Mavzu: matematik tushuncha, ta’rif, aksioma va teoremalarning mantiqiy tuzilishi

MAVZU: MATEMATIK TUSHUNCHA, TA’RIF, AKSIOMA VA TEOREMALARNING MANTIQIY TUZILISHI
(2 soat ma’ruza)
Reja:
1. Matematika fani mazmunining o‘ziga xosligi. Maktab matematika kursida tayanch tushunchalar va munosabatlar, aksiomalar va teoremalar, masala va misollar, qoidalar va formulalar, algoritmlar va qonunlar.
2. Maktab geometriya kursining aksiomatik tuzilishi.
Tayanch iboralar:
Boshlang‘ich tushunchalar, ta’riflar, munosabatlar, aksiomalar, teoremalar, qoida va qonuniyatlar, formulalar, algoritmlar va qonunlar, zamonaviy ta’lim texnologiyalari va metodlari, geometriya kursining aksiomatik tuzilishi.
1.Matematika fani mazmunining o‘ziga xosligi.
Inson moddiy dunyodagi narsa va hodisalarning mohiyatini, tabiat va jamiyat qonunlarini murakkab aqliy faoliyatlari yordamida bilib oladi. Biz ta’lim deyilganda o‘qituvchi bilan o‘quvchilar orasidagi ongli va maqsadga yo‘naltirilgan aktiv faoliyatni tushunamiz. Haqiqatdan ta’lim o‘z oldiga uchta maqsadni qo‘yadi.
1. O’qituvchilar ongida dastur asosida o‘rganilishi lozim bo‘lgan zarur bilimlar sistemasini shakllantirish.
2. O’qituvchilarning aqliy rivojlanishlarini, qobilyatlarini yuqori darajaga ko‘tarish.
3. Insoniy qadriyatlarni ulug‘lay bilish.
Ta’lim jarayonida ana shu uch maqsad amalga oshishi uchun o‘qituvchi har bir o‘rganilayotgan tushunchani psixologik, pedagogik va didaktik qonuniyatlar asosida tushunishi kerak. Buning natijasida o‘qituvchilar ongida bilish deb ataluvchi psixologik jarayon hosil bo‘ladi.
Bilishning hissiy va mantiqiy bosqichlari mavjud. Insonning hissiy bilishi uning sezgi, idrok, tasavvurlarida o‘z ifodasini topadi. Inson sezgi a’zolar vositasida real dunyo bilan o‘zaro aloqada bo‘ladi. Bilish jarayonida sezgilar bilan idrok ham ishtirok etadi. Sezgilar vositasida narsa va hodisalarning ayrim xususiyatlari aks etadi, idrok qilish prosessida shu narsa va hodisalar yaxlid holda aks etadi. Narsa va hodisalarning inson ongida butunicha aks etishi idrok deyiladi.
Tashqi olamdagi narsa va hodisalar inson miya po‘stlog‘ida sezish va idrok qilish orqali ma’lum bir iz qodiradi. Oradan ma’lum bir vaqt o‘tgach,
ana shu izlar aktivlanishi va biror narsa yoki hodisaning subyektiv obrazi sifatida katta tiklanishi mumkin.
Ana shu obyektiv olmaning subyektiv obrazining ma’lum vaqt o‘tgandan keyin qayta tiklanish jarayoni tasavvur deb ataladi.
Mantiqiy bilish (tushuncha, hukm va xulosa) har qanday mantiqiy bilish hissiy bilish orqali amalga oshadi. Shuning uchun ham har bir o‘rganilayotgan matematik obyektdagi narsalar seziladi, abstrakt nuqtai nazardan idrok va tassavur qilinadi. So‘ngra ana shu obyektdagi narsa to‘g‘risida ma’lum bir matematik tushuncha hosil bo‘ladi.
Matematik obyektdagi narsalarning asosiy xosalarni aks ettiruvchi tafakkur to‘plamasiga matematik tushuncha deyiladi.
Har bir matematik tushuncha o‘zining ikki tomoni, ya’ni mazmuni va hajmi bilan xarakterlanadi.
Tushunchaning mazmuni deb ana shu tushunchasi ifodalanuvchi asosiy xossalarining to‘plamiga aytiladi.
Masalan, to‘g‘ri to‘rtburchak tushunchasini olaylik. To‘g‘ri to‘rtburchak tushunchasining mazmuni quyidagi asosiy xossalar to‘plamidan iboratdir:
1. To‘rtburchak dioganali uni ikkita uchburchakka ajratadi.
2. Ichki qarama – qarshi burchaklarining yig‘indisi ga teng.
3. Diagonallari bir nuqtada kesishadi va shu nuqtada teng ikkiga bo‘linadi.
Tushunchaning hajmi deb, ana shu tushunchaga kirgan barcha obyektlar to‘plamiga aytiladi.
Masalan, to‘rtburchak tushunchasining hajmi shu to‘rtburchak tushunchasiga kirgan barcha to‘rtburchak turlaridan ya’ni parallelogramm, kvadrat, romb va trapesiyadan iborat bo‘ladi.
Bizga hajmi jihatdan keng va mazmun jihatdan tor bo‘lgan tushunchani jins tushunchasi, aksincha esa hajm tor va mazmuni keng bo‘lgan tushunchani tur tushunchasi deb yuritilishi psihologiyadan ma’lum.
Misol. Ko‘pburchak tushunchasini olaylik. Bu tushunchadan ikkita qavariq va botiq ko‘pburchak tushunchalari kelib chiqadi. Bu yerda ko‘pburchak tushunchasi qavariq va botiq ko‘pburchak tushunchalariga nisbatan jins tushunchasi deb yuritiladi, chunki uning hajmi qavariq va botiq ko‘pburchaklar hajmidan kattadir. Qavariq va botiq ko‘pburchaklar esa ko‘pburchak tushunchasiga nisbatan tur tushunchalari deb yuritiladi, chunki ulardan har birining hajmi ko‘pburchak tushunchasining hajmidan kichik ammo mazmunlari ko‘pburchak tushunchasining mazmunidan katta.
Har bir fanda bo‘lgani kabi matematika fanida ham ta’riflanmaydigan va ta’riflanadigan tushunchalar mavjud.
Maktab matematika kursida, shartli ravishda, ta’riflanmaydigan eng sodda tushunchalar qabul qilinadi. Jumladan, arifmetika kursida son tushunchasi va qo‘shish amali, geometriya kursida esa tekislik, nuqta, masofa va to‘g‘ri chiziq tushunchalari ta’riflamaydigan tushunchalardir. Bu tushunchalar yordamida boshqa matematik tushunchalar ta’riflanadi.
Ta’rif degan so‘zning ma’nosi shundan iboratki bunda qaralayotgan tushunchalarning boshqalaridan farqlashga, fanga kiritilgan yangi termin mazmunini oydinlashtirishga imkon beruvchi tushuncha bilan ta’riflovich tushunchalar orasidagi munosabatdan hosil bo‘ladi.
Tushunchaning ta’rifi inglizcha difinisiya (dinito) so‘zidan olingan bo‘lib, ―chegara degan yoki ―biror narsaning oxiri degan ma’noni bildiradi. Tushunchalarning ta’rifi quyidagi turlarga ajratiladi:
1. Real ta’rif. Bunda qaralayotgan tushunchaning gruppadagi tushunchalar farqi ko‘rsatib beriladi.
Bunda ta’riflovchi va ta’riflanuvchi tushunchalarning teng bo‘lishi muhim rol o‘ynaydi. Masalan: ―Aylana deb tekislikning biror nuqtasidan berilgan masofadan katta bo‘lmagan masofa yotuvchi nuqtalar to‘plamiga aytiladi‖. Bu yerda ta’riflanuvchi tushuncha aylana tushunchasidir, ta’riflovchi tushunchalar esa tekislik, nuqta, masofa tushunchalaridir.
2. Klassifikasion ta’rif. Bunda ta’riflanayotgan tushunchaning jins tushunchasi va uning tur jihatidan farqi ko‘rsatilgan bo‘ladi. Masalan: ―Kvadrat barcha tomonlari teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakdir.
Bu ta’rifdan ―to‘g‘ri to‘rtburchak tushunchasi kvadratning jins tushunchasini, ―barcha tomonlari teng esa tur jihatidan farqini ifoda qiladi.
3. Genetik ta’rif yoki induktiv ta’rif. Bunda asosan tushunchaning hosil bo‘lish jarayonini ko‘rsatuvchi ta’rif genetik ta’rif deyiladi.
Bizga psixologiya kursidan ma’lumki, genetika so‘zi grekcha genesis so‘zidan olingan bo‘lib, kelib chiqishi yoki ―manba degan ma’noni bildiradi.
Masalan:
1) to‘g‘ri burchakli uchburchakning bir kateti atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan jismni konus deyiladi;
2) teng yonli trapesiyaning balandligi atrofida aylanishdan hosil bo‘lgan jismni kesik konus deyiladi;
3) doiraning diametri atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan jism shar deyiladi.
Yuqoridagilardan ko‘rinib turibdiki, tushunchalarni ta’riflashda har bir tushunchaning mazmuni beriladi, bu degan so‘z tushunchaning asosiy alomatlari yoki muhim belgilarini sanab ko‘rsatish demakdir. Demak, ta’rifda faqat ta’riflanadigan tushunchani boshqa turdagi tushunchalardan ajratib turadigan muhim belgilaringna ifodalaydi. Maktab matematika kursida tushunchalarning ta’rifi ikki usil bilan to‘ziladi:
A. Berilgan tushunchalarning hajmicha ko‘ruvchi barcha obyektlar to‘plamiga asoslanadi. Masalan: Tekislikning (masofalar o‘zgartirilmagan holida) o‘z – o‘ziga akslanishi sijitish deyiladi. Bu yerda o‘q va markazi simmetriya, parallel ko‘chirish va nuqta atrofida burish tushunchalari siljitish tushunchalarining obyektiga kirituchvi tushunchalaridir.
B. Berilgan tushunchaning aniqlovchi alomatlar to‘plamiga asoslaniladi.
Bunday ta’rifni to‘zishda tushunchaning barcha muhim alomatlari sanab o‘tilmaydigan, ammo ular tushunchaning mazmunini yechib berishi yetarli bo‘lishi kerak. Masalan: parallelogrammning muhim alomatlari quyidagilardan iborat:
A) to‘rtburchak;
B) qarama – qarshi tomonlari o‘zaro teng va parallel;
C) diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi;
D) qarama – qarshi burchaklari teng.
Parallelogrammni ta’riflashda A) va C) alomatlar orqali quyidagi ta’rifni tuzish mumkin. ―Qarama – qarshi tomonlari o‘zaro parallel va teng bo‘lgan to‘rtburchak parallelogramm deyiladi.
Endi A) va C) alomatlar orqali ta’rif tuzaylik: ―Diagonallari kesishib, kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linuvchi to‘rtburchak parallelogramm deyiladi.
Aytilganlardan ma’lum bo‘ladigan, tushunchani ta’riflashda tanlanadigan muhim alomatlar soni yetarlicha bo‘lgandagina ta’riflanayotgan tushuncha haqidagi ta’rif to‘g‘ri chiqadi.
Tushunchalarning ta’rifiga bo‘lgan ilmiy pedagogik o‘quvchilar va tushunchani ta’riflash qoidalari o‘qishda yangi kiritilayotgan matematik tushunchalarning ta’rifi ustida olib boriladigan ishlarning bosqichlarini, ya’ni ta’rifini o‘quvchilarga bayon qilish metodikasini ishlab chiqishga imkon beradi.
O’quvchilarni matematik tushunchalarning ta’riflari bilan tanishtirishning ikki yo‘li mavjud:
1. Abstraktiv – deduktiv yo‘l. Bunda ta’rif ko‘rinishda olingan konkret misol va namunalar yordamida tushuntirilmasdan kiritilgan.
2. Konkret – induktiv yo‘l. Bunda o‘quvchilar avval o‘qituvchining topshiriqlarini bajargan holda, o‘rganilayotgan tushunchaning umumiy xossalarini aniqlaydilar, so‘ngra o‘qituvchining rahbarligida ta’rifni mustaqil holda tuzishga harakat qiladilalar. Yangi ta’rif kiritishning bu yo‘li ayniqsa quyi sinflarda o‘z samarasini ko‘rsatadi. Bu yo‘l o‘quvchilarning matematik ta’rif yuqori darajada ko‘tarishga imkon yaratadi. Konkret – induktiv yo‘l o‘qitishda muammoli vaziyatning vujudga kelishiga sharoit to‘ldiradi. Analiz va sintez, abstraksiyalash va umumlashtirish kabi mantiqiy jarayonlar yordami bilan Yangi tushuncha hosil qilinadi.
Shu munosabat bilan, matematik, xususan geometrik tushunchalarni shakllantirishdan muammoli yondashishni e’tiborga olgan holda o‘quvchilarni ta’riflar bilan tanishtirshning konkret – induktiv metodidan keng ko‘lamda foydalanish maqsadga muvofiqdir. Fikrimizning dalili sifatida 7 – sinfda o‘rgatiladigan paralel to‘g‘ri chiziqlar tushunchasini konkret – induktiv yo‘l orqali kiritish usulini ko‘rib o‘taylik.
Bunda o‘rganiladigan matematik tushuncha uchun ta’rif tayyor urinishda oldindan konkret misol va masalalar yordamida tushuntirilmasdan kiritiladi. Masalan, 8 – sinfda o‘tiladigan to‘la kvadrat tushunchani abstrakt – deduktiv metod orqali quydagicha kiritiladi.
1. Kvadrat tenglama tushunchasiga ta’rif beriladi.
Ta’rif. ko‘rinishdagi tenglamalar to‘la kvadrat tenglama deyiladi. Bu yerda o‘zgaruvchi, ixtiyoriy o‘zgarmas sonlar
2. Kvadrat tenglamaning xususiy hollari ko‘rib chiqiladi. Buni
jadval tarizda bunday ifodalash mumkin. Jadval 1.
3. Hosil qilingan keltirilgan va chala kvadrat tenglamalarga aniq misollar keltiriladi.
Masalan,

To‘la kvadrat tenglama.
Jadval 1.

4. Kvadrat tenglama tatbiqiga doir xayotiy misollar keltirish kerak.
Masalan.