Mavzu: parabolik tenglama uchun integral shartli masala. I bob. Parabolik tipdagi tenglamalar va asosiy chegaraviy masalalarning qо‘yilishi

Mavzu: PARABOLIK TENGLAMA UCHUN INTEGRAL SHARTLI MASALA.

I BOB. PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR VA ASOSIY CHEGARAVIY MASALALARNING QО‘YILISHI
1.1-§. Xusussiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi.
1.2-§. Parabolik tipdagi tenglamalarda boshlang‘ich va chegaraviy masalalarning qо‘yilishi.
II BOB. PARABOLIK TENGLAMA VA ULARNI YECHISH USULLARI/

2.1-§. Ekstremum prinsipi va yagonalik teoremasi.

2.2-§. Grin funksiyasi.
2.3-§. Integral tenglamalar.
2.4-§. Chegaraviy masalalar yechimlarining mavjudligi va yagonaligi……..

III BOB. PARABOLIK TENGLAMA UCHUN INTEGRAL SHARTLI MASALA.

3.1-§. Masalaning qo`yilishi va masala yechimining yagonaligi.

3.2-§. Masala yechimining mavjudligi.
XULOSA.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI.

I BOB. PARABOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR VA ASOSIY CHEGARAVIY MASALALARNING QО‘YILISHI


1.1-§. Xusussiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikatsiyasi.
Mexanika, fizika va texnikaning ko’plab masalalari ikkinchi tartibli (x.h.t.)ni o’rganishga olib keladi. [7; 152-160, 8; 143-152, 9; 400-407, 10; 208-213]
Masalan:

1. 
   tovush, elektromagnit to’lqinlarini tarqalishini yoki har qanday tebranish hodisalarini o’rganishda biz to’lqin tenglamasi
   

(1.1.1)
ga duch kelamiz, -qaralayotgan muhitda to’lqin tarqalishi tezligi;

2. 
   bir jinsli izotrop jismlarda issiqlik tarqalishi jarayonlari va diffuziya hodisalari issiqlik o’tkazish tenglamasi
   

(1.1.2)
bilan ifodalanadi;

3. 
   bir jinsli izotrop jismda tarqalib bo’lgan va turg’un holatga kelgan (ya’ni vaqt o’tishi bilan o’zgarmaydigan) issiqlikni o’rganishda Puasson tenglamasi
   

(1.1.3)
ga kelamiz.
Qaralayotgan jism ichida issiqlik manbai ( ) bo’lmasa (1.1.3) tenglama o’rniga Laplas tenglamasi
(1.1.4)
ni olamiz.
(1.1.1) - (1.1.4) tenglamalar matematik fizikaning asosiy tenglamalari deb ataladi. Ularni chuqur o’rganish bir qator fizik hodisalar nazariyasini yaratish va o’ta muhim texnik masalalarni hal qilish imkonini beradi.
O’z-o’zidan ravshanki (1.1.1)-(1.1.4) tenglamalarning har biri cheksiz ko’p yechimga ega. Aniq fizik masalani hal qilishda esa ana Shu cheksiz ko’p yechimlar ichidan masalaning fizik mohiyatidan kelib chiqadigan qo’shimcha shartlarni qanoatlantiradigan yagona (konkret protsessni ifodalovchi) yechimni topish kerak bo’ladi. Odatda bu qo’shimcha shartlar chegaraviy (o’rganilayotgan muhitning chegarasida berilgan) va boshlang’ich (vaqtning kuzatish boshlanayotgan aniq qiymatida berilgan) shartlardan iborat bo’ladi.
Tenglamaning koeffitsientlari, o’ng tomoni hamda chegaraviy va boshlang’ich shartlar sifatida berilgan funksiyalar (qiymatlar) matematik fizika masalasining berilganlari deyiladi.
Matematik fizika masalalarini echish, quyidagi uch talabga javob berishi kerak:
1) masalaning yechimi mavjud bo’lishi kerak;
2) yechim yagona bo’lishi kerak;
3) yechim turg’un bo’lishi kerak.
Keltirilgan uchta shartni qanoatlantiruvchi matematik fizika masalalari va (x.h.t.) uchun qo’yilgan har qanday masalalar korrekt (to’g’ri ma’nosida) qo’yilgan masala deyiladi.
Endi ikki o’zgaruvchili ikkinchi tartibli tenglamalarni klassifikatsiyasini keltiramiz.
Bizga yuqori tartibli hosilalariga nisbatan chiziqli bo’lgan
(1.1.5)
tenglama berilgan bo’lsin, bu yerda , va koeffitsientlar larning berilgan funksiyalari bo’lib, ikkinchi tartibli hosilalarigacha uzluksiz bo’lsin. Shu bilan birga lar bir vaqtda nolga teng emas deb faraz qilamiz. koeffitsientlardan ixtiyoriy ikkitasi aynan nol bo’lsa (1.1.5) tenglama o’z-o’zidan kanonik ko’rinishga kelgan bo’ladi.
Berilgan (1.1.10) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni quyidagi formulalar
(1.1.6)
orqali almashtiramiz. Bunda va funksiyalar birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz va yakobian
(1.1.7)
bo’lsin deb, faraz qilamiz. Shu (1.1.12) shart bajarilsa, (1.1.11) almashtirish teskari almashtirishga ega bo’ladi, ya’ni .
(1.1.10) tenglamaga kirgan hosilalarni yangi o’zgaruvchilar larga nisbatan hisoblaymiz:
(1.1.8)
Hisoblangan hosilalar qiymatlarini (1.1.13) dan (1.1.10) tenglamaga qo’yib quyidagini topamiz:
(1.1.9)
bunda
(1.1.10)
bo’lib, funksiya ikkinchi tartibli hosilalarga bog’liq bo’lmaydi. Agar argumentlariga nisbatan chiziqli funksiya bo’lsa (1.1.9) tenglamadagi ham chiziqli funksiya bo’ladi, ya’ni (1.1.5) tenglama chiziqli bo’lsa (1.1.6) almashtirishdan so’ng ham chiziqliligicha qolaveradi.
Bizning ixtiyorimizdagi , funksiyalar ixtiyoriy funksiyalar bo’lib, faqatgina (1.1.12) shartga bo’ysunadilar xolos. Endi ularni shunday tanlaylikki, (1.1.14) tenglama eng sodda holga kelsin.
Shu maqsadda, ushbu
(1.1.11)
birinchi tartibli tenglamani qaraylik. Agar funksiya (1.1.16) tenglamaning yechimi bo’lsa va desak (1.1.15) dan ko’rinib turibdiki, bo’ladi, xuddi Shunday ham (1.1.16) tenglamaning boshqa yechimi bo’lsa, (bunday yechim ham borligini keyinroq ko’rsatamiz) va desak (1.1.12) dan bo’lishi ko’rinadi.
Demak, hamma gap (1.1.11) tenglamada ekan. Bu tenglama haqida quyidagi ikkita lemmani isbotsiz keltiramiz.
Lemma 1.1.1. Agar funksiya (1.1.11) tenglamaning xususiy yechimi bo’lsa, u holda
(1.1.12)
oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Lemma 1.1.2. Agar (1.1.12) tenglamaning umumiy yechimi bo’lsa, u holda funksiya (1.1.11) tenglamani qanoatlantiradi.
Demak, (1.1.12) oddiy differensial tenglamaning yechimlarini topsak, (1.1.11) tenglamaning ham yechimlarini topgan bo’lar ekanmiz.
Yuqoridagi (1.1.12) tenglama (1.1.5) tenglamaning xarakteristik tenglamasi, uning yechimlari esa (1.1.5) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(1.1.12) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bu tenglikdan
(1.1.13)
(1.1.14)
ekanligi kelib chikadi.
Berilgan (1.1.5) tenglamada, umumiyatlikka zarar etkazmasdan, har doim deb olishimiz mumkin.
Xaqiqatdan ham, buning uchun: agar bo’lsa (1.1.5) tenglamaning ikkala tomonini (-1) ga ko’paytirsak kifoya. Agar va bo’lsa, u holda va larining o’rinlarini almashtirish etarli, agar (lekin ) bo’lsa, u holda tenglamada

almashtirish bajarilsa olingan tenglamada yana koeffitsient paydo bo’ladi.
Qaralayotgan (1.1.5) tenglamaning tiplarga bo’linishi (1.1.13), (1.1.14) tenglamalardagi ifoda (diskriminant) ning ishorasiga bog’liq. deb belgilaylik.
Berilgan sohaning biror nuqtasida (1.1.5) tenglamaning tipi:
g i p e r b o l i k deyiladi, agar nuqtada bo’lsa,
e l l i p t i k deyiladi, agar nuqtada bo’lsa,
p a r a b o l i k deyiladi, agar nuqtada bo’lsa.
Agar sohaning barcha nuqtalarida bo’lsa, (1.1.5) tenglama butun sohada giperbolik, bo’lsa, butun sohada elliptik, bo’lsa, butun sohada parabolik deyiladi. Tenglamalarning bunday nomlanishlari ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi
(1.1.15)
ni o’rganishdan kelib chiqqan bo’lib, uning sababi (1.1.15) tenglama bo’lsa giperbolani, bo’lsa ellipsni, bo’lsa parabolani ifoda etadi.
Agar (1.1.9) tenglama uchun ni (1.1.10) formulalardan foydalanib hisoblasak,
(1.1.16)
tenglikni olamiz, bu yerda ya’ni (1.1.12) yakobian.
Demak, bo’lib ning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil bo’lar ekan, bu degani (1.1.6) almashtirishdan so’ng (1.1.5) tenglamaning tipi o’zgarmaydi.
Biz ushbu magistrlik dissertatsiyamizda faqat parabolik tenglamalar bilan ish ko’rganimiz uchun kanonik ko’rinishning parabolik tenglama bo’lgan holini keltiramiz.
Aytaylik, ushbu
(1.1.5)
tenglama uchun biror nuqtada

bo’lsin. U holda qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama bo’lib, u bitta karrali haqiqiy xarakteristika

ga ega bo’ladi.
Yangi o’zgaruvchi va lar sifatida

larni olamiz, bunda funksiya ga bog’liq bo’lmagan ixtiyoriy funksiya.
Bu holda funksiya (1.1.11) tenglamani qanoatlantirib, (1.1.10) munosabatga ko’ra

bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, bo’lishini e’tiborga olib

va
(1.1.17)
bo’lishini topamiz.
Ravshanki,


(1.1.17) tenglikka ko’ra

bo’ladi. Natijada (1.1.14) tenglama, quyidagi

ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
(1.1.18)
bunda

bo’ladi.
(1.1.23) tenglama parabolik tipdagi tenglamaning kanonik ko’rinishini ifodalaydi.
Tabiatda issiqlik tarqalishi va diffuziya hodisalarini o’rganishda eng ko’p uchraydigan, asosan, parabolik tenglamalarning eng sodda vakili bo’lgan-sterjenda issiqlik tarqalishi tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi
(1.1.19)
Issiqlik tarqalishi tenglamasi bilan ifodalanadigan ba’zi bir fizikaning masalalarini qaraymiz.
Sterjenda issiqlik tarqalish masalasi ushbu
(1.1.20)
tenglamaga keladi
Issiqlik tarqalish jarayonining matematik modeli
(1.1.21)
bir jinsli bo’lmagan tenglama bilan ifodalanadi. (1.1.20) va (1.1.21) tenglamalar uchun boshlang’ich shart
(1.1.22)
bo’ladi, bu yerda berilgan funksiya. Uchlari va nuqtalarda yotgan chegaralangan sterjen uchun chegaraviy shartlarning eng soddasi
, (1.1.23)
ko’rinishda bo’ladi: , berilgan funksiyalar bo’lib, ular sterjen uchlari qanday haroratda ushlab turilganini bildiradi.
E’tibor qiling, sterjenda issiqlik tarqalishi tenglamasi (1.1.20) yoki (1.1.21) uchun bitta boshlang’ich shart (1.1.22) berilayapti, vaholanki tor tebranish tenglamasi (u ham ikkinchi tartibli) uchun ikkita boshlang’ich shartlar berilar edi.
Bu farqni sababi Shundaki, agar (1.1.20) yoki (1.1.21) tenglama uchun

shartni bersak, u holda shu tenglamalarga asosan da ham berilgan bo’lib qoladi, ya’ni va natijada tenglikka kelib qolamiz. Demak, bu holda alohida berilgan funksiya avval berilgan funksiyaga bog’liq bo’lib qolayapti. Shuning uchun ham (1.1.20), (1.1.21) tenglamalar uchun bitta boshlang’ich shart qo’yiladi.
Chegaraviy shartlar esa masalaning fizik mohiyatiga qarab turlicha va ancha murakkab bo’lish mumkin.