Mavzu: Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari Reja

Mavzu:Ikki tasodifiy miqdorlar sistemasining sonli xarakteristikalari
Reja:
1.Ikki tasodifiy miqdor sistemasining soni xarakteristikalari.
2.Funktsional, statistik va koorelyatsion bogʼlanishlar.
3.Koorelyatsiya momenti va koeffitsenti

Ikkita tasodiy miqdorni erkli boʼlishi, tasodifiy miqdordan birining taqsimot funktsiyasi ikkinchi miqdorning mumkin boʼlgan qiymatlarini qabul qilganiga bogʼliq boʼlmasligini bildirar edi. Bundan erkli miqdorning shartli taqsimotlari ularning shartsiz taqsimotiga tengligini bildiradi.

Tasodifiy miqdorning erkinligini zaruriy va yetarli shartli sharti quyidagi teorema yordamida aniqlanadi.
Teorema: X va Y tasodifiy miqdorlar erkli boʼlishi uchun (X,Y) sistemasining integral funktsmyasi tashkil etuvchilarning integral funktsiyalari koʼpaytmasiga teng boʼlishi zarur va yetarli.
F (X,Y)=F₁(x) (Y)
Natija. Uzluksiz X va Y tasodifiy miqdorlar erkli boʼlishi uchun (X,Y) sistemasining differentsial funktsiyalari koʼpaytmasiga teng boʼlishi zarur va yetarlidir: f (x,y)=f₁(x) (y)
Ikki tasodifiy miqdor sistemasining soni xarakteristikalari.
Ikki tasodifiy miqdor sistemasining taxlil qilish uchun ularning tashkil etuvchilarini matematik kutilishi va dispersiyalaridan tashqari boshqa xarakteristikalaridan, masalan korreltsiya momenti va korrelyatsiya koeffitsenti tushunchalaridan foydalaniladi.
Masalan tasodifiy miqdorlarning korrelyatsion momenti ular orasida bogʼlanishni aniqlash uchun xizmat qiladi.
Masalan: X va Y miqdorlar erkli boʼlsa, u holda korrelyatsion moment nolga meng boʼladi, agar korreltsion moment nolga teng boʼlmasa, u holda X va Y bogʼliq tasodifiy miqdorlardir.
Endi tasodifiy miqdorlar sistemasi, uni axamiyati va amalda ishlatilishi haqida toʼxtaymiz. Аmaliyotda turli oʼzgaruvchi miqdorlar uchraydi va ular oʼzaro qandaydir bogʼlanishda boʼladi.
Аgar ular funktsional bogʼlanishda boʼlsa, ravshanki birining berilgan qiymatiga ikkinchisining aniq qiymati mos keladi va tekskarisi.
Masalan sotib olingan maxsulot narxi va miqdori, ishlatilgan elektr energiyasi narxi va miqdori...
Lekin shunday oʼzgaruvchi miqdorlar uchraydiki ular bogʼliq boʼlib ulardan birining berilgan qiymatiga boshqasining bir nechta qiymatlari toʼplami mos keladi, lekin bu mostlik aniq bir qonuniyatni ifoda qilmaydi. Shu sabab xar bir X ning qiymatiga mos kelgan Y ni ular oʼrtasidagi taqsimot deb qarash mumkin, X va Y lar statistik bogʼlangan deyiladi agar ulardan birining oʼzgarishiga boshqasining taqsimoti nisbiy chastotasi orkali mos kelsa.
Statistik bogʼlangan oʼzgaruvchi miqdorga hosildorlik va berilgan oʼgʼit miqdori, odamni boʼyi va ogʼirligi mevani va urugʼini massasi...
Olingan xisobotlar natijasida quyidagi jadval hosil boʼlgan boʼlsin:

Yi ga Хi ga	10	12	14	16	18	20	Jami
10	9	4	1	-	-	-	14
30	1	10	9	3	-	-	23
50	-	2	6	14	6	-	58
70	-	-	1	10	18	6	35
Jami	10	16	17	27	24	6	100

Jadvalda 100 ga ekiladigan yerga Xi (1 s oʼgʼit 1 ta.ga solish va Yi (xosildorlik 1 ga), yaʼni hosildorlik va solingan oʼgʼit orasidagi bogʼlikni bildirsin.

Bu jadvalda 1-satr va 2-ustunlar kesishgan joyda turgan 4 soni 100ga yerning 4ga siga10ts oʼgʼit solinib, 12 s hosil olinganini bildiradi, yoki 3 satr va 4 ustun kesishgan joydagi, 6 soni 50 ga yerga 6 s. oʼgʼit solib, hosildorlik 18 s. boʼlganini bildiradi. Bu koʼrinishdagi jadvallar deyiladi. Ushbu korrelyatsion jadval oʼgʼit berish miqdorini oshirish bilan, hosildorlik oshganidan maʼlumot beradi, lekin bu qonuniyatni analitik koʼrinishda aniqlab boʼlmaydi.
Lekin aniq qonuniyatni aniqlashga xar xil yoʼllar bilan harakat qilinadi. Masalan X ning har bir qiymatiga ularning oʼrta arifmetigini mos qoʼyish mumkin. X oʼzgaruvchi miqdor toʼrtta qiymat qabul qiladi. Demak uning toʼplamlar boʼyicha qiymatlari, yaʼni berilgan oʼgʼit 14,23,28 va 35 gektarga toʼgʼri keladi. Gruppaning har bir gektariga bir xil miqdorda oʼgʼit berilganiga qaramasdan xosildorlik ularda bir xil emasligi koʼrinib turipdi. I gruppada 9 gek.ning xar biriga 10 s 4gek.ga 12 s, 9 gek.ga 14 s va 1 gek.ga 16 s 3 gek hosildorlik toʼgʼri keladi. Xuddi shunday holni III va IV gruppada xam kuzatish mumkin. Bu taqsimotni oʼrta arfimetigi gruppavoy xosildorlikni oʼrtachasini bildiradi.
Y1, Y2, Y3, va Y4, bilan grux boʼyicha oʼrtacha hosildorlikni belgilaylik Y1, xar bir gektarga 10 s oʼgʼit sepilgan yerlardagi oʼrtacha xosildorlikni bildiradi.






Bu topilganlarga asosan kuyidagi jadvalni tuzish mumkin:

Xi	Yi	Yi o’zgarish
10	10,86
30	13,22	2,36
50	15,71	2,44
70	17,66	1,95

Jadvaldan kurindiki X oshishi bilan xosildorlik U xam gruppasi buyicha oshib borilmokda, usish esa tekis (sakramasdan) bormokda. Kuyidagi chizmada (Xi i) nuktalar keltirilgan. Bundan kurinadiki ular, yaʼni X va U orasidagi boglanish qariyib chiziqlidir.

Endi ( ) nuqtalarini yasasak x=cy+d bogʼlanishni anglash qiyin emas.
Kerrelyatsion jadval orkali X va U orasidagi boglanish, yaʼni berilgan ugit bilan xosildorlik orasidagi boglanish anik sezilmas edi. Lekin ularni bittasi bilan boshkasining urta arifmetigi orasida boglanish orasida karib funktsional bogʼlanish borligini aniklash mumkin.
Ushbu masalada ikkala bogliklik xam chizikli ekan. Endi ushbu masalani umumiy xolda kuraylik.
x va y oʼzgaruvchilar orasidagi bogʼlanish quyidagi korrelyatsion jadval orkali berilgan boʼlsin:

Xi	Y1	Y2	…	yj	….	Yt	Жами Nxi
X1	n 11	n12	…	n1j	…	n1t	Nx1
X2	n 2 1	n22	…	n2j	…	n2t	Nx2
Xi	ni 1	ni2	…	nij	…	nit	nxi
i	…	…	…	…	…	…	…
Xs	ns1	ns2	…	nsj	…	nst	nxs
Жами ynj	ny1	ny2	…	nyj	…	nyt	n

Berilgan korrelyatsion jadval yordamida regressiya tenglamasi tuzish uchun kerak boʼladigan prametrlar quyidagi formulalar yordamida topiladi:
: :
3. Korrelyatsiya momenti.
X va Y tasodifiy miqdorlarning korrelyatsion momenti deb, bu miqdorlar chetlanishlari koʼpaytmasining matematik kutilishiga aytiladi:
M_xy =M [(X-M(X) -M(Y))]
Diskret tasodifiy miqdorlarni korrelyatsion momentlari

formula bilan hisoblanadi
Tasodifiy miqdor uzluksiz boʼlsa, ularning korrelyatsion momentlari

formula yordamida hsoblanadi.
Korrelyatsion moment X va Y miqdorlar orasidagi bogʼlanishni xarakterlaydi. Аgar X va Y erkli boʼlsa Mxy=0, agar boʼlsa X va Y tasodifiy miqdorlar bogʼliq boʼladi.
Teorema. Ikkita erkli X va U tasodifiy mikdorlarning korrelyatsion momenti nolga teng.
Isbot: X va U erkli bulganidan X-M(X), U-M(U) xam erkli va chetlanishning matematik kutilishi nolga teng bulganidan.
М_ху=М(Х-М(Х)) У-М(У))=М (Х-М(У))М(У-М(У))=0.
Korrelyatsion momentning taʼrifidan kurinadiki, uning kattaligi ulcham birliklariga boglik.
Masalan: X va U lar santimetrlarda ulchangan bulib, Mxu=2sm2 bulsa, ularni millimetrlarda ulchasak Mxu=200mm2 kelib chikadi. Korrelyatsion momentning bu xususiyati uni kamchiligidir. Bu kamchiliklardan kutilish maksadida yangi sonli xarakteristka - korrelyatsiya tushunchasi kiritiladi.
4. Korrelyatsiya koeffitsienti.
X va U tasodifiy mikdorlarning xu korrelyatsiya koeffitsenti deb korrelyatsion momentning bu mikdorlar urtacha kvadratli cheklanishlari kupaytmasi nisbatiga aytiladi:
Korrelyatsiya koeffitsenti ulchamsiz mikdordir. Shu sababli u amalda kullash uchun qulay xisoblanadi.
5. Tasodifiy mikdorlarning korrelyatsiyalanganligi va boglikligi.
Аgar X va U tasodifiy mikdorlarning korrelyatsion momenti (yoki korrelyatsiya koeffitsenti) noldan farkli bulsa ular korrelyatsiyalangan deyiladi.
Ikkita korrelyatsiyalangan mikdor boglik mikdor buladi, ammo ularning boglikligidan, ularning korrelyatsiyalanganligi kelib chikmaydi.
6. Korrelyatsiya koeffitsentini topish. Regressiya tenglamalari.
Biz 2. mavzusida X ga U ning urta orifmetiklari mos kuyilsa boglanish kariyib chizikli bulishini kursatdik.
Аgar U ning X ga va X ning U ga regressiya chiziklarining ikkalasi xam tugri chiziklar bulsa, u xolda korrelyatsiyani chizikli korrelyatsiya deyiladi.
Uning X ga regressiya tugri chizigining tenglamasi
yoki
X ning U ga regressiya tugri chizigining tenglamasi
yoki kurinishda buladi.
7. Regreesiya tenglamalarini tuzish.
Ikkita X va U tasodifiy miqdorlar berilgan boʼlsin n ta sinov natijasida korreltsion jadval tuzilgan boʼlsin. Regressiya tenglamalarini tuzish uchun ravshanki avvalo korrelyatsiya koeffitsientini topish talab qilinadi. Katta sonlar qonuniga asosan sinashlar soni n yetarlicha katta boʼlganda , va xy larni topish uchun M(X) va M(U) oʼrniga ularning oʼrta arifmetiglarini olish mumkin.
Bunda quyilagi taqribiy tengliklar oʼrinli boʼladi.
, ,

Bu tengliklardan esa
xy=
Tadqiqotlar koʼrsatadiki boʼlsa X va Y tasodifiy miqdorlar orasidagi bogʼlanish yetarlicha ehtimolli boʼladi. Аgar X va Y orasida bogʼlanish urnaltilgan boʼlib, ular yetarlicha extimolli boʼlsa, bu holda chiziqli regresiya formulalari
=Chxy yoki yx=ax+v,
=Chxy yoki xy=cy+d,
koʼrinishda boʼladi.
Takidlaymizki ux=ax+v, va xy=cy+d tenglamalar xar xil toʼgʼri chiziqlarni ifodalaydi, lekin ular M1 nuqtada kesishadi.
Chiziqli regressiya tenglamalarining tuzish uchun quyidagi ishlarni bajarish lozim boʼladi:
1. Berilgan jadvalga koʼra , , , xy , Chxy lar hisoblanadi.
2. tengsizlikni bajarilishiga qarab X va Y orasidagi bogʼlinish anaqlanadi:
3. Regressiya chizigʼining tenglamalari tuzilib, ularning grafiklari yasaladi.
Masala: X va Y ning qiymatlari (X –grux talabalari boʼyi, Y-grux talabalarining ogʼirligi) quyidagi jadvalda berilgan.

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
X	1.58	1.6	1.64	1.65	1.7	1.72	1.73	1.74	1.75	1.76	1.77	1.78	1.78	1.79	1.8
Y	58	57	60	62	63	65	64	66	66	67	70	69	71	72	74

Korrelyatsiya koefitsentini toping va regressiya tenglamalarini tuzing
Yechish: Navbat bilan , , , , larni topamiz



Endi М(Х), M(Y), , larni hisoblaymiz.
М(Х) : М(Y)


Endi tengsizlikni bajarilishini tekshiramiz:

Demak X va Y ning bogʼlanishi yetarlicha ehtimolli. Endi regressiya tenglamalarini tuzamiz va grafiklarini yasaymiz:

ёки

,

Endi regressiya chiziqlarini grafigini chizamiz:

Bu ikkala regressiya chiziqlari nuqtadan utganidan, ular ustida yana bittadan nuqta topish kifoya:
х=1 десак (1:64,32),
, y=10 десак (-20.38: 10)