“Matematika”kafedrasi Hasanova Jumagul Alisher qizining


Download 0.53 Mb.
Pdf ko'rish
bet1/3
Sana20.09.2020
Hajmi0.53 Mb.
  1   2   3

 

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI 



OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI 

GULISTONDAVLATUNIVERSITETI 

Fizika – matematikafakulteti 

“Matematika”kafedrasi 

Hasanova Jumagul Alisher qizining

 

5130100- “Matematika” ta’lim yo’nalishi bo’yicha bakalavr 

Darajasini olish uchun 

«CHIZIQLI BIR JINSLI MATRITSALI DIFFERENSIAL 

TENGLAMALAR VA ULARNI YECHISH USULLARI » 

mavzusida 

BITIRUV MALAKAVIY ISHI 

 

Rahbar:  __________        f.m.f.n., dots. H.Norjigitov 

 

 

BMI “Matematika” kafedrasining 20___ yil__may №-

__sonliyig’ilishidako’ribchiqildivahimoyagatavsiyaetiladi. 

 

Kafedramudiri__________      fiz-mat.f.n., dots. H.Norjigitov 

 

Fizika-matematikafakultetidekanitomonidanhimoyaqilishgaruxsatetiladi. 

 


 

Fakultet dekani__________                          p.f.n. dots. Sh.Ashirov 



 

Guliston - 2017 

MUNDARIJA: 

 

 

 

KIRISH…………………………………………………………… 

 

4 



 

1-BOB.  CHIZIQLI  DIFFERENSIAL  TENGLAMALARNING 

NORMAL SISTEMASI. 

 

 

§ 1.1  Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama………………………...  9 

§ 1.2  Chiziqli bir jinsli bo’lmagan vektor-matritsali tenglama……………  19 

§1.3  Chiziqli  o’zagarmas koeffitsiyentli vektor matritsli tenglama……..  24 

§1.4  Chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsiyentli tenglama…..  30 

 

2-BOB. AVTONOM SISTEMALAR. 

 

 

 

 

§2.1  Umumiy xossalar………………………………………………………..  32 

§2.2  Chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsiyentli sistemaning 

holatlartekisligi…………………………………………………………

………..  

38 

 

 

 

Xulosa…………………………………………………………………. 

42 

 

Foydalanilgan adabiyotlar…………………………………………..... 

43 

 

 



 

 

 

KIRISH 

Tabiatda  uchraydigan  turli  jarayonlar  (avtomobil  harakati,  sayyoralarning 

uchishi,  fizik,  ximik  va  biologik  jarayonlar  va  h.k.)  o’z  harakat  qonunlariga  ega. 

Ba’zi  jarayonlar  bir  xil  qonun  bo’yicha  sodir  bo’lishi  mumkin,  buholesaularni 

o’rganishishini  yengillashtiradi.  Ammo  jarayonlarni  tavsiflaydigan  qonunlarni 

to’g’ridan-to’g’ri topish har doim ham mumkin bo’lavermaydi. Xarakter miqdorlar 

va  ularning  hosilalari  yoki  differensiallari  orasidagi  munosabatni  topish  tabiatan 

yengil  bo’ladi.  Bundan  noma’lum  funksiya  yoki  vektor-funksiya  hosila  yoki 

differensial ishorasi ostida qatnashgan munosabat hosil bo’ladi. Jumladan,  

)

,



(

y

x

f

dx

dy

 



Birinchi  tartibli  oddiy  differensial  tenglama  deyiladi. 



0

)



,

,

(



y

y

x

F

birinchi 

tartibli hosilaga nisbatan yechilmagan oddiy differensial tenglama deyilsa,  

),

,....,



,

,

(



)

1

(



)

(





n



n

y

y

y

x

f

y

 

n



y

y

y

x

F

n



0

)



,...,

,

,



(

)

(



-tartibli 

oddiy 


differensial 

tenglama 

deyiladi. 

n

y

y

y

x

f

y

n

n



)



...

,

,



(

1

)



(

-tartibli  yuqori  tartibli  hosilaga  nisbatan  yechilgan  oddiy 

differensial tenglama deyiladi. Agar

)

,...,



,

(

)



1

(



n

y

y

x

f

yoki


)

,...,


,

,

(



)

(n



y

y

y

x

F

lar



)

...,


,

1





n

y

y

y

vau


)

(n



y

argumentlarga  nisbatan  chiziqli  funksiyalar  bo’lsa,  tegishli  differensial 

tenglama  chiziqli  deyiladi.  Yuqoridagi  differensial  tenglamalardan  noma’lum 


 

funksiya  bir  agrumentli  deb  qaraladi.  Aslida,noma’lum  funksiya  ko’pagrumentli 



bo’lgan hollar ham  tez-tez uchraydi.  Bunday  holda differensial tenglama  xususiy 

hosilasi  deyiladi.  Ushbu

0

)

,



,

(







y

u

x

u

u

F

tenglama  birinchi  tartibli  xususiy  hosilali 

tenglamalarda, 

0

)



,

,

,



,

,

(



2

2

2



2

2











у



и

у

х

и

х

и

у

и

х

и

и

Ф

 

Tenglama  esa  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilasi  differensial  tenglamalardan 



iborat. Quyidagi 

2

2



2

y

u

d

a

x

u



                 (issiqliko’tkazuvchanliktenglamasi), 



0

2

2



2

2







y

u

d

x

u

              (Laplastenglamasi), 

)

,

(



2

2

2



2

y

x

f

y

u

d

x

u





     (Puassontenglamasi) 

Tenglamalari  kkinchi  tartibli  xususiy  hosilasi  differensial  tenglamalarning 

muhim xususiy hollari hisoblanadi, ulardan noma’lum funksiya ikki agrumentlidir.  

Mavzuning dolzarbligi. 

Differensial tenglamalarga olib keladigan ba’zi masalalarni qaraylik. 

1-masala. 

Massasimbo’lganjism

0

)

0



(



boshlang’ich

tezlik  bilan  biror  balandlikdan 


 

tashlab yuborilgan. Jism tezlikning o’zgarish qonuni topaylik. (1-chizma). 



Nyutonning ikkinchi qonuniga ko’ra:  

,

F



dt

d

m



 

buyerda  F-jismga  ta’sir  etayotgan  kuchlarning  yig’indisi  (tengta’siretuvchisi).  

Jismga 

faqat 


ikkita 

kuchta 


ta`sir 

etshi 


mumkin 

deb 


hisoblaylik: 

havoningqarshilikkuchi

0

,

1





k

k

F



yerningtortishkuchi

mg

F

2



Shundayqilib, matematiknuqtainazardan F-kuch 

a) F

2

ga; b) F



1

ga; v) F


1

=F

2



gatengbo’lishimumkin.  

a) 


F=F

2

 



bo’lsin. 

Undabirnchitartibli



mg

dt

d

m



differensialtenglamagaegamiz. 

Oddiyhisoblashlarbutenglamadanoma’lumfunksiya



C

gt

t



)

(

1



 

(S-



ixtiyoriyo’zgarmasson)  ko’rinishidabo’lishiniko’rsatadi. 

0

)



0

(



bo’lganiuchun



0



C

debolishimizmumkin, uholdaizlanganqonun

0

1

)



(





gt



t

ko’rinishdabo’ladi.  

b) Agar

1

F



F

bo’lsa, 





k



dt

d

m



, bunda

1

0



)

(

m



k

e

t



ekaniravshan.  



v) 

2

1



F

F

F



bo’lsin, 

buholdaushbu

)

0

(





k

k

mg

dt

d

m



differensialtenglamagakelamiz.  Noma’lumfunksiya



k



mg

Ce

t

m

k



1

)



(



0

)

0



(





k



mg

e

k

mg

t

m

k





 


1



0

2

)



(



ko’rinishdabo’lishiniko’rsatishqiyinemas. 

Ravshanki, 

)

(

)



(

lim


1

0

t



t

k



. Haqiqatan,  











 







1

0

0



1

0

0



2

0

lim



lim

)

(



lim

m

k

k

m

k

k

k

e

k

mg

e

k

mg

t



 


 

).



(

1

lim



1

0

1



0

t

gt

m

t

t

m

k

e

mg

m

k

k

























 

2-masala.  Massasi  m  bo’lganmoddiynuqtato’g’richiziqliharakatqilmoqda. 

Uningharakatqonuninitoping. 

Harbirmomentda G nuqtadankoordinataboshigachabo’lganmasofaxbo’lsa (2-

chizma),  nuqtaningtezligi





 



dt

dx

x

x

bo’ladi.  Moddiynuqtagaikkitashqikuch: 

ishqalanishkuchi



x

b

0





b

vataranglikkuchi



kx



0



k

ta’siretadi. 

Nyutonningikkinchiqonunigaasosan G nuqtaningharakati 



kx

x

b

x

m





 

qonunbilansodirbo’ladi. 

Buikkinchitartiblidiferensialtenglamadir. 

Agarmoddiynuqtadvigatelbilanta’minlanganbo’lib, 

dvigatelning 

nuqtagata’sirkuchi F bo’lsa, uholda G ningharakatqonuni



F

kx

x

b

x

m





bo’ladi. 

Ko’pincha F miqdor

const

F

F



0

munosabatgabo’ysunadi.  

Bumasalalardanko’rinibturibdiki, 

differensialtenglamalarnio’rganishhozirgikundajudadolzarbdir. 



Bitiruv 

– 

malakaviyishningmaqsadi. 

Mazkurbitiruv-

malakaviyishdamatritsalidifferensialtenglamalar, 

ularningnormalsistemasi, 

chiziqlibirjinslivabirjinslibo’lmaganmatritsalidifferensialtenglamayechimlari, 

avtonomsistemalaro’rganilgan.  



 

Bitiruv-malakaviyishningmuammosi.'>Bitiruv-malakaviyishningmuammosi. 

Matritsalidifferensialtenglamayechishmetodikasiniishlabchiqish. 

Bitiruv-malakaviyishningob’ekti. 

Bitiruv-malakaviyishningob’ekti, 

tabiatdauchraydiganayrimjarayonlarnitekshirishdaniborat. 

KelgusidaUniversitettalabalarigadifferensialtenglamalarfanimavzularidamazkurbiti

ruv-malakaviyishbilantanishtirishlozim. 

Bitiruv-malakaviyishningpredmeti. 

Matritsatushunchalari, 

hosilavadifferensialtushunchalar, 

differensialtenglamayechimivauniyechishusullarinio’rganish. 



Bitiruv-malakaviyishningyangiligi. 

Mazkurbitiruv-malakaviyishda, 

chiziqli, 

birjinslivabirjinslibo’lmagandifferensialtenglamalarsistemasigadoirbirnechamashql

aryechibko’rsatilgan.  

Bitiruv-

malakaviyishningfanuchunahamiyati.Ushbuishdafanlarningo’zaroaloqadorligiva

uzviyligita’minlanganligimuhimahamiyatgaega. 



Bitiruv-

malakaviyishningamaliyotuchunahamiyati.Qaralganbarchamasalalartabiatdanoli

nibtahliletilishiamaliyotuchunmuhimliginiko’rsatadi. 



Bitiruvmalakaviyishningtuzilishi.Bitiruvmalakaviyishkirish,  ikkitabob,  ... 

paragraf, xulosavaadabiyotlarro’yxatidaniborat. 



 

I-BOB. CHIZIQLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING 



NORMAL SISTEMASI. 

 

Ma’lumki, chiziqli tenglamalar sistemasi ushbu 



𝑦

ˊ

= 𝐴(𝑥)𝑦 + 𝑏(𝑥)                       (1) 



vektor-matritsali ko’rinishida yoziladi, bunda A(x) matritsa va b(x) ustun-vektor I 

intervalda aniqlangan va uzluksiz. (1) tenglama chiziqli bir jinsli bo’lmagan, 

𝑦

ˊ

= 𝐴(𝑥)𝑦                  (2) 



tenglama esa, chiziqli bir jinsli tenglama (vektor-matritsali) deb yuritiladi. 

§1.1 Chiziqli bir jinsli vektor-matritsali tenglama. 

1.Chiziqli operator va yechimning xossalari. Biz (2) ko’rinishdagi vektor-matritsali 

tenglamani o’rganamiz. Buning uchun ushbu 

𝐿[𝑦] =

𝑑𝑦

𝑑𝑥



− 𝐴(𝑥)𝑦 

operatorni kiritamiz. Shu operator yordamida (2) tenglama 

𝐿[𝑦] = 0,                              (2 ) 

(1 ) tenglama esa  

𝐿[𝑦] = 𝑏(𝑥)                      (3) 

Ko’rinishda yozish mumkin. 

𝐿operatorning ba’zi xossalari bilan tanishamiz.  


 

1



0

𝐿[𝐶𝑦] = 𝐶𝐿[𝑦],         𝐶 =const≠0. 



Isbot. Ravshanki, 

𝐿[𝐶𝑦] =


𝑑𝐶𝑦

𝑑𝑥

− 𝐴(𝑥)(𝐶𝑦) = 𝐶



𝑑𝑦

𝑑𝑥

− 𝐶𝐴(𝑥)𝑦 = 𝐶 (



𝑑𝑦

𝑑𝑥

− −𝐴(𝑥)𝑦) = 𝐶 𝑦



1

 



2

0



𝐿[𝑦

1

+ 𝑦



2

] = 𝐿[𝑦


1

] + 𝐿[𝑦


2

]. 


Isbot. 

𝐿operatorning ta’rifiga ko’ra 

𝐿[𝑦

1

+ 𝑦



2

] =


𝑑

𝑑𝑥

(𝑦



1

+ 𝑦


2

) − 𝐴(𝑥)(𝑦

1

+ 𝑦


2

) = [


𝑑𝑦

1

𝑑𝑥



− 𝐴(𝑥)𝑦

1

] + [



𝑑𝑦

2

𝑑𝑥



−𝐴(𝑥)𝑦


2

] = 𝐿[𝑦


1

] + 𝐿[𝑦


2

]. 


Bu ikki xossadan quyidagi natija kelib chiqadi: 

𝐿 [∑ 𝐶


𝑗

𝑦

𝑗



𝑘

𝑗=1


] = ∑ 𝐶

𝑗

𝐿[𝑦



𝑗

]

𝑘



𝑗=1

 

𝐶



𝑗

=const 


Haqiqatdan ham,  

𝐿 [∑ 𝐶


𝑗

𝑦

𝑗



𝑘

𝑗=1


] = ∑ 𝐿[𝐶

𝑗

𝑦



𝑗

]

𝑘



𝑗=1

= ∑ 𝐶


𝑗

𝐿[𝑦


𝑗

]

𝑘



𝑗=1

 

 



Endi 

𝐿 operatorning bu xossalaridan foydalanib, (2) tenglamaning yechimlari 

haqida ba’zi tasdiqlarni keltiramiz. 


10 

 

1-teorema. 



𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑(𝑥),

𝑥𝜖𝐼 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎  (2

ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜



𝑙𝑠𝑎, 𝑢  ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑦 = 𝐶𝜑(𝑥),

𝐶 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 ℎ𝑎𝑚 𝑠ℎ𝑢 (2

ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜



𝑙𝑎𝑑𝑖. 


Isbot. Shartga ko’ra 

𝐿[𝜑(𝑥)] ≡ 0, 𝑥𝜖𝐼 shuning uchun 1

0

 xossasiga ko’ra 



𝐿[𝐶𝜑(𝑥)] = 𝐶𝐿[𝜑(𝑥)] ≡ 0. Teorema isbot bo’ldi. 

2-teorema. 

𝐴𝑔𝑎𝑟 𝑦 = 𝜑

1

(𝑥), 𝑥𝜖𝐼



1

 𝑣𝑎𝑦 =


𝜑

2

(𝑥), 𝑥𝜖𝐼



2

 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟(2

ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔  𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜



𝑙𝑠𝑎, 


 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎  𝑦 = 𝜑

1

(𝑥) + 𝜑



2

(𝑥) 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 (2

ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐼



= 𝐼

1

⋂ 𝐼



2

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑏𝑜

𝑙𝑎𝑑𝑖. 


Isbot. 

2

0



xossaga ko’ra 

𝐼 intervalda quyidagiga egamiz: 

𝐿[𝜑

1

(𝑥) + 𝜑



2

(𝑥)] = 𝐿[𝜑

1

(𝑥)] + 𝐿[𝜑



2

(𝑥)]. 


Shart bo’yicha 

𝐼intervalda 𝐿[𝜑

1

(𝑥)] ≡ 0,     𝐿[𝜑



2

(𝑥)] ≡ 0 

ayniyat o’rinli. Shuning uchun  

𝐿[𝜑


1

(𝑥) + 𝜑


2

(𝑥)] ≡ 0 ekani kelib chiqadi. 

           Natija. 

𝐴𝑔𝑎𝑟  𝑦 = 𝜑

1

(𝑥),      𝑥 𝜖𝐼



1

, … . . ,   𝑦 =

𝜑

𝑘

(𝑥),      𝑥 𝜖𝐼



𝑘

 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 (2

ˊ

)𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑡𝑒𝑔𝑖𝑠ℎ𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟- 



𝑑𝑎 𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖 𝑏𝑜

𝑙𝑠𝑎, 𝑢  



ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎  𝑦 = ∑ 𝐶

𝑗

𝜑



𝑗

(𝑥)


𝑘

𝑗=1


,

𝐶

𝑗



= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎 𝐼  = ⋂ 𝐼

𝑗

 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 



𝑘

𝑗=1


 

𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑏𝑜

𝑙𝑎𝑑𝑖. 


Isbot. Haqiqatan,

1

0



2

0



 xossalarga va 1-2 teoremalarga ko’ra quyidagiga egamiz 

(

𝑥 𝜖𝐼 bo’lganda): 



11 

 

 



𝐿 [∑ 𝐶

𝑗

𝜑



𝑗

(𝑥)


𝑘

𝑗=1


] = ∑ 𝐿

𝑘

𝑗=1



[𝐶

𝑗

𝜑



𝑗

(𝑥)] = ∑ 𝐶

𝑗

𝐿

𝑘



𝑗=1

[𝜑

𝑗



(𝑥)] ≡ 0 

3- teorema. 



𝐴𝑔𝑎𝑟 𝐴(𝑥)𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎 ℎ𝑎𝑞𝑖𝑞𝑖𝑦 𝑏𝑜

𝑙𝑔𝑎𝑛 (2



ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑦 = 𝑢(𝑥) +

+𝑖𝑣(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐼 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑔𝑎 𝑒𝑔𝑎 𝑏𝑜

𝑙𝑠𝑎,



𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑢(𝑥) 𝑣𝑎 𝑣(𝑥)𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 ℎ𝑎𝑟 𝑏𝑖𝑟𝑖 (2)𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖  

𝑏𝑜



𝑙𝑎𝑑𝑖. 

   Isbot. Shartga bo’yicha 

𝐿[𝑢(𝑥) + 𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0. 2

0

 xossaga ko’ra 



𝐿[𝑢(𝑥) +

+𝑖𝑣(𝑥)] = 𝐿[𝑢(𝑥)] + 𝐿[𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0.Bundan  𝐿[𝑢(𝑥)] ≡ 0,   𝐿[𝑖𝑣(𝑥)] ≡ 0 kelib 

chiqadi. 

     2. Vektorlarning chiziqli bog’liqli va erkliligi. Vronskiy determinant. Agar 

𝐼 

intervalda aniqlangan 



𝜑

1

(𝑥), 𝜑



2

(𝑥), … … , 𝜑

𝑛

(𝑥) bunda 



𝜑

𝑗

(𝑥) = (



𝜑

1𝑗

𝜑



2𝑗

𝜑𝑛𝑗



)vektor funksiyalar uchun bir vaqtda nolga teng bo’lmagan 

shunday 


1

, ∝



2

… … . , ∝

𝑛

 o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki, shu sonlar uchun 



𝑥 ∈ 𝐼 da ∝

1

𝜑



1

(𝑥) + ∝


2

𝜑

2



(𝑥) + … … +∝

𝑛

𝜑



𝑛

(𝑥) ≡ 0             (4) 

ayniyat o’rinli bo’lsa, u holda berilgan  

𝜑

1



(𝑥), 𝜑

2

(𝑥), … … , 𝜑



𝑛

(𝑥) vektor 

funksiyalar uchun 

𝐼 intervalda 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑏𝑜𝑔′𝑙𝑖𝑞 deyiladi. Agar (4) ayniyat ∝

1

=

 ∝



2

= ⋯ =∝


𝑛

= 0 bo’lgandagina o’rinli bo’lsa, berilgan  𝜑

1

(𝑥), 𝜑


2

(𝑥), … … , 𝜑

𝑛

(𝑥) 


vektor funksiyalar 

𝐼 intervalda chiziqli erkli deyiladi. 



12 

 

          Ravshanki, (4) vektor ayniyat 



1

, ∝



2

… … . , ∝

𝑛

 larga nisbatan  



𝑛  ta 

noma’lumli 

  𝑛  ta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat. Uning determinant  

𝑊(𝑥) = 𝑊[𝜑

1

(𝑥), 𝜑


2

(𝑥), … … , 𝜑

𝑛

(𝑥)] deb belgilaymiz. Shunday qilib, 



𝑊(𝑥) = |

𝜑

11



(𝑥) … 𝜑

1𝑛

(𝑥)



𝜑

21

(𝑥) … 𝜑



2𝑛

(𝑥)


𝜑



𝑛1

(𝑥) 𝜑


𝑛𝑛

(𝑥)


Bu determinant sistema uchun Vronskiy determinanti deyiladi. 

    4-teorema. 

𝐴𝑔𝑎𝑟 (2


ˊ

) 𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑙𝑖 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐴(𝑥) 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑠𝑖 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑢𝑧𝑙𝑢𝑘𝑠𝑖𝑧 𝑏𝑜

𝑙𝑖𝑏, 𝑠ℎ𝑢 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔  𝜑



(1)

(𝑥), 𝜑


(2)

(𝑥), … … , 𝜑

(𝑛)

(𝑥)𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑖𝑑𝑎𝑛 𝑡𝑢𝑧𝑖𝑙𝑔𝑎𝑛 (4) 𝑉𝑟𝑜𝑛𝑠𝑘𝑖𝑦 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑖 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑛𝑖𝑛𝑔  𝑘𝑎𝑚𝑖𝑑𝑎  𝑏𝑖𝑡𝑡𝑎 𝑥 =



𝑥

0

 𝑛𝑢𝑞𝑡𝑎𝑠𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜𝑙𝑔𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑔 𝑏𝑜



𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝜑

1

(𝑥), 𝜑


2

(𝑥), … … , 𝜑

𝑛

(𝑥)𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 (𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟)𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑏𝑜𝑔



𝑙𝑖𝑞 𝑏𝑜


𝑙𝑎𝑑𝑖, 𝑏𝑜𝑠ℎ𝑞𝑎𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑦𝑡𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 𝐼 𝑑𝑎 𝑊(𝑥) =

0 𝑏𝑜



𝑙𝑎𝑑𝑖. 



 

 Isbot. 


𝐴(𝑥)matritsa uzluksiz bo’lgani uchun yechimning mavjudligi va 

yagonaligi haqidagi  teoremaning  shartlari bajariladi. Jumladan, 

𝑦(𝑥

0

) = 0 



boshlang’ich shart yechimni aniqlaydi. U yechim 

𝑦(𝑥) ≡ 0  trivial yechimdan 

iborat. Teorema sharti bo’yicha 

𝑊(𝑥


0

) = 0. Shuning uchun bir vaqtda nolga teng 

bo’lmagan 

𝐶

1



, 𝐶

2

, … … 𝐶



𝑛

  sonlari uchun 

𝐶

1

𝜑



(1)

(𝑥

0



) + 𝐶

2

𝜑



(2)

(𝑥

0



) + … … + 𝐶

𝑛

𝜑



(𝑛)

(𝑥

0



) ≡ 0 

ayniyat o’rinli. Endi 

𝜑(𝑥

0

) = ∑



𝐶

𝑗

𝑛



𝑗=1

𝜑

𝑗



(𝑥)(𝑥)  vektor funksiyani  ko’raylik. 

Avvalo, 


𝐿  operatorning xossasiga ko’ra:  

𝐿[𝜑(𝑥)] = 𝐿[∑

𝐶

𝑗

𝑛



𝑗=1

𝜑

(𝑗)



(𝑥)] = ∑

𝐶

𝑗



𝑛

𝑗=1


𝐿[𝜑

(𝑗)


(𝑥)] ≡ 0, 

ya’ni


𝑦 = 𝜑(𝑥) vektor funksiya (3

ˊ

) tenglamaning  yechimidan iborat. So’ngra , 



𝜑(𝑥

0

) = ∑ 𝐶



𝑗

𝑛

𝑗=1



𝜑

(𝑗)


(𝑥

0

) ≡ 0 



13 

 

ga egamiz. Shu boshlang’ich shartga ega bo’lgan yechim  trivial  yechim  



𝑦(𝑥) ≡

0 dan iborat edi, demak, 𝜑(𝑥) ≡ 𝑦(𝑥). Bundan ∑

𝐶

𝑗

𝑛



𝑗=1

𝜑

(𝑗)



(𝑥) ≡ 0(∑

𝐶

𝑗



2

≠ 0


𝑛

𝑗=1


ekani, ya’ni  

 𝜑

(1)


(𝑥), 𝜑

(2)


(𝑥), … … , 𝜑

(𝑛)


(𝑥) vektor funksiyalar 𝐼 intervalda 

chiziqli bog’liq ekani, ya’ni 

𝑊(𝑥) ≡ 0 ekani kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. 

 

Misollar. 1. Ushbu  



 𝜑

(1)


(𝑥) = ( 𝑒

𝑥

2𝑒



𝑥

),     𝜑


(2)

(𝑥) = ( 𝑒

2𝑥

2𝑒

2𝑥



Vektorlar 

−∞ < 𝑥 < +∞ intervalda chiziqli erkli. Haqiqatdan, bu vektorlar uchun 

𝛼

1



𝜑

(1)


(𝑥) + 𝛼

2

𝜑



(2)

(𝑥) ≡ 0 


Yoki 

{

𝛼



1

𝑒

𝑥



+ 2𝛼

2

𝑒



𝑥

≡ 0


2𝛼

1

𝑒



𝑥

+ 𝛼


2

𝑒

𝑥



≡ 0

 

ayniyatlar



𝛼

1

= 𝛼



2

= 0 bo’lganda o’rinli.  

 

Eslatib o’tamiz, 



𝑊[ 𝜑

(1)


(𝑥), 𝜑

(2)


(𝑥)] = | 𝑒

𝑥

𝑒



2𝑥

2𝑒

𝑥



2𝑒

2𝑥

| = 2𝑒



3𝑥

− 2𝑒


3𝑥

≡ 0. 


Xulosa shuki, ko’rilayotgan vektorlar uchun Vronskiy determinant aynan nolga 

teng, ammo ular chiziqli erkli. Yuqoridagi  4-teoremaga ko’ra bu vektorlar bir 

vaqtda differensial tenglamaning yechimi bo’la olmaydi. 

 

2. Yechimlarning fundamental sistemasi va umumiy yechim. Berilgan 



(3

ˊ



tenglamaning 

𝑛 ta chiziqli erkli yechimlari sistemasi mavjud. Haqiqatdan,   

 𝜑

(1)


(𝑥

0

) = (



1

0



0

),       𝜑

(2)

(𝑥

0



) = (

0

1



0

) , ⋯ ,  𝜑



(2)

(𝑥

0



) = (

0

0



1



14 

 

boshlang’ich shartlarni qanoatlatiradigan yechimlar chiziqli erkli yechimlar 



sistemasini tashkil etadi. Bu tasdiqni umumiyroq isbot etamiz. 

 

5-teorema. 



𝐴𝑔𝑎𝑟  𝜑

(1)


(𝑥), 𝜑

(2)


(𝑥), … … , 𝜑

(𝑛)


(𝑥) 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛 𝑊(𝑥

0

) ≠ 0, 𝑥



0

𝐼 𝑏𝑜



𝑙𝑠𝑎, 𝑊(𝑥


0

) ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 bo’ladi. 

         Isbot. 

𝑊(𝑥)determinant ustun bo’yicha hosila olmiz: 

𝑊

ˊ

(𝑥) = ||



𝜑

11

ˊ



(𝑥)𝜑

12

(𝑥) …  𝜑



1𝑛

(𝑥)


𝜑

21

ˊ



(𝑥)𝜑

22

(𝑥) … 𝜑



2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛1



ˊ

(𝑥)𝜑


𝑛2

(𝑥) …  𝜑


𝑛𝑛

(𝑥)


|| + ||

𝜑

11



(𝑥)𝜑

12

ˊ



(𝑥) …  𝜑

1𝑛

(𝑥)



𝜑

21

(𝑥)𝜑



22

ˊ

(𝑥) … 𝜑



2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛1



(𝑥)𝜑

𝑛2

ˊ



(𝑥) …  𝜑

𝑛𝑛

(𝑥)



|| + ⋯ +

+ ||


𝜑

11

(𝑥)𝜑



12

(𝑥) …  𝜑


1𝑛

ˊ

(𝑥)



𝜑

21

(𝑥)𝜑



22

(𝑥) … 𝜑


2𝑛

ˊ

(𝑥)



… … … … … …

𝜑

𝑛1



(𝑥)𝜑

𝑛2

(𝑥) …  𝜑



𝑛𝑛

ˊ

(𝑥)



|| = 𝑊

1

(𝑥) + 𝑊



2

(𝑥) + ⋯ + 𝑊

𝑛

(𝑥). 


          Bundan ko’rinadiki, 

𝑊

ˊ



(𝑥) hosila 𝑛 ta determinant yig’indidan iborat. 

Ulardan birinchisini olamiz. Unda 

𝜑

11

ˊ



(𝑥), 𝜑

21

ˊ



(𝑥), … , 𝜑

𝑛1

ˊ



(𝑥) hosilalarni tegishli 

ifodalari orqali ifodalaymiz: 

𝑊

1

(𝑥) = ||



𝜑

11

ˊ



(𝑥)𝜑

12

(𝑥) …  𝜑



1𝑛

(𝑥)


𝜑

21

ˊ



(𝑥)𝜑

22

(𝑥) … 𝜑



2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛1



ˊ

(𝑥)𝜑


𝑛2

(𝑥) …  𝜑


𝑛𝑛

(𝑥)


|| = 

 

= |



𝑎

11

𝜑



11

(𝑥) + 𝑎


12

𝜑

12



(𝑥) + …  +𝑎

1𝑛

𝜑



1𝑛

(𝑥)𝜑


12

(𝑥) …  𝜑


1𝑛

(𝑥)


𝑎

11

𝜑



21

(𝑥) + 𝑎


12

𝜑

22



(𝑥) + … + 𝑎

1𝑛

𝜑



2𝑛

(𝑥)𝜑


22

(𝑥) …  𝜑


2𝑛

(𝑥)


… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

𝑎

11



𝜑

𝑛1

(𝑥) + 𝑎



12

𝜑

𝑛2



(𝑥) + ⋯ + 𝑎

1𝑛

𝜑



𝑛𝑛

(𝑥)𝜑


𝑛2

(𝑥)  …  𝜑

𝑛𝑛

(𝑥)


| = 

 


15 

 

= 𝑎



11

|

𝜑



11

(𝑥)𝜑


12

(𝑥) …  𝜑


1𝑛

(𝑥)


𝜑

21

(𝑥)𝜑



22

(𝑥) … 𝜑


2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛1



(𝑥)𝜑

𝑛2

(𝑥) …  𝜑



𝑛𝑛

(𝑥)


| + 

+𝑎

12



|

𝜑

12



(𝑥)𝜑

12

(𝑥) …  𝜑



1𝑛

(𝑥)


𝜑

22

(𝑥)𝜑



22

(𝑥) … 𝜑


2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛2



(𝑥)𝜑

𝑛2

(𝑥) …  𝜑



𝑛𝑛

(𝑥)


| + ⋯ + 

+𝑎

1𝑛



|

𝜑

1𝑛



(𝑥)𝜑

12

(𝑥) …  𝜑



1𝑛

(𝑥)


𝜑

2𝑛

(𝑥)𝜑



22

(𝑥) … 𝜑


2𝑛

(𝑥)


… … … … … …

𝜑

𝑛𝑛



(𝑥)𝜑

𝑛2

(𝑥) …  𝜑



𝑛𝑛

(𝑥)


| = 

= 𝑎


11

𝑊(𝑥) + 𝑎


12

∙ 0 + ⋯ + 𝑎

1𝑛

∙ 0 = 𝑎


11

𝑊(𝑥). 


          Shunday qilib,  

𝑊

1



(𝑥) = 𝑎

11

𝑊(𝑥). Shunga o’xshash ushbu   𝑊



2

(𝑥) =


𝑎

22

𝑊(𝑥), …  , 𝑊



𝑛

(𝑥) = 𝑎


𝑛𝑛

𝑊(𝑥) formulalarni ham isbotlash mumkin. Demak, 

biz  

𝑊

ˊ



(𝑥) = (𝑎

11

+ 𝑎



22

+ ⋯ + 𝑎


𝑛𝑛

)𝑊(𝑥)formulaga egamiz. Uni 𝑊(𝑥) ga nisbatan 

o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama kabi (

𝑥

0



 dan 

𝑥 gacha) 

integrallasak, 

𝑊(𝑥) = 𝑊(𝑥

0

)𝑒

∫ (𝑎



11

+  …+𝑎


𝑛𝑛

)𝑑𝑥


𝑥

𝑥0

                     (6) 



formulaga kelamiz. Bundan 

𝑊(𝑥


0

) ≠ 0bo’lganda 𝑊(𝑥) ≠ 0, 𝑥 ∈ 𝐼 ekni kelib 

chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. 


16 

 

            Agar 



∑ 𝑎

𝑗

(𝑥) = 𝑆𝑝𝐴(𝑥)



𝑛

𝑗=1


 

(𝑆𝑝𝐴(𝑥) berilgan 𝐴(𝑥) matrisaning bosh diagonal elementlarining yig’indisini 

anglatib, 

𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑠𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑧𝑖 deb ataladi  deb belgilasak,   

𝑊(𝑥) = 𝑊(𝑥

0

)𝑒



∫ 𝑆𝑝𝐴(𝑥)𝑑𝑥

𝑥

𝑥0



           (7) 

formulaga ega bo’lamiz. Uni sistema uchun 

𝑂𝑠𝑡𝑟𝑜𝑔𝑟𝑎𝑑𝑠𝑘𝑖𝑦 − 𝐿𝑖𝑢𝑣𝑖𝑙𝑙  formulasi 

deyiladi. 

            Ravshanki 

(2

ˊ



) tenglama ixtiyoriy 𝑛 + 1 ta yechimi chiziqli bog’liq. Buni 

ko’rsatish uchun ixtiyoriy  yechim  berilgan chiziqli erkli yechimlarining chiziqli 

kombinatsiyasi orqali yozilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Boshqacha 

aytganda, berilgan yechimdan iborat vektor qolgan chiziqli erkli vektor yechimlar 

bo’yicha yoyilishi mumkinligini ko’rsatish yetarli. Bu quyidagi teoremada 

isbotlangan. 

 

6-teorema. 



𝐴𝑔𝑎𝑟  𝜑

(1)


(𝑥), 𝜑

(2)


(𝑥), … … , 𝜑

(𝑛)


(𝑥)  𝑣𝑒𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑖𝑦𝑎𝑙𝑎𝑟 𝐼 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑑𝑎  

𝑎𝑛𝑖𝑞𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑧𝑖𝑞𝑙𝑖 𝑒𝑟𝑘𝑙𝑖 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎𝑛 𝑖𝑏𝑜𝑟𝑎𝑡 𝑏𝑜

𝑙𝑠𝑎, 𝑢 ℎ𝑜𝑙𝑑𝑎 𝑞𝑎𝑟𝑎𝑙𝑎𝑦𝑜𝑡𝑔𝑎𝑛 



(2

ˊ

) 𝑡𝑒𝑛𝑔𝑙𝑎𝑚𝑎𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑖𝑥𝑡𝑖𝑦𝑜𝑟𝑖𝑦 𝜑(𝑥)𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖 𝑞𝑢𝑦𝑖𝑑𝑎𝑔𝑖  



𝜑(𝑥) = 𝐶

1

𝜑



(1)

(𝑥) + 𝐶


2

𝜑

(2)



(𝑥) + … … + 𝐶

𝑛

𝜑



(𝑛)

(𝑥)           (8) 

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛 (𝐶

1

,  𝐶



2

, … … , 𝐶

𝑛

𝑜



𝑧𝑔𝑎𝑟𝑚𝑎𝑠𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔𝑦𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎 𝑞𝑖𝑦𝑚𝑎𝑡𝑖 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛)𝑦𝑜𝑧𝑖𝑙𝑑𝑖.

 

 



17 

 

 



Isbot. Agar 

 𝜑

(1)



(𝑥

0

) = 𝜑



0

(1)


, … … , 𝜑

(𝑛)


(𝑥

0

) = 0, 𝜑



0

(𝑛)


va

𝜑(𝑥


0

) = 𝜑


0

  

boshlang’ich shartlar berilgan bo’lsa, (8) formulada  



𝑥 = 𝑥

0

 deb 



𝐶

1

,  𝐶



2

, … … , 𝐶

𝑛

 

larga nisbatan chiziqli sistema hosil qilamiz. Agar 



𝜑(𝑥) ≡ 0, 𝜑

0

= 0  bo’lsa, bir 



jinsli  

∑ 𝐶


𝑗

𝑛

𝑗=1



𝜑

𝑗

(𝑥



0

) = ∑ 𝐶


𝑗

𝑛

𝑗=1



𝜑

0

(𝑗)



= 0 

sistemadan

𝑊(𝑥

0

) ≠ 0 bo’lgani uchun 𝐶



1

=   … … = 𝐶

𝑛

= 0 kelib chiqadi. Agar 



𝜑(𝑥) ≠ 0 bo’lsa, 𝜑

0

≠ 0  bo’lgani uchun bir jinsli bo’lmagan  



∑ 𝐶

𝑗

𝑛



𝑗=1

𝜑

0



(𝑗)

= 𝜑


0

 

sistemadan (



𝑊(𝑥

0

) ≠ 0 bo’lgani uchun)  𝐶



1

,  𝐶


2

, … … , 𝐶

𝑛

 larning yagona 



qiymatlarini topamiz. Demak, (8) yoyilma koeffitsiyentlari yagona. Teorema isbot 

bo’ldi. 


 

(8) yoyilma ixtiyoriy  

𝜑(𝑥) yechim uchun yozilishi mumkin. Shuning uchun 

(8) formula 

𝑢𝑚𝑢𝑚𝑖𝑦 𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖  deb yuritiladi. 

 

Shunday qilib 



(2

ˊ

) tenglama chiziqli erkli yechimlarining soni aniq 𝑛 ta 



ekan. Shu chiziqli erkli yechimlar sistemasini 

𝑦𝑒𝑐ℎ𝑖𝑚𝑙𝑎𝑟𝑛𝑖𝑛𝑔 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠𝑖 deyiladi. 

 

Yuqorida isbotlangan (7) teoremaga ko’ra berilgan fundamental sistema 



bo’yicha umumiy yechimni yozish mumkin. Demak, 

(2

ˊ



) chiziqli bir jinsli 

sistemaning umumiy yechimini topish masalasi uning fundamental sistemasini 

topishdan iborat.   

 

Misollar. 1. Ushbu  



18 

 

{



𝑦

1

ˊ



= 𝑦

2

𝑦



2

ˊ

= −𝑦



1

 

sistemani integrallang. 



 

Yechish. Yuqorida ko’rilishi bo’yicha 

𝜑

(1)


(𝑥) = (sin 𝑥

cos 𝑥


),    𝜑

(2)


(𝑥) =

(

cos 𝑥



−sin 𝑥) vektor funksiyalar berilgan sistemaning yechimi va hatto ular chizqli 

erkli. Demak, ular fundamental sistemani tashkil etadi. Umumiy yechim 

𝑦 = 𝐶

1

(



cos 𝑥

−sin 𝑥) + 𝐶

2

(sin 𝑥


cos 𝑥

Ko’rinishda yoziladi. 



 

2. Ushbu  

{

𝑑𝑦

1



𝑑𝑥

= 𝑦


1

+ 2𝑦


2

𝑑𝑦

2



𝑑𝑥

= 2𝑦


1

+ 𝑦


2

 

sistemani integrallang. 



 

Yechish. Tekshirib ko’rish mumkinki, 

𝜑

(1)


(𝑥) = (𝑒

3𝑥

𝑒



3𝑥

), 


𝜑

(2)


(𝑥) = ( 𝑒

−𝑥

−𝑒



−𝑥

)vektor funsiyalar sistema uchun yechimlardan iborat. Bu vektor 

funksiyalar fundamental sistemani tashkil etadi. Haqiqatdan,  

𝑊[𝜑


(1)

,  𝜑


(2)

] = |𝑒


3𝑥

𝑒

−𝑥



𝑒

3𝑥

−𝑒



−𝑥

| = −𝑒


2𝑥

− 𝑒


2𝑥

= −2𝑒


2𝑥

≠ 0. 


Shunday qilib, umumiy yechim  

19 

 

𝑦 = 𝐶



1

(𝑒

3𝑥



𝑒

3𝑥

) + 𝐶



1

( 𝑒


−𝑥

−𝑒

−𝑥



ko’rinishda yoziladi. 



 


Download 0.53 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2020
ma'muriyatiga murojaat qiling