Mathcad dasturining maxsus dasturlari yordamida tenglamalarnihg ildizini topish

MATHCAD DASTURINING MAXSUS DASTURLARI YORDAMIDA  

TENGLAMALARNIHG ILDIZINI TOPISH 

Hisoblash matematikasida juda ko'p muammolar chiziqli bo'lmagan algebraik 

tenglamalarni,  shuningdek,  bunday  tenglamalar  tizimlarini  echish  bilan  bog'liq. 

Bundan  tashqari,  chiziqli  bo'lmagan  tenglamalarni  echish  zarurati  ko'pincha 

murakkabroq  algoritmlarning  bo'laklarini  amalga  oshirishda  (masalan,  farq 

sxemalaridan foydalanib differentsial tenglamalarni hisoblashda va hokazo) oraliq 

bosqichlarda paydo bo'ladi. 

Chiziqli bo'lmagan tenglamaning sonli echimi 

 

( )

0

f x



  tenglamani echishning taxminiy algoritmi ikki bosqichdan iborat: 

1.  tenglamaning  ildizini  o'z  ichiga  olgan  bo'shliqni  topish  (yoki  ildiz  uchun 

dastlabki yaqinlashishlar); 

2. root funktsiyasidan foydalanib, aniqlik bilan taxminiy echimni olish. Agar 

ko'p  iteratsiyalardan  keyin  MathCAD  mos  kelmasa  yaqinlashganda,  xabar  paydo 

bo'ladi (yaqinlashuv yo'q). 

Misol 1. Root funktsiyasi yordamida masalani eching. 

( )

2 ln( )

1

2

x

f x

x

 

 

 

 

 

 

Misolning  ildizi 0.728 ga teng. 

  

Agar misolda  xato quyidagi sabablarga ko'ra yuzaga kelishi mumkin: 

• tenglamaning ildizi yo'q; 

• tenglamaning ildizlari boshlang'ich yaqinlashuvdan uzoqda; 

• ifoda murakkab ildizga ega, ammo dastlabki yaqinlashuv haqiqiy edi. 

Xatoning  sababini  aniqlash  uchun 

( )

f x

 

grafigini  ko'rib  chiqing.  Bu 

( )

0

f x



 

tenglamaning  ildizlari  borligini  va  agar  mavjud  bo'lsa,  ularning  qiymatlarini 

aniqlashga yordam beradi. Ildizning dastlabki yaqinlashuvi qanchalik aniq tanlansa, 

ildiz  tezroq  birlashadi.  Agar  ildizlar  soni  ikki  va  undan  ko’proq  bo’lsa  polinom 

asosida topamiz. 

 

 

 

Polinomning ildizlarini topish 

 

 

1

0

1

1

...

n

n

n

n

v

v x

v x

v x







 



  shaklidagi  ifoda  ildizlarini  topish  uchun  root  ga 

qaraganda  poliroots  funktsiyasidan  foydalanish  yaxshiroqdir.  Root(Ildiz) 

funktsiyasidan  farqli  o'laroq,  poliroots  funktsiyasi  dastlabki  yaqinlashishni  talab 

qilmaydi va barcha haqiqiy va murakkab barcha ildizlarni darhol qaytaradi. 

Funktsiya  polyroots(v)  -  n  darajali  ko'paytmaning  ildizlarini  qaytaradi. 

Polinomning  koeffitsientlari  v  uzunlikdagi  v  vektorda  n  +  1  va  ko'paytmaning 

ildizlaridan tashkil topgan n uzunlik vektorini qaytaradi. 

Misol  2. 

3

( )

0.75

8

5

f x

x

x



   

 

funktsiyasining ildizlarini toping. 

 

Misolning echimi bu funktsiyaning ildizlari -3.542, 0.651 va 2.892 ga teng. 

 

Amaliy ish uchun vazifalar 

1-Vazifa.  Quyidagi  jadvaldagi  chiziqli  tenglamalar  sistemasi  vazifalarini 

berilgan shartlar asosida echimini toping. 

( )

f x

 funktsiyasining  grafigini  tuzing  va  taxminan  tenglamaning  ildizlaridan 

birini aniqlang. O'rnatilgan MathCAD root funktsiyasidan foydalanib, 

 

0

f x



  

tenglamani yeching. 

 

Variyant

 

Funktsiya

 

Variyant

 

Funktsiya

 

1 

1

3

( )

x

f x

e

x

x









 

 

0,1

x



 

2 

3

( )

0.25

2

f x

x

x



 

 

 

0, 2

x



 

3 





1

( )

3 sin 3.6

f x

x

x

 



 

 

0,1

x



 

4 

2

2

1

( )

arccos

1

x

f x

x

x









, 

 

2,3

x



 

5 

3

( )

arccos

1 0.3

f x

x

x







 

 

0,1

x



 

6 

( )

3

4 ln

5

f x

x

x







, 

 

2, 4

x



 

7 

2

( )

1 0.4

arcsin

f x

x

x







 

8 

( )

2

x

x

f x

e

e









 

 

0,1

x



 

 

0,1

x



 

9 

( )

3

14

x

x

f x

x

e

e





  

 

 

1,3

x



 

10 

( )

1

f x

x tgx



 

 

 

0,1

x



 

11 

2

( )

2

1.2 cos

1

f x

x

x









 

 

0,1

x



 

12 

( )

1

sin

ln(1

)

f x

x

x

x

  





 

 

0, 2

x



 

13 

2

1

1

( )

cos

2sin

f x

x

x

x

 

 







 

 

 

 

 

 

1, 2

x



 

14 

5

( )

0.2

f x

x

x



 

 

 

1, 2

x



 

15 

2

( )

0.1

ln

f x

x

x

x





 

 

1, 2

x



 

16 

( )

sin

0.84

5.2

x

x

f x

e



















 





2,1

x

 

 

 

2-Vazifa. Quyidagi jadvaldagi chiziqli tenglamalar sistemasi vazifalarini berilgan 

shartlar asosida echimini toping

 

( )

g x

 funktsiyasi uchun V vektorini hosil qiling. O'rnatilgan vektorga MathCAD 

polyroots funktsiyasidan foydalanib, 

 

0

f x



 tenglamasining ildizlarini toping. 

 

Variyant 

Funktsiya 

Variyant 

Funktsiya 

1 

4

3

2

( )

2

12

20

g x

x

x

x

x











  

2 

4

3

2

( )

17

45

100

g x

x

x

x

x











 

3 

4

3

2

( )

6

4

60

g x

x

x

x

x











 

4 

4

3

2

( )

5

15

50

g x

x

x

x

x











 

5 

4

2

( )

14

40

75

g x

x

x

x









 

6 

4

3

2

( )

4

2

20

25

g x

x

x

x

x











 

7 

4

3

2

( )

11

10

g x

x

x

x

x



 





 

8 

4

3

2

( )

5

7

7

20

g x

x

x

x

x











 

9 

4

3

2

( )

29

71

140

g x

x

x

x

x



 





 

10 

4

3

2

( )

7

7

5

100

g x

x

x

x

x











 

11 

4

3

2

( )

7

9

13

30

g x

x

x

x

x











 

12 

4

3

2

( )

10

36

70

75

g x

x

x

x

x











 

13 

4

3

2

( )

3

23

55

150

g x

x

x

x

x











 

14 

4

3

2

( )

9

31

59

60

g x

x

x

x

x











 

15 

4

3

2

( )

6

4

10

75

g x

x

x

x

x











 

16 

4

3

2

( ) 15

6

4

12

10

g x

x

x

x

x









