Matematika


Download 24.48 Kb.
Sana01.06.2020
Hajmi24.48 Kb.


O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS

TA’LIM VAZIRLIGI BUXORO DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI

MATEMATIKA” KAFEDRASI

Diskret matematika va matematik mantiq” fanidan
KURS ISHI
Mavzu:“Mulohazalar hisobi. Keltirib chiqarish. Isbot tushunchasi. Teorema tushunchasi.
Bajardi : Matematika fakulteti 1-1MAT-18 guruh talabasi

Jo’rayeva Gulchexra Jalol qizi
Tekshirdi : ______________________________________
Kurs ishi himoya qilingan sana : “____”_____20____yil
Komissiya a’zolari : _________ ______________________

(imzo) (F.I.SH)

_________ ______________________



(imzo) (F.I.SH)

__________ ______________________



(imzo) (F.I.SH)
Ball: ___________

Buxoro -2020



Mavzu:“Mulohazalar hisobi. Keltirib chiqarish. Isbot tushunchasi. Teorema tushunchasi.

Reja:

Kirish.

I BOB. Mulohazlar hisobi. Keltirib chiqarish formulalari.

    1. Mulohazalar hisobi formulasi.

    2. Keltirib chiqarish formulalari.

II BOB. Keltirib chiqarishning asosiy qoidalari. Isbotlash tushunchasi.

2.1.Keltirib chiqarishning asosiy qoidasi.

2.2. Isbotlash tushunchasi.

Xulosa.

Ilova

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

KIRISH

Bugungi kunda, “Farzandlarimiz bizdan ko’ra kuchli, bilimli, dono va albatta baxtli bo’lishi shart” degan hayotiy da’vat har birimizning, ota-onalar va keng jamoatchilikning ongi va qalbidan mustahkam o’rin egallagan. Hammamizni tarbiyalagan, voyaga yetkazgan- shu xalq. Barchamizga tuz-nasiba bergan ham-shu xalq. Bizga ishonch bildirgan, rahbar qilib saylagan ham aynan shu xalq.

Shunday ekan, biz birinchi navbatda kim bilan muloqot qilishimiz kerak- odamlarimiz bilan.Kim bilan bamaslaxat ish tutishimiz kerak- avvalo xalqimiz bilan. Shunda xalqimiz bizdan rozi bo’ladi. Xalq bizdan rozi bo’lsa, yaratgan ham bizdan rozi bo’ladi. Sh.M.Mirziyoyev

“Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to’g’risida” prezident qarori qabul qilindi. Xalq ta’limi vazirligi xabariga ko’ra, matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish, ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish va ilmiy ishlanmalarni amaliyotga joriy qilishning ustuvor yo’nalishlari belgilandi.

Qarorga ko’ra, har bir tumanda (shaharda) matematika fanini chuqurlashtirib o’qitishga ixtisoslashtirilgan maktablar (ixtisoslashtirilgan bog’chalar) bosqichmia-bosqich tashkil etiladi.

Hozirgi kunda Diskret matematika va matematik mantiq amaliy masalalarni yechishning eng keng tarqalgan fanlardan biri, masalan, hisoblash texnikasining mantiqiy asoslari va dasturiy ta’minotini rivojlantirishda.

Matematik mantiq, bir tomondan, formal mantiqga muammolariga matematik metodlarni qo’llash bo’lsa, ikkinchi tomondan, matematikani asoslashga xizmat qiluvchi fan sifatida foydalanishdir. Hozirgi zamon matematik mantiqi avtomatika, mashina matematikasi, bir tildan ikkinchi tilga avtomatik tarzda tarjima qilish, matematik lingvistika, axborot nazariyasi va umuman kibernetikaning nazariy va asosi hisoblanadi.

Mavzuning dolzarbligi.Mulohazalar hisobi, keltirib chiqarish qoidalari, teoremalar tushunchasi “Diskret matematika va matematik mantiq” kursida muhim tushunchalaridan biri hisoblanib, kurs davomida bu mavzu talabalarga mustaqil o’rganish uchun taqdim etiladi.

Ushbu kurs ishida mulohaza, mulohazalar hisobi formulasi, formulani keltirib chiqarish qoidasi tushunchalari oliy o’quv yurtlari talabalarining bu boradagi bilimlarini mustahkamlashda muhim rol o’ynaydi.Talabalarning bu boradagi bilimlarini mustahkamlash bilan birga,kelajakdagi faoliyatlari uchun dastur-ul amal bo’lib xizmat qiladi.

Kurs ishining maqsadi. Yuqorida ishning dolzarbligi qismida bayon qilingan mulohazalar ishning maqsadini aniqlab beradi va ular quyidagilardan iborat:


  • Mulohaza hisobi formula;

  • Keltirib chiqarish qoidasi;

  • Isbotlash tushunchasi;

  • Teoremalarni o’rganish

Tadqiqot usuli va uslubiyoti.O’quv-qo’llanma sifatida foydalanish mumkin.Talabalar keyingi faoliyatida dasturiy vosita sifatida foydalana olishi mumkin. Kurs ishidan oliy o'quv yurtlari talabalari diskret matematika va matematik matiq fanini o'rganishda foydalanishlari mumkin.

  • Kurs ishining predmeti.Mulohazalar, mulohazalar hisobi formulasi, formulaning keltrib chiqarish qoidasi, asosiy qoidalar va teoremalar tushunchasi.

  • Kurs ishining ilmiy yangiligi. Ishda ilmiy yangilik qilinmagan,u referativ uslubiy xarakterga ega bo'lib, unda mulohazalar hisobi, teoremalar. Isbotlash tushunchasi va keltirib chiqarish formulalari o’rganilgan.

  • Kurs ishining metodologik asosi. Ushbu kurs ishi uchun mulohazalar hisobi bo’limini o'rganishda metodologik asos bo'lib xizmat qiladi.

  • Kurs ishining hajmi va tuzilishi. Kurs ishi kirish qismidan, 2 ta bob, 4 ta paragraf, xotima hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib, ishning hajmi 20 betni tashkil etadi.

Diskret matematika -matematika fanining bir qismi bo’lib, u asosan diskret texnikada keng qo’llanilmoqda. Hozirgi kunda Diskret matematika va matematik mantiq amaliy masalalarni yechishning eng keng tarqalgan fanlardan biri, masalan, hisoblash texnikasining mantiqiy asoslari va dasturiy ta’minotini

rivojlantirishda, usulning qo’llanilishi qulayligi, uning har qanday murakkab shakli soha uchun ham qo’llanilishi soddaligi sababli bu usul amaliyotchi va ayniqsa muhandislar orasida keng qo’llanilib

kelinmoqda. Bu usul asosida ishlab chiqarish tizimining bir qator hisoblari muvaffaqiyatli qo’llanilib, kelinmoqda. Bu esa Diskret matematika va matematik mantiqning amaliy ahamiyati naqadar yuqori ekanligini bildiradi.

Diskret matematika va matematik mantiq avvalo muhandislar tomonidan taklif etildi, undan keyinroq esa u o’zining matematik asosiga ega bo’ldi.



Fanning maqsadi – matematika va informatika ta’lim yo’nalishi talabalariga «Diskret matematika va matematik mantiq» ning nazariy asoslarini, ularning amaliyotdagi o’rni va o’ziga xos

xususiyatlarini va afzalliklarini, amaliy masalalarni yechishga tadbiq qilishni, har xil ob’yektlarni tadqiq qilishni o’rgatish.



Fanning asosiy masalasimatematik mantiq, bir tomondan, formal mantiq muammolariga matematik metodlarni qo‘llash bo‘lsa, ikkinchi tomondan, matematikani asoslashga xizmat qiluvchi fan sifatida foydalanishdir. Hozirgi zamon matematik mantiqiy avtomatika, mashina matematikasi, bir tildan ikkinchi tilga avtomatik tarzda tarjima qilish, matematik lingvistika, axborot nazariyasi va umuman kibernetikaning nazariy va asosi hisoblanadi. Fanni o’zlashtirish natijasida talaba ”Diskret matematika va matematik mantiq” ning asosiy tushunchalarini o’zlashtirishi va uni amaliyotga qo’llay bilishi lozim.

I BOB. Mulohazlar hisobi. Keltirib chiqarish formulalari.

Mulohaza.

Matematik mantiqning mulohazalar algebrasi deb atalgan ushbu bo‘limida asosiy tekshirish ob’yektlari bo‘lib gaplar xizmat qiladi. Mulohazalar algebrasida ma’nosiga ko‘ra chin (rost,haqqoniy, to‘g‘ri) yoki yolg‘on (noto‘g‘ri) bo‘lishi mumkin bo‘lgan gaplar bilangina shug‘ullaniladi.

Mulohazalar algebrasi mantiq algebrasi deb ham yuritiladi.

Ma’nosiga ko‘ra faqat chin yoki yolg‘on qiymat qabul qila oladigan darak gap mulohaza deb ataladi.Bu ta‘rifga ko‘ra har bir mulohaza muayyan holatda chin yoki yolg‘on bo‘lishi mumkin.Mulohazalarni belgilash uchun, asosan, lotin alifbosining kichik harflari (ba’zan indekslari bilan)ishlatiladi:a, b, c,..., u, v, ..., x, y, z .

Shunday mulohazalar borki, ular mumkin bo‘lgan barcha hollarda (vaziyatlarda) ch (yoki yo)qiymat qabul qiladi. Bunday mulohazalar absolyut chin (yolg‘on) mulohazalar deb ataladi.

Mulohazalar algebrasida, odatda, muayyan o‘zgarmas mulohazalar (ch, yo) bilangina emas,balki istalgan mulohazalar bilan ham shug‘ullaniladi. Bu esa o‘zgaruvchi mulohaza tushunchasiga

olib keladi. Agar berilgan mulohazani x deb belgilasak, u holda x ch yoki yo qiymat qabul qiladigan o‘zgaruvchi mulohazani ifodalaydi. Faqat bitta tasdiqni ifodalovchi mulohazani elementar (oddiy) mulohaza deb hisoblaymiz.

Mulohazalar hisobining asosiy tushunchalari

Bu bobda olingan natijalarni bayon qilishda zarur bo’lgan asosiy tushunchalar: mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi, isbotlanuvchi formula ta’rifi, mulohazalar hisobining aksiomalar tizimi, keltirib chiqarish qoidalari va uning natijalari, formulalar majmuasidan formulani keltirib chiqarish qoidasi mulohazalar algebrasi va mulohazalar hisobi o’rtasidagi munosabatlar bayon qilingan.



Mulohazalar hisobi aksiomatik mantiqiy sistema bo’lib, mulohazalar algebrasi esa uning interpretasiyasidir (talqinidir).

Berilgan aksiomalar sistemasi negizida (bazasida) qurilgan aksiomatik nazariya deb shu aksiomalar sistemasiga tayanib isbotlanuvchi hamma teoremalar majmuasiga aytiladi.

Aksiomatik nazariya formal va formalmas nazariyalarga bo’linadi.

Formalmas aksiomatik nazariya nazariy-to’plamiy mazmun bilan to’ldirilgan bo’lib, keltirib chiqarish tushunchasi aniq berilmagan va bu nazariya asosan fikr mazmuniga tayanadi.

Qaralayotgan aksiomatik nazariya uchun quyidagi shartlar bajarilgan bo’lsa, ya’ni:

1) nazariyaning tili berilgan;

2) formula tushunchasi aniqlangan;

3) aksiomalar deb ataladigan formulalar to’plami berilgan;

4) bu nazariyada keltirib chiqarish qoidasi aniqlangan bo’lsa, formal aksiomatik nazariya aniqlangan deb hisoblanadi.



Mulohazalar hisobi formulasi tushunchasi

Har qanday hisobning tafsili bu hisobning simvollari tafsilidan, formulalar va keltirib chiqarish formulalari ta’rifidan iborat.


Mulohazalar hisobida uch kategoriyali simvollardan iborat alfavit qabul qilinadi:

Birinchi kategoriya simvollari: x,y,z…. Bu simvollarni

o’zgaruvchilar deb ataymiz.



Ikkinchi kategoriya simvollari: , , , . Bular mantiqiy

bog’lovchilardir. Birinchisi – diz’yunksiya yoki mantiqiy qo’shish belgisi,

ikkinchisi – kon’yunksiya yoki mantiqiy ko’paytma belgisi, uchinchisi –

implikasiya belgisi va to’rtinchisi – inkor belgisi deb ataladi.



Uchinchi kategoriyaga qavs deb ataladigan ( , ) simvol kiritiladi.

Mulohazalar hisobida boshqa simvollar yo’q.

Mulohazalar hisobining formulasi deb mulohazalar hisobi alfaviti

simvollarining ma’lum bir ketma-ketligiga aytiladi.

Formulalarni belgilash uchun lotin alfavitining katta harflaridan

foydalanamiz. Bu harflar mulohazalar hisobining simvollari qatoriga kirmaydi.

Ular faqatgina formulalarning shartli belgilari bo’lib xizmat qiladi.

Endi formula tushunchasi ta’rifini beraylik. Bu tushuncha quyidagicha aniqlanadi:

1) har qanday x, y, z,... o’zgaruvchilarning istalgan biri formuladir;

2) agar A va B larning har biri formula bo’lsa, u holda ( A B ), (A B ), ( AB ) va A lar ham formulalardir.

3) boshqa hech qanday simvollar satri formula bo’la olmaydi.

O’zgaruvchilarni elementar formulalar deb ataymiz.

Misol. Formula ta’rifining 1-bandiga ko’ra x, y, z,... o’zgaruvchilar

formulalar bo’ladi. U vaqtda ta’rifning 2-bandiga muvofiq (x y) , (x y) , (xy) ; x lar ham formulalardir. Xuddi shu tariqada (x y), ((x y)z)) ,

((x y)(yz)) lar ham formulalar bo’ladi.

Qismiy formula tushunchasini kiritamiz:

1. Elementar formula uchun faqat uning o’zi qismiy formuladir.

2. Agar A formula bo’lsa, u vaqtda shu formulaning o’zi, A formula va A formulaning hamma qismiy formulalari uning qismiy formulalari bo’ladi.

3. Agar formula AB ko’rinishda bo’lsa (bu yerda va bundan keyin o’rniga , , simvollarning istalganini tushunamiz), u vaqtda shu formulaningo’zi, A va B formulalar hamda A va B formulalarning barcha qismiy formulalari.



II BOB. Keltirib chiqarishning asosiy qoidalari. Isbotlash tushunchasi.
Isbotlanuvchi formula ta’rifi. Mulohazalar hisobining aksiomalar tizimi. Keltirib chiqarish qoidalari
Endi mulohazalar hisobida isbotlanuvchi formulalar sinfini ajratamiz. Isbotlanuvchi formulalar formulalar ta’rifiga o’xshash xarakterda ta’riflanadi. Avval dastlabki isbotlanuvchi formulalar (aksiomalar), undan keyin esa keltirib chiqarish qoidasi aniqlanadi. Keltirib chiqarish qoidasi orqali bor isbotlanuvchi formulalardan yangi isbotlanuvchi formulalar hosil qilinadi.


Mulohazalar hisobining aksiomalar tizimi.
Mulohazalar hisobining aksiomalar tizimi XI aksiomadan iborat bo’lib, bular to’rt guruhga bo’linadi.

AB formulaning qismiy formulalari bo’ladi.
Birinchi guruh aksiomalari:
I1 x(yx) .

I2 (x(yz))((xy)(xz)).


Ikkinchi guruh aksiomalari:
II1 x yx.

II2 x yy.

II3 (zx)((zy)(zx y)).
Uchinchi guruh aksiomalari:
III1 xx y .

III2 yx y.

III3 (xz)((yz)(xyz)).
To’rtinchi guruh aksiomalari:
IV1 (xy)(y x) .

IV2 xx .

IV3 x x .
O’rniga qo’yish qoidasi.
Agar A mulohazalar hisobining isbotlanuvchi formulasi, x -o’zgaruvchi, B mulohazalar hisobining ixtiyoriy formulasi bo’lsa, u vaqtda A formula ifodasidagi hamma x lar o’rniga B formulani qo’yish natijasida hosil etilgan formula ham isbotlanuvchi formula bo’ladi.

A formuladagi x o’zgaruvchilar o’rniga B formulani qo’yish operasiyasi (jarayoni)ni o’rniga qo’yish qoidasi deb aytamiz va uni quyidagi simvol bilan belgilaymiz:

B





x
Isbotlanuvchi formulaning ta’rifi.
a) Har qanday aksioma isbotlanuvchi formuladir;

b) Isbotlanuvchi formuladagi x o’zgaruvchi o’rniga ixtiyoriy B formulani qo’yish natijasida hosil bo’lgan formula isbotlanuvchi formula bo’ladi.

v) A va AB isbotlanuvchi formulalardan xulosa qoidasini qo’llash natijasida olingan V formula isbotlanuvchi formuladir;

g) Mulohazalar hisobining boshqa hyech qanday formulasi isbotlanuvchi deb sanalmaydi.



Ta’rif. Isbotlanuvchi formulalarni hosil etish prosessi (jarayoni)ga isbot qilish (isbotlash) deb aytiladi.
Formulalar majmuasidan formulani keltirib chiqarish qoidasi.
Ta’rif. 1) Har qanday Aformulalar majmuasi H dan keltirib

chiqariladigan formuladir.

2) Har qanday isbotlanuvchi formula H dan keltirib chiqariladi.

3) C va C B lar H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan

formulalar bo’lsa, u holda B formula ham H dan keltirib chiqariladi.

Biror B formula H formulalar majmuasidan keltirib chiqariladigan bo’lsa, uni simvolik ravishda H|-B shaklda yozamiz.

Agar H bo’sh to’plam yoki elementlari faqat isbotlanuvchi formulalardan iborat bo’lsa, u vaqtda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfi bilan mos keladi. Agar formulalar majmuasi H ning hech bo’lmaganda bitta elementi isbotlanmaydigan formuladan iborat bo’lsa, u holda H dan keltirib chiqariladigan formulalar sinfi isbotlanuvchi formulalar sinfiga

nisbatan kengroq bo’ladi.



Keltirib chiqarish (isbotlash) tushunchasi
Ta’rif. Agar B1 ,B2 ,...,Bn chekli formulalar ketma-ketligining har qanday hadi quyidagi:

1)H formulalar majmuasining birorta formulasi;

2) isbotlanuvchi formula;

3) B1 ,B2 ,...,B2ketma-ketlikning istalgan ikkita oldinma-keyin keladigan elementlaridan xulosa qoidasiga asosan hosil qilinadi degan uch shartning birortasini qanoatlantirsa, u holda bu ketma-ketlik H chekli formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan deb aytiladi.



H {A,B} dan quyidagi formulalar chekli ketma-ketligi keltirilib chiqariladi:

A, B, (AA)((AB)(AAB)), B(AB),

A, B, AA, (AB)(AAB)), AB, AAB, A B.

Agar murakkab xulosa qoidasidan foydalansak, u vaqtda (isbot) keltirib chiqarish formulalari quyidagicha bo’ladi:



A, B, (AA)((AB)(AAB)),

B(AB), AA, AB, A B.

Formulani keltirib chiqarish va formulalar majmuasidan keltirib chiqarish ta’riflariga asosan keltirib chiqarishning quyidagi xossalari hosil bo’ladi:

-H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan chekli ketma-ket-likning boshlang’ich qismi ham H dan keltirib chiqariladigan bo’ladi;

-agar H dan keltirib chiqarilgan ketma-ketlikning ikkita qo’shni hadlari (elementlari) orasiga H dan keltirib chiqarilgan qandaydir boshqa ketma-ketlik qo’yilsa, u vaqtda hosil etilgan yangi formula-lar ketma-ketligi ham H dan keltirib chiqarilishi mumkin.

-H formulalar majmuasidan keltirib chiqarilgan formulalar ketma-ketligining har qanday hadi H dan keltirib chiqariladigan formuladir.

-agar H W bo’lsa, u vaqtda H dan keltirib chiqarilgan har qanday formula W ning ham formulasi bo’ladi.

- B formula H dan keltirib chiqariladigan formula bo’lishi uchun H dan keltirib chiqarilgan ixtiyoriy formulalar ketma-ketligida bu formulaning mavjud bo’lishi yetarli va zarurdir.

Keltirib chiqarish qoidasi.
H va W mulohazalar hisobining ikkita

formulalar majmuasi bo’lsin. H,W orqali bu majmualarning yig’indisini (birlashmasini) belgilaymiz, ya’ni



H,W H W .

Agar W majmua bitta C formuladan iborat bo’lganda ham H {C}

birlashmani H,C ko’rinishda yozamiz.
Mulohazalar hisobi formulalarini xuddi mulohazalar algebrasi formulalari sifatida qarash mumkin. Buning uchun mulohazalar hisobi o’zgaruvchilariga mulohazalar algebrasi o’zgaruvchilari singari qaraymiz, ya’ni o’zgaruvchilar chin yoki yolg’on (1 yoki 0) qiymat oladi deb hisoblaymiz.

, ,va amallarni mulohazalar algebrasidagiday aniqlaymiz.

Mulohazalar hisobining har bir formulasi, o’zgaruvchilar uning ifodasiga qanday kirishidan qat’iy nazar, 1 yoki 0 qiymat qabul qiladi. Uning qiymati mulohazalar algebrasidagi qoidalar bo’yicha hisoblanadi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. Mirziyoyev Sh . M. Erkin va farovon demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz . O’zbekiston Respublikasi Prezidenti lavozimiga kirishish tantanali marosimiga bag’ishlangan Oliy Majlis palatalarining qo’shma majlisidagi nutq , Toshkent , 2016 .

2 .Mirziyoyev Sh . M . Tanqidiy tahlil , qat’iy tartib - intizom va shaxsiy jabobgarlik - har bir raxbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak . Mamlakatimizni 2016 – yilda ijtimoiy – iqtisodiy rivojlantirishning asosiy yakunlari va 2017 yilga mo’ljallangan iqtisodiy dasturning eng muhim ustuvor yo’nalishlariga bag’ishlngan Vazirlar Mahkamasining kengaytirilgan majlisidagi ma’ruza , 2017 yil 14 – yanvar - Toshkent , O’zbekiston , 2017 .

3 . Mirziyoyev Sh .M . Buyuk kelajagimizni mard va olijanob xalqimiz bilan birga quramiz . Mazkur kitobdan O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyevning 2016 yil 1- noyabrdan 24 noyabrga qadar Qoraqalpog;iston Respublikasi , viloyatlar va Toshkent shahri saylovchilari vakillari bilan o’tkazilgan saylovoldi uchrashuvlarida so’zlagan nutqlari o’rin olgan . Toshkent , O’zbekiston , 2017 . 488- bet .

4 .Mirziyoyev Sh . M .Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini taminlash yurt taraqqiyoti va xalq farovonligining garovi . O’zbekiston Respublikasi Konstitutsiyasi qabul qilinganining 24 yilligiga bag’ishlangan tantanali marosimdagi ma’ruza . 2016 yil , 7- dekabr – Toshkent , O’zbekiston 2017, 48- bet.

5 . Hotam To’rayev “ Matematik mantiq va diskret matematika “

Toshkent “ O’qituvchi “ -2003 .

6 .Kenneth H. Rosen Discrete mathematics and is applications , 7- edition , The Mc Graw – Hill Companies 2012 . Введение в математичискую Логину : М . Наука 1984

7 . Мендельсон Е.Введение в математичискую Логину : М . Наука 1984.

8 .Яблонский С .В . Введение в дискретнию математику - М . Наука 1986.

9 . Y unusov A .S . - Matematik mantiq va algoritimlar nazariyasi elementlari . Toshkent 2008 .

10. Hotam To’rayev 2 jildli kitob “ Diskret matematika va matematik mantiq “ 2013 – yil .

11 .Зиков А. А . Основы теории графов . М .« Наука « , 1987.

12 .Новиков П . С .Элементы математической логики . М .Наука , 1973 .



Internet saytlari

13. www.lib.homelinex.org /math

14 . www.eknigu.com./lib/ Mathematics/

15 .www.eknigu .com/info/M

16. http://dimacs,Rutgers,edu/

17. http://www.math.uu.se/logic-server/



18 . http://book.uhost.ru./036413/
Download 24.48 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling