Mavzu: Funksiyalarni N’yuton formulalari yordamida approksimasiyalash va egri chiziq yasash. Reja

Mustaqil ish

Mavzu: Funksiyalarni N’yuton formulalari yordamida approksimasiyalash va egri chiziq yasash.


Reja:

1. 
   Algebraik interpoiyatsiyalash masalasining qo‘yilishi
   
2. 
   Interpolyatsiyalash xatoligi
   
3. 
   Nyuton interpolyatsion ko‘phadi
   
4. 
   Teskari interpolyatsiyalash
   
5. 
   Nyutonning birinchi interpolyatsion formulasi
   
6. 
   Nyutonning ikkinchi interpolyatsion formulasi
   

Bajardi: Abduraimov Urol

Aksariyat hisoblash usullari masalaning qo'yilishida qatnashadigan funktsiyalarni unga biror muayyan ma’noda yaqin va tuzilishi soddaroq bo'lgan funktsiyalarga almashtirish g'oyasiga asoslangan.

Interpolyatsiya masalasining mohiyati quyidagidan iborat. Faraz qilaylik y=f(x) funktsiya jadval ko'rinishida berilgan bo'lsin:

Y_o=f(x₀), y ₁=f(x₁) ..... ,y_n=f(x_n)

Odatda interpolyatsiyalash masalasi quyidagicha ko‘rinishda qo‘yiladi: Shunday n- tartiblidan oshmagan P(x)*Pn{x) ko'phad topish kerakki, P(x_i) berilgan x_i=(i=0,1, .... n) nuqtalarda f(x) bilan bir xil qiy- matlarni qabul qilsin, ya’ni P(x_i)=y_i.

Bu masalaning geometrik ma’nosi quyidagidan iborat: darajasi n dan ortmaydigan shunday

у=Р_n(х)=a₀xⁿ+ a₁x^n-1 ...+ а_n (1)

ko’phad qurilsinki, uning grafigi berilgan M(x_i, у_i ) (i=0,1,… n) nuqtalardan o'tsín (1- rasm). Bu yerdagi x_i (i=0,1,2,.. n) nuqtalar interpolyatsiya tugun nuqtalari yoki tugunIar deyiladi. R(x) esa interpolyatsiyaIоvchi funksiya deyiladi.

(1-rasm)

Amalda topilgan R(x) interpolyatsion formula f(x) funktsiyaning berilgan x argumentning (interpolyatsiya tugunlaridan farqli) qiymatlarini hisoblash uchun qo'llaniladi. Ushbu operatsiya funksiyani interpolyatsiyalash deyiladi. (Agar xϵ (a, b) bo'lsa interpolyatsiyalash x ϵ[a, b]bo`lsa, ekstrapolyatsiyalash deyiladi).Biz f(x) funksiyani interpolyatsion L_n(x) ko‘phadga almashtirganimizda

ω_n(x) = f(x)- L_n(x),

xatolikka yo‘l qo‘yamiz. Bu interpolyatsiyalash xatoligi deyiladi. Tugun nuqtalarda xatolik nolga teng. [a ,b ] ga tegishli ixtiyoriy x nuqtadagi ifodasini topamiz va baholaymiz. Buning uchun quyidagi funksiyani qaraymiz:

(1)

bu yerda zϵ[a,b],K- o‘zgarmas va

(2)

(1)dagi o ‘zgarmas K ni λ(x) = 0 shartdan topamiz:

(3)

f(z) funksiya [a ,b] da n + 1 marta uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin deymiz. λ (z) funksiya [a ,b] da n + 2 ta nuqtada nolga teng,ular x ,x <sub>0</sub>,x<sub>1</sub>,...,x<sub>n</sub>. Roll teoremasiga asosan, λ '(z) [a ,b ] ga tegishli n + 1 ta, λ”(z) n ta nolga ega bo`ladi va hokazo.λ⁽ⁿ⁺¹⁾(z) [a,b] da kamida bitta nolga ega bo'ladi, ya'ni λ⁽ⁿ⁺¹⁾() = 0, €[a ,b ] (1) dan n + 1 marta hosila olib, z = , desak, quyidagiga ega b o ‘lamiz:

(4)

(3) va (4) dan

(5)

kelib chiqadi.Bundan

(6)

bunga ega bo`lamiz,b u yerda M_n+1=sup|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|

[a,b]

Bizga [a ,b] da aniqlangan f(x) funksiyaning [a ,b ] ga tegishli turli { x_k }_k=0ⁿ nuqtalarda qiymatlari ma’lum bo‘lsin.

Quyidagicha aniqlangan

miqdorlar birinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi, ular yordamida aniqlangan

miqdorlar ikkinchi tartibli ayirmalar nisbati deyiladi.

Yuqori tartibli ayirmalar nisbati ham shunday aniqlanadi, masalan,

k-tartibli f(x_i,x_i+1,…,x_i+k) va f(x_i+1,x_i+2,…,x_i+k+1) ayirmalar nisbati

m a’lum bo ‘lsa, (k + 1) -tartibli ayirmalar nisbati

aniqlanadi, i = 0 ,1 ,...,n-k-1

Ayirmalar nisbati quyidagi xossalarga ega.