilanadi, ya’ni 

















mn

n

n

m

m

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

...


...

...


*

2

1



2

22

12



1

21

11



Bu  ta’rifdan  ko‘rinadiki,  agar  A  matritsa  m×n  o’lchamli  bo‘lsa,  A*  matritsa  n×m  o’lchamli  

bo‘ladi.  

Matritsani transponirlash amali doimo aniqlangan bo‘lib, quyidagi hossalarga ega: 

1

0

.  (A*)= A 



2

0

.   A va B lar bir xil o’lchamli bo‘lganda (A±B)*=A*±B* 



3

0

.    A=[a



ij

]

n

  – 


simmetrik  kvadrat  matritsa

,  ya’ni 



n

j

i

a

a

ji

ij

,

1



,



  bo‘lsa,  A*=A  bo‘ladi,  va 

aksincha. 

4

0

. Agar A va B matritsalar uchun AB aniqlangan bo‘lsa, 



 





A



B

AB

 o‘rinlidir. 

 


Download 0.55 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling