Мавзу: Аралаш масалалар: Фурье усули. Бир жинсли ва бир жинсли бўлмаган гиперболик тенгламалар

Мавзу:  Аралаш масалалар: 

 Фурье усули. Бир жинсли ва бир жинсли бўлмаган гиперболик тенгламалар. 

Режа 

1.  Аралаш масалалар: Фурье усули. 

2.  Бир жинсли ва бир жинсли бўлмаган гиперболик тенгламалар. 

 

 

1. Текисликдаги 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

 соҳада бир жинсли  

xx

tt

U

a

U

2



  

 

 

 

 

 (1) 

тор тебраниш тенгламасининг  

 

 

 

 

x

f

x

U

x

f

x

U

t

2

1

0

,

,

0

,





 

 

 

 (2) 

бошланғич шартларни ва  

 

 

0

,

,

0

,

0





t

l

U

t

U

 

 

 

 

 (3) 

бир жинсли чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечим топилсин.  

 

Бу  масалани  ўзгарувчиларни  ажратиш  (ёки  Фурpе)  усули  билан  ечамиз.  (1) 

тенглама ечимини  

U(x,t)=X(x)



T(t)    

 

 

 

(4) 

кўринишда  излаймиз.  Бу  ерда  X(x)  ва  T(t)  номаoлум  функциялар.  (4)  ифодани  (1) 

тенгламага қўйиб, X(x) ва T(t) номаoлум функцияларни топиш учун  

 

 

0

2







t

T

a

t

T



, 

 

 

 

 

 (5) 

 

 

0







x

X

x

X



 

 

 

 

 

 

 (6) 

тенгламаларга  эга  бўламиз.  Бунда 



=const.  (4)  ифодадан  ва  (3)  чегаравий 

шартлардан  

X(0)=0,          X(l)=0  

 

 

 

 

(7) 

чегаравий шартлар келиб чиқади.  

(6)–(7)  масала  хос  сон  ва  хос  функцияларни  топиш  ҳақидаги  Штурм–Лиувилл 

масаласидир. (6)–(7) масаланинг хос сонлари  





,...

2

,

1

2

















k

l

k

k





, 

бу хос сонларга мос тривиал бўлмаган (айнан нолга тенг бўлмаган) нормаллашган 

хос функциялари  

 

l

kx

l

x

X

k



sin

2



 

бўлади. 



=



k

 бўлганда (5) тенгламанинг умумий ечими  

 

l

at

k

b

l

at

k

a

t

T

k

k

k





sin

cos





 

кўринишга эга бўлиб, 

 

   

l

x

k

l

at

k

b

l

at

k

a

t

T

x

X

t

x

U

k

k

k

k







sin

sin

cos

,



















 

функция  (a

k

,  b

k

  –  ихтиёрий  ўзгармас  сонлар)  (1)  тенгламани  ва  (3)  чегаравий 

шартларни қаноатлантиради.  

 

(1) тенгламанинг (2)–(3) шартларни қаноатлантирувчи ечимини  

  





















1

sin

sin

cos

,

k

k

k

k

l

x

k

l

at

k

b

l

at

k

a

t

x

U







    

 

(8) 

қатор кўринишда излаймиз. Агар (8) функционал қатор ва унинг иккинчи тартибли 

ҳосилалари текис яқинлашувчи бўлса, у ҳолда бу қатор йиғиндиси (1) тенгламани 

ҳамда (3) чегаравий шартларни қаноатлантиради.  

 

a

k

 ва b

k

 ўзгармас сонларни (8) қаторнинг йиғиндиси (2) бошланғич шартларни 

қаноатлантирадиган қилиб танлаймиз. У ҳолда (2) шартлардан  

  







1

1

sin

k

k

l

x

k

a

x

f



, 

 

 

 

 

 (9) 

  







1

2

sin

k

k

l

x

k

b

l

a

k

x

f





  

 

 

 

(10) 

тенгликларга  эга  бўламиз.  (9)  ва  (10)  тенгликлар  мос  равишда  f

1

(x)  ва  f

2

(x) 

функцияларнинг (0,l) оралиқдаги синуслар бўйича Фурpе қаторига ёйилмаларидир. 

(9) ва (10) Фурpе қаторларининг коэффициентлари 

 





l

k

dx

l

x

k

x

f

l

a

0

1

sin

2



, 

 

 

 

 (11) 

 





l

k

dx

l

x

k

x

f

a

k

b

0

2

sin

2





  

 

 

 

(12) 

формулалар бўйича топилади.  

 

 

2. Текисликдаги D соҳада бир жинсли бўлмаган  

 

t

x

f

U

a

U

xx

tt

,

2





  

 

 

 

 

(13) 

тор  тебраниш  тенгламасининг  (2)  бошланғич  шартларни  ва  (3)  чегаравий 

шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин. 

 

(13), (2), (3) масала ечимини  

U(x,t)=V(x,t)+W(x,t) 

кўринишда  ёзиш  мумкин.  Бу  ерда  V(x,t)  бир  жинсли  бўлмаган  (13)  тенгламанинг 

бир жинсли  

V(x,0)=0,   V

t

(x,0)=0  

 

 

 

 

(14) 

бошланғич шартларни ва (3) чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечими, W(x,t) 

эса  бир  жинсли  (1)  тенгламанинг  (2)  бошланғич  шартларни  ва  (3)  чегаравий 

шартларни қаноатлантирувчи ечими.  

 

V(x,t) функцияни  

 

 









1

sin

,

k

k

l

x

k

t

T

t

x

V



  

 

 

 

 (15) 

қатор кўринишда излаймиз. Бунда T

k

(t) номаoлум функциялар.  

 

(15) ифодани (13) тенгламага қўйиб,  

 

 

 

t

x

f

l

x

k

t

T

l

a

k

t

T

k

k

k

,

sin

1

2













































   

 

 (16) 

тенгликка  эга  бўламиз.  f(x,t)  функцияни  (0,l)  оралиқда  синуслар  бўйича  Фурpе 

қаторига ёямиз: 

 

 









1

sin

,

k

k

l

x

k

t

f

t

x

f



  

 

 

 

 (17) 

ва (16) билан (17) ни таққослаб, номаoлум T

k

(t) функцияларга нисбатан  

 

 

 

t

f

t

T

l

a

k

t

T

k

k

k



















2



  

 

 

 

(18) 

дифференциал тенгламаларни ҳосил қиламиз.  

 

 

Бу ерда  

 

 











l

k

k

d

l

k

t

f

l

t

f

0

,...

2

,

1

sin

,

2







. 

(14) бошланғич шартлардан, (15) ифодага асосан  

 

 





,...

2

,

1

0

0

,

0

0









k

T

T

k

k

 

 

 

 

(19) 

бошланғич шартлар келиб чиқади.  

(18) тенгламанинг (19) бир жинсли бошланғич шартларни қаноатлантирувчи ечими  

 

 





















d

d

l

k

t

l

a

k

f

a

k

t

T

t

l

k

 

















0

0

sin

sin

,

2

  

 

(20) 

кўринишга эга бўлади.  

 

Шундай қилиб, (13), (2), (3) масаланинг ечими қуйидаги кўринишда ёзилади: 

 

 































1

1

sin

sin

cos

sin

,

k

k

k

k

k

l

x

k

l

at

k

b

l

at

k

a

l

x

k

t

T

t

x

U









.    (21) 

Бу ерда T

k

(t) (20) формуладан, a

k

 ва b

k

 коэфициентлар эса мос равишда (11) ва (12) 

формулалар ёрдамида аниқланади.  

 

3.  Текисликдаги  D  соҳада  бир  жинсли  бўлмаган  (13)  тенгламанинг  (2) 

бошланғич шартларни ва бир жинсли бўлмаган  

 

 

 

 

t

t

l

U

t

t

U

2

1

,

,

,

0









  

 

 

 (22) 

чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин.  

 

Бу масала ечимини  

 

 

 

t

x

W

t

x

V

t

x

U

,

,

,





 

кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда 

 

t

x

W

,  ёрдамчи функция бўлиб, уни  

  

   

  

t

x

t

x

t

x

W

2

2

2

1

1

1

,





















   

 

 

(23) 

кўринишда излаб, (22) чегаравий шартларни қаноатлантирадиган қилиб танлаймиз. 

У ҳолда 

 

t

x

W

,  қуйидаги кўринишга эга бўлади: 

 

 

 

 





t

t

l

x

t

t

x

W

1

2

1

,













. 

 

 

  

(24) 

 

t

x

V

,  функция эса бир жинсли бўлмаган  

 

t

x

g

V

a

V

xx

tt

,

2





  

 

 

 

 

(25) 

тор тебраниш тенгламасининг бир жинсли бўлмаган 

 

 

 

 

 

 

0

,

0

,

,

0

,

0

,

2

1

x

W

x

f

x

V

x

W

x

f

x

V

t









 

 

 (26) 

бошланғич шартларни ва бир жинсли  

 

 

0

,

,

0

,

0





t

l

V

t

V

   

 

 

 

 (27) 

чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечими. Бу ерда  

 

 





xx

tt

W

W

t

x

f

t

x

g

2

,

,









. 

(25), (26), (27) масала олдин ечилган (13), (2), (3) масалага ўхшашдир. 

 

1–МАСАЛА. 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

 

соҳада 

xx

tt

U

a

U

2



 

тенгламанинг  

 



 

  

0

0

,

,

0

4

0

,

2









x

U

h

x

l

x

l

h

x

U

t

, 

U(0,t)=0,  U(l,t)=0 шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин.  

 

ЕЧИЛИШИ.  Берилган  масалада 

 





x

l

x

l

h

x

f





2

1

4

,  f

2

(x)=0.  Масала  ечимини 

(8)  қатор  кўринишида  излаймиз.  Бу  қаторнинг  коэффициентларини  (11)  ва  (12) 

формулалар ёрдамида топамиз:  

 

















l

l

k

k

b

dx

l

x

k

x

lx

l

h

dx

l

x

k

x

f

l

a

0

0

2

3

1

0

,

sin

8

sin

2





. 

a

k

  коэффициентни  топиш  учун  ўнг  томондаги  интегрални  икки  марта  бўлаклаб 

интеграллаймиз: 





dx

x

l

dU

dx

l

x

k

dV

x

lx

U

2

,

sin

,

1

1

2

1













, 

























l

l

k

dx

l

x

k

x

l

l

k

h

l

x

k

k

l

x

lx

l

h

a

l

x

k

k

l

V

0

2

0

2

3

1

cos

2

8

cos

8

;

cos













 

ёки 











l

k

dx

l

x

k

x

l

l

k

h

a

0

2

cos

2

8





; 

dx

dU

dx

l

x

k

dV

x

l

U

2

,

cos

,

2

2

2

2













, 

;

sin

2

l

x

k

k

l

V







 









 

.

]

1

1

[

16

1

cos

16

cos

16

sin

16

sin

2

8

3

3

3

3

0

0

3

3

2

2

0

2

2

2

k

l

l

l

k

k

h

k

k

h

l

x

k

k

h

dx

l

x

k

l

k

h

l

x

k

x

l

l

k

h

a













































 

Топилган a

k

 ва b

k

 коэффициентларнинг қийматларини (8) тенгликка қўйиб, масала 

ечимини ҳосил қиламиз: 

 

 













1

3

3

sin

cos

]

1

1

[

16

,

k

k

l

x

k

l

at

k

k

h

t

x

U







. 

Агар k=2n бўлса, 1–(–1)

k

=0, агар k=2n+1 бўлса, 1–(–1)

k

=2 бўлганлиги учун ечимни 

қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин: 

 



























0

3

3

1

2

sin

1

2

cos

1

2

1

32

,

n

l

x

n

l

at

n

n

h

t

x

U







. 

 

2–МАСАЛА. 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

 соҳада  

 

 

l

x

x

U

x

U

U

a

U

t

xx

tt



5

sin

0

,

,

0

0

,

,

2







, U(0,t)=0;  U(l,t)=0 

аралаш масаланинг ечими топилсин.  

 

ЕЧИЛИШИ.    (8)  функционал  қаторнинг  коэффициентларини  топамиз. 

 

 

l

x

x

f

x

f



5

sin

,

0

2

1





 эканлигидан  







l

k

k

dx

l

x

k

l

x

a

k

b

a

0

sin

5

sin

2

;

0







 

бўлади. 

 





,...

2

,

1

sin

2





k

l

x

k

l

x

X

k



  –  хос  функциялар  (0,l)  оралиқда 

нормаллашган ортогонал функциялар системасини ташкил қилганлиги учун  

            

 

 

 

 

бўлса, 

   

 

 

 

 

 

 

бўлса. 

бўлади. Бундан k



5 бўлганда b

k

=0, k=5 бўлганда 

a

l

b



5

5



 эканлиги келиб чиқади.  

 

Демак, масаланинг изланган ечими  

 

l

x

l

at

a

l

t

x

U







5

sin

5

sin

5

,



 

бўлади.  

 

3–МАСАЛА. 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

 соҳада  

 

 

 

 

0

,

,

0

,

0

0

,

,

0

0

,

,

sin

2













t

l

U

t

U

x

U

x

U

l

x

U

a

U

t

xx

tt



 















n

k

n

k

dx

dx

l

x

n

l

x

k

l

l

,

1

,

0

sin

sin

2

0





аралаш масаланинг ечими топилсин.  

 

ЕЧИЛИШИ. Берилган масалада  

 

l

x

t

x

f



sin

,



. Масала ечимини ифодаловчи (15) функционал  

 

 









1

sin

,

k

k

l

x

k

t

T

t

x

U



 

қаторнинг коэффициенти (20) формулага асосан  

 













 



































t

l

t

l

k

d

l

k

l

l

t

l

a

k

a

k

l

d

d

l

k

t

l

a

k

l

a

k

t

T

0

0

0

0

sin

sin

2

sin

sin

sin

sin

2



























 

бўлади. 

 

l

k

l

X

k





sin

2



  функцияларнинг  (0,l)  оралиқда  ортонормаллик 

шартидан k



1 да T

k

(t)=0,  

 



















 













t

l

a

a

l

t

l

a

a

l

d

t

l

a

a

l

t

T

t

t



















cos

1

cos

sin

0

0

1

 

эканлиги келиб чиқади.  

 

Шундай қилиб, берилган масала ечими  

 

l

x

t

l

a

a

l

t

x

U







sin

cos

1

,











 



 кўринишда ёзилади.  

 

6.2–§. МУСТАҚИЛ ЕЧИШ УЧУН МАСАЛАЛАР 

 I. 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

  соҳада  бир  жинсли  U

tt

=a

2

U

xx

  тор  тебраниш 

тенгламаси учун қуйидаги аралаш масалалар ечилсин: 

1. U(0,t)=U(l,t)=0,   U(x,0)=0, 

 

l

x

x

U

t



2

sin

0

,



; 

2. U(0,t)=U

x

(l,t)=0,  

 

 

l

x

x

U

l

x

x

U

t

2

sin

0

,

,

2

5

sin

0

,









; 

3. U(0,t)=U

x

(l,t)=0, U(x,0)=x, 

 

l

x

l

x

x

U

t

2

3

sin

2

sin

0

,









; 

4. U

x

(0,t)=U(l,t)=0, 

 

 

l

x

l

x

x

U

l

x

x

U

t

2

5

cos

2

3

cos

0

,

,

2

cos

0

,













; 

5. U

x

(0,t)=U

x

(l,t)=0, U(x,0)=x, U

t

(x,0)=1. 

 

II. 

 

















t

l

x

t

x

D

0

,

0

:

,

  соҳада бир  жинсли  бўлмаган  U

tt

=a

2

U

xx

+f(x,t)  тор 

тебраниш  тенгламасининг  бир  жинсли  U(x,0)=0,    U

t

(x,0)=0  бошланғич  шартларни 

ва қуйидаги чегаравий шартларни қаноатлантирувчи ечими топилсин: 

6. U(0,t)=U(l,t)=0,  

 

l

x

Ae

t

x

f

t



sin

,





; 

7. U(0,t)=U(l,t)=0,   

 

t

Axe

t

x

f





,

; 

8. U(0,t)=U

x

(l,t)=0, f(x,t)=Asint; 

9. U

x

(0,t)=U(l,t)=0, 

 

l

x

Ae

t

x

f

t

2

cos

,







; 

10. U

x

(0,t)=U

x

(l,t)=0. 

 

III. Қуйидаги аралаш масалалар ечилсин: 

11. U

tt

=U

xx

,       U(0,t)=t

2

,   U(



,t)=t

3

, 

     U(x,0)=sinx,   U

t

(x,0)=0,  0<x<



,  t>0; 

12. U

tt

=U

xx

,       U(0,t)=e

–t

,   U(



,t)=t, 

     U(x,0)=sinx



cosx,   U

t

(x,0)=0,  0<x<



,  t>0; 

13. U

tt

=U

xx

,       U(0,t)=t,   U(



,t)=1,