Mavzu: Ikki chiziq orasidagi burchak, uni hisoblash. Reja: Ikki chiziqlar orasidagi burchak


Download 0.51 Mb.
bet1/2
Sana26.04.2022
Hajmi0.51 Mb.
#653784
  1   2
Bog'liq
Ikki chiziq orasidagi burchak, uni hisoblash.
TAQI sirtqi 110-20 guruh, JIsmoniy tarbiya Mustaqil ish(1), Саримсоқ, Yongin-xavfsizligi, Yongin-xavfsizligi, 2 5453992455940607163, chiqindisiz va kam chiqindili texnologiyalar, 2 5364148590581125066, tavsifnoma, 2 модул топшириклари 2 курс 3 семестр 2021 2022, çïÆ. ³17.2

Mavzu:Ikki chiziq orasidagi burchak, uni hisoblash.


Reja:

  1. Ikki chiziqlar orasidagi burchak.

  2. Sirtdagi soha yuzi.

  3. Sirtning ichki geometriyasi.

Sirt ustidagi chiziqlar orasidagi burchak


E F
Biz birinchi kvadratik forma Edu2 2Fdudv Gdv2 ning matritsasi F Gning
 
  determinanati noldan farqli va E > 0, EG  F 2 > 0 ekanligini o'tgan mavzuda ko'rsatgan edik. Shu sababli birinchi kvadratik forma sirtning har bir nuqtasidagi urinma tekislikda ko'paytmani aniqlaydi. Agar a va b vektorlar r = r (u v, ) sirtning r0 = (x0 , y0 ,z0 ) = r (u v0 , 0 ) nuqtasidagi urinma vektorlari bo'lsa, ular ru va rv vektorlar
orqali ifodalanadi:
a = a1ru a2rv ; b = b1ru b2rv ;
Bu vektorlarning skalyar ko'paytmasi sifatida ushbu
< a,b >= a b1 1 < ru ,ru > a b1 2 < ru ,rv > a b2 1 < rv ,ru > a b2 2 < rv ,rv >= (4)
a b E1 1  (a b1 2  a b2 1 )F  a b G2 2 sonni olamiz.
u = u t1( ) , v = v t1 ( ) va u = u2 ( )t , v = v t2 ( ) chiziqlar r = r (u v, ) sirtda yotsin, hamda du, dv, u va v funksiyalarning birinchi chiziq tenglamasi u = u t1( ), v = v t1( ) yordamida aniqlangan differentsiallari, u, v esa u va v funksiyalarning ikkinchi chiziq tenglamasi u = u2 ( )t , v = v t2 ( ) yordamida topilgan differentsiallari bo'lsin:
du = u1' ( )t dt, dv = v1' ( )t dt, u = u2' ( )t dt, v = v2' ( )t dt.
Egri chiziqlar orasidagi burchak ularning kesishish nuqtasidagi urinmalar orasidagi burchakga teng bo'lganligi sababli, ular orasidagi burchak kosinusini quyidagicha topish mumkin:
cos=  < dr,r > =  Edu u  F du v(   udv) Gdv v . (5) dr 2 r 2 Edu2  2Fdudv Gdv2 E u  2  2F u vG v2
Misol. Sirtdagi u = const va v = const koordinata chiziqlari orasidagi burchak topilsin.
Birinchi u koordinata chizig'i uchun v = const bo'lgani uchun u = 0, bu erdan va (5) formuladan
cos= Fdu v = F
Edu 2 G v 2 EG
ekanligi kelib chiqadi. Demak, sirtdagi koordinata chiziqlari ortogonal to'r
hosil qilishi uchun sirtning har bir nuqtasida F = 0 bo'lishi zarur va etarlidir.
Eslatma. dr = ru du rv dv vektorning sirtdagi nuqtada aniqlangan yo'nalishini odatda (du : dv) kabi ham belgilanadi.
Sirtdagi soha yuzi

S sirt r = r (u v, ), (u v, ) D tenglama bilan berilgan bo'lib, D - tekislikdagi soha bo'lsin. D sohani u va v koordinata o'qlariga parallel u = ui , v = vk to'g'ri chiziqlar chiziqlar bilan Dik to'g'riturtburchaklarga bo'lamiz. U holda, sirtdagi r (u vi , ) va r (u v, k ) koordinata chiziqlari S sirtni Sik egri chiziqli to'rtburchaklarga bo'ladi. Sik to'rtburchakning yuzi urinma tekislik T(u ,vk )( )S da yotuvchi va tomoulari
i
ru (u vi , k )ui = ru ui ; rv (u vi , k )vk = rvvk
vektorlar bilan aniqlangan, yuzasi
ik =| ru ui rvvk |=| ru rv |  ui vk
bo'lgan parallelogram yuzasidan kam farq qiladi (ma'lum shartlarda). Shu sababli S sirt yuzasining taqribiy qiymati sifatida ik ni olish mumkin. S sirt yuzasida esa ik ning ui va vk lar nolga intilgandagi limitini olish tabiiydir. ru va rv vektorlar uzluksiz bo'lsa, oxirgi limit mavjud va ushbu integralga teng
 | ru rv | dudv.
D
Demak, S sirt yuzi quyidagicha topilar ekan:
=  | ru rv | dudv. (6)
D
Oxirgi formulani quyidagicha o'zgartirib yozishimiz mumkin:
| ru  rv |= | ru  rv |2 = | ru | |2 rv |2 sin 2= ru2rv2  ru2rv2 cos2=
ru2rv2  (ru ,rv )2 = EG  F 2
chunki
E = (ru ,ru ), F = (ru ,rv ), G = (rv ,rv ).
Endi soha yuzi uchun formulani ushbu
=  EG  F dudv2 (7)
D
ko'rinishda yozish mumkin.

Endi sirt uzluksiz funksiya z = f x y( , ), (x y, )D grafigi bo'lgan hususiy holni qaraymiz. Bu holda u = x, v = y, r (u v, ) = (x y, , f (x y, )) bo'lgani uchun ru = rx = (1,0, fx ), rv = ry = (1,0, f y )
va
E = rx2 = 1 f x2 , G = ry2 = 1 f y2 , F = (rx , ry ) = f x f y
bo'ladi. Shuning uchun (8) formula
=  1 fx2  f y2 dxdy (8)
D
ko'rinishda bo'ladi.
Sirtning ichki geometriyasi
Biz yuqorida, sirtning birinchi kvadratik formasi orqali sirtdagi chiziq uzunligi, ular orasidagi burchak, sirtdagi soha yuzini topish mumkinligini ko'rdik. bu formulalarda faqatgina birinchi kvadratik forma koeffitsientlari E F G, , lardan foydalaniladi. Demak, sirtning birnichi kvadratik formasi ma'lum bo'lsa, sirt ustidagi geometriyani sirt tenglamasiga murojat qilmasdan ham urganish mumkin ekan.
Sirtning birinchi kvadratik formasi yordamida topiladigan faktlar odatda sirtning ichki geometriyasi deyiladi.
Agar sirtlar o'rtasidagi uzluksiz biektiv akslantirishda mos chiziqlar teng uzunliklarga ega bo'lsa, bu sirtlar izometrik sirtlar, akslantirish esa sirtlar orasidagi izometriya deyiladi. Izometrik sirtlarga birinchi kvadratik formasi bir xil va demak ichki geometriyasi bir xil bo'lgan sirtlar deb ham ta'rif berish mumkin. Misol. S sirt
x = u, y = sin u, z = v tenglamalar bilan berilgan bo'lsin.

Bu yo'naltiruvchisi sinusoida bo'lgan silindrik sirtdir. ru va rv vektorlarni topomiz: ru = (1,cos ,0),u rv = (0,0,1).
Demak,
E = ru2 = 1 cos2u, G = rv2 = 1, F = (ru ,rv ) = 0, ds2 = (1 cos2u du) 2  dv2.
Ushbu
X = 0u 1cos2udu, Y = v
formulalar yordamida yangi o'zgaruvchilarni kiritsak S sirtning birinchi
kvadratik formasi
ds2 = dX 2  dY 2
ko'rinishda bo'ladi. Demak, S sirt bilan (X Y, ) tekislikning ichki geometriyasi
bir xil, ya'ni silindrik sirt tekislikga izometrik ekan.
Umuman, agar egri chiziqli koordinatalarni sirtlarning birinchi kvadratik formalari ustma ust tushadigan qilib kiritish mumkin bo'lsa, bu sirtlar izometrik bo'ladi.
Adabiyotlar:


Download 0.51 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2022
ma'muriyatiga murojaat qiling