Mavzu: Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular ustida amallar

Mavzu: Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli 

shakllari hamda ular ustida amallar. 

 

Kompleks son va uning algebraik, trigonometrik, ko’rsatkichli shakllari hamda ular 

ustida amallar. Fan  va amaliyotning rivojlanishi  haqiqiy sonlar to’plamining  yetarli emasligini 

ko’rsatdi. Masalan, tashqi ko’rinishi juda sodda 

0

1

2





x

 ,

0

1

2





 x

x

 tenglamalar haqiqiy 

sonlar  to’plamida  yechimga  ega  emas.  Demak,  istalgan  algebraik  tenglamani  yechish  uchun 

haqiqiy sonlar to’plami yetarli bo’lmay qoladi. 

         Bundan tashqari elektronikada va fizikaning turli bo’limlarida murakkab tabiatli kattaliklar 

qaraladiki, ularni  haqiqiy sonlar tushunchasi qamray olmaydi. Shu sababli  sonlar tushunchasini 

kengaytirish ehtiyoji yuzaga keldi. 

Ta’rif. 

x

va

y

 haqiqiy sonlar, 

i

esa (

1





i

) qandaydir bir simvol bo’lsa,  

yi

x

z





 

(1) 

ifodaga kompleks son (algebraik shakli) deyiladi, bunda quyidagi shartlar qabul qilingan deb 

hisoblanadi: 

1) 

x

i

x



 0

;  

yi

yi 



0

 va 

i

i 



1

;  

i

i







1

; 

2) faqat 

1

x

x 

,  

1

y

y 

 bo’lgandagina, 

i

y

x

yi

x

1

1







 bo’ladi; 

3) 



 

 

 



i

y

y

x

x

i

y

x

yi

x

1

1

1

1















; 

4) 



 

 

 



i

y

x

xy

yy

xx

i

y

x

yi

x

1

1

1

1

1

1















. 

yi

x

z





 kompleks sonda 

0



x

, 

0



y

  bo’lsa,

y

 mavhum son deyiladi. 

i  son mavhum birlik 

deyiladi 

x va y sonlar 

z

 kompleks sonning mos ravishda haqiqiy va kompleks qismi deyiladi va 

z

x

Re



, 

z

y

Im



  ko’rinishda  belgilanadi  . 

0



y

  bo’lsa, 

x

z 

  -  haqiqiy  son,  agar 

0



x

 

bo’lsa, 

iy

z 

   sof mavhum son bo’ladi. Mavhum qismlarining ishorasi bilangina farq qiluvchi  

iy

x

z





 va 

iy

x

z





 kompleks sonlar qo’shma kompleks sonlar deyiladi . 

Agar 

1

1

1

iy

x

z





 va 

2

2

2

iy

x

z





 ikkita kompleks  son berilgan bo’lsa, ular ustida  

algebraik amallar quyidagicha bajariladi: 

















1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

z

z

x

i y

x

i y

x

x

i

y

y



















 



 











1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

z

z

x

i y

x

i y

x

x

i

y

y



















            



 











1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

( 2 )

z

z

x

iy

x

iy

x x

y y

i x y

x y



















 

2

1

1

1

1

2

2

1 2

1

2

2 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(

)(

)

.

(

)(

)

z

z z

x

iy

x

iy

x x

y y

x y

x y

i

z

x

iy

x

iy

x

y

x

y

z

z





























               

Kompleks sonlarni darajaga ko’tarish ikkihadni darajaga ko’tarish kabi bajariladi,  

i

  sonnining 

darajalari quyidagi formulalar bo’yicha aniqlanadi. 

;

1

2





i

 

;

3

i

i





 

1

4



i

 va h.k. 

Umuman, 

;

1

4



k

i

 

,

1

4

i

i

k





  

1

2

4







k

i

,  

i

i

k





3

4

.  (3) 

 

1-misol.  

i

z



 2

1

 va  

i

z

2

3

2





 sonlarning yig’indisi va ayirmasini toping. 

Yechish. (2) formulaning birinchi va ikkinchisidan quyidagilarni topamiz: 



 

 

 



i

i

i

i

z

z























5

2

1

3

2

2

3

2

2

1

, 



 

 







i

i

i

i

z

z

3

1

2

1

3

2

2

3

2

2

1

























. 

2-misol.    

i

z

3

2

1





  va   

i

z

2

1

2





 kompleks sonlar ko’paytmasini toping. 

Yechish. (2) formulaga ko’ra quyidagini hosil qilamiz: 



 

















 







;

8

3

4

6

2

1

3

2

2

2

3

1

2

2

1

3

2

2

1

i

i

i

i

i

z

z











































  

Har bir  

iy

x

z





 kompleks son geometrik jihatdan 

Oxy

 koordinatlar  tekisligining 





,

x y  

nuqtasi yoki 

N

O



 vektori bilan tasvirlanadi. Kompleks son tasvirlanadigan 

Oxy

 tekislik 

kompleks tekislik deyiladi.  

z

 kompleks soniga mos  keluvchi 

N

 nuqtaning holatini 

r

 va 

  qutb koordinatlari bilan ham 

aniqlash mumkin. Bunda koordinatlar boshidan 

N

 nuqtagacha bo’lgan masofaga, 

N

O

z





 soni 

kompleks sonning moduli deyiladi va 

z

 bilan belgilanadi. 

ON



vektorning 

Ox

 o’qining musbat 

yo’nalishi  bilan  hosil  qilgan 



      burchak  kompleks  sonning  argumenti  deyiladi  va 

y

=

z

arg

 

kabi belgilanadi. 

iy

x

z





 kompleks son uchun quyidagi formula o’rinlidir: 





sin

,

cos

r

y

r

x





,     

,

2

2

y

x

r





      

x

y

tg





        (4)   bunda  

z

arg





 ning 

qiymati  



2

arg

0





z

 shartni qanoatlantiradi. 

3-misol. 

i

z







3

 kompleks sonning moduli va argumentini toping. 

Yechish.  

,

3





x

 

1

y 

 bo’lganligi uchun  

;

2

2

2







y

x

r

  

3

1







tg

 tenglamadan 

  

argumentni topamiz:  

6

5

6

















.  Shunday qilib,  

,

2



r

  

;

6

5







  

Kompleks sonning 

iy

x

z





  ko’rinishdagi ifodasi kompleks sonning algebraik shakli 

deyiladi. 

Kompleks sonning 









sin

cos

i

r

z





 ko’rinishdagi ifodasi uning trigonometrik shakli 

deyiladi. 

Trigonometrik ko’rinishda berilgan kompleks sonlar ustida amallar quyidagicha bajariladi: 





,

sin

cos

1

1

1

1





i

r

z





  





2

2

2

2

sin

cos





i

r

z





 







 











1

2

1

1

1

2

2

2

1 2

1

2

1

2

cos

sin

cos

sin

[cos

sin

]

z z

r

i

r

i

r r

i



































            (5) 









1

1

1

2

1

2

2

2

cos

sin

z

r

i

z

r

























 

 

 

 

                                           (6) 









cos

sin

cos

sin

n

n

r

i

r

n

i

n























   

 

                                                        (7) 





2

2

cos

sin

cos

sin

n

n

k

k

r

i

r

i

n

n



































                                                     (8) 

bunda k=0,1,2,..,(n-1).  (7) va (8) formulalarga Muavr formulalari deyiladi. 

          Kompleks sonning ko’rsatkichli shakli 

i

z

re





 ko’rinishda bo’lib, 







sin

cos

i

e

i





   

(9) 

formulaga Eyler formulasi deyiladi. 

4-misol. 

1

z

i

   sonni sakkizinchi darajaga ko’taring. 

Yechish. Berilgan sonni trigonometrik formada tasvirlaymiz: 

     

7

7

1

2 cos

sin

4

4

z

i

i









  











  Muavr formulasiga ko’ra quyidagini hosil qilamiz:  

 





8

8

8

8

8

7

7

7

7

(1

)

2

cos

sin

2

cos(8

)

sin(8

)

16 cos14

sin14

16.

4

4

4

4

z

i

i

i

i



















































































 

  

Darsda  yechish uchun misollar. 

 

5. Agar 

1

2

1

,

3 4

z

i

z

i

 

 

 bo’lsa, bu kompleks sonlarning yig’idisini va ayirmasini toping. 

6. Agar 

1

2

12

,

3

z

i

z

i

 



   bo’lsa kompleks sonlarning ko’paytmasini toping. 

7. 

2

3

1

2

) (2 3 ) (3 2 )

) (3 2 )

) (

) (

)

) (1

)

)

)

1

1

i

i

a

i

i

b

i

c

a bi

a bi

d

i

e

f

i

i























 amallar 

bajarilsin. 

8. 

 

tenglamalar yechilsin va ildizlar tenglamaga qo’yilib 

tekshirilsin. 

9. Quyidagi kompleks sonlarni modullari va argumentlari aniqlansin, hamda trinometrik 

ko’rinishda yozilsin. 

3

1

)

2 2

)

1

3

)

3

)

1 2

)

2

)

3

)

2

2

a z

i

b z

i

c

i

d z

i

e z

i

f

z

h

i

 

 





 

 





   

10. Quyidagi sonlarni 

 

i

re



 ko’rinishda yozilsin  (













 bo’lganda). 

 

)

3

)

2

)

2 2

)

1

3

a z

b

z

c z

i

d z

i



 

 

 

 

11. 

Quyidagilar Muavr formulasi bilan hisoblansin. 

10

6

5

3

1) (1

)

2) (1

3)

3) ( 1

)

4) ( 3

)

i

i

i

i





 



  

3

6

3

3

5)

1

6)

7)

1

8)

2

2

i

i





 

 

 

Mustaqil uy vazifasi uchun topshiriqlar. 

12. Quyidagilarni hisoblang. 

0

5

2

)

,

0

25

)

2

2











x

x

b

x

a



 



) 1 3

2 2

a

i

i







          



 



) 3 4

2

b

i

i







          c) 









2

2

2

1

3

i

i







           d) 









3 4

1

3

i

i





       e) 

1 2

2

i

i





              f) 

2

1

3

i

i



              h) 





 





3 4

3 2

3 4

3 2

2

2

i

i

i

i

i

i















               

j) 

1

3

2

2

i

i





 

13.  a) 

0

8

3





x

      b) 

0

4

4





x

 tenglamalar yechilsin va ildizlar tenglamaga qo’yilib 

tekshirilsin. 

14. Quyidagi kompleks sonlarni modullari va argumentlari aniqlansin, hamda trinometrik 

ko’rinishda yozilsin. 

3

1

3

1

)

3

)

1

3

) 1

)

)

)

2

)

1

2

2

2

2

a z

i

b z

i

c

i

d z

i

e z

i

f

z

h

i

 



 



 



 



 

 

 

15. Quyidagi sonlarni  

i

re



 

ko’rinishda yozilsin  (













 bo’lganda). 

)

3

)

2

)

3

)

1 2

)

1

a z

i

b z

i

c z

i

d z

i

e

i



 

 



 

 

 

16. Quyidagilar Muavr formulasi bilan hisoblansin: 













6

5

4

3

4

3

3

1)

10)

1

2)

8 8

3

3)

3

4) 1

3

5) 1

6)

2

2

i

i

i

i

i

i

i



 









 

.