Mavzu: Qaytma va yuqori darajali tenglamalar

Mavzu: Qaytma va yuqori darajali tenglamalar

Reja:
1. Yuqori darajali tenglamalar va ularni yechish
2. Qaytma tenglamalar
3. Xulosa

1. Bikvadrat tenglamalar.

Noma’lumning toq darajalari qatnashmagan to’rtinchi darajali butun algebraic ratsional tenglama bikvadrat tenglama deyiladi.
Har qanday bikvadrat tenglamani shakl almashtirishlardan keyin quyidagi kanonik ko’rinishga keltirish mumkin:
(1)
Agar (1) tenglamada almashtirishni bajarsak, kvadrat tenglamaga kelamiz.Bu tenglamaning ildizlari

formulalar bo’yicha topiladi.
Agar bo’lsa, u holda (1) bikvadrat tenglama to’rtta ildizga ega bo’ladi:
(2)
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: (2) formuladan foydalanamiz:

Javob: -3; -2; 2; 3.
2. O’zaro teskari ifodalarni o’z ichiga oluvchi tenglama.
Bunday tenglamalar
(3)
ko’rinishga ega bo’ladi. (3) tenglama almashtirishlar bilan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltiriladi:
(4)
tenglama ildizlarga ega bo’lsa, u holda quyidagi ikkita tenglamani olamiz:

Bu tenglamalar shartida (3) tenglamaga teng kuchli bo’ladi.
2-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning aniqlanish sohasiga faqat x=0 soni kirmaydi. Agar bo’ladi. Bundan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlarini topamiz:
1) tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlarini topamiz:
;
2) tenglamani olamiz, uning ildizlari bo’ladi.
Javob:
3.To’liq kvadrat ajratish usuli.
Ba’zi bir to’rtinchi darajali tenglamalarni to’liq kvadrat ajratish bilan kvadrat tenglamaga keltirib yechish mumkin. Buni misol orqali ko’ramiz.
3-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning chap qismidan to’liq kvadrat ajratamiz:

Agar tenglamani hosil qilamiz, uning ildizlarini topamiz: .
1) bo’lganda tenglamani olamiz, uning ildizlarini topamiz: .
2) bo’lganda tenglamani olamiz va uning ildizlarini topamiz: .
Javob:
4.Qaytma tenglamalar.
Ushbu
ko’rinishdagi butun algebraik tenglama qaytma tenglama deyiladi. Bunda tenglamaning boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda yotgan hadlarning koeffitsientlari bir-biriga teng bo’ladi. Qaytma tenglamaning ildizlaridan hech biri nolga teng emasligini ko’rish oson.
Agar x=0 tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda biz a=0 ga ega bo’lamiz va tenglamaning darajasi pastroq bo’ladi.
Oldin juft (n=2k) darajali qaytma tenglamani qaraymiz.
Tenglamaning har ikkala qismini ga bo’lib, hadlarni guruhlash natijasida uni quyidagi ko’rinishga keltiramiz:
(5)
Agar (5) tenglamada desak, ketma-ket quyidagilarni topamiz:
(6)
(6) ni (5) ga qo’yib, y ga nisbatan k darajali tenglamani hosil qilamiz. x ning qiymatlarini esa tenglamadan topamiz.
Toq darajali (n=2k+1) qaytma tenglamani yechish juft darajali qaytma tenglamani yechishga keltiriladi.
Ushbu

tenglamaning x=-1 ildizga ega ekanligini ko’rish qiyin emas. Demak, buning chap qismi x+1 ga bo’linadi. Tenglamaning ikkala qismini har biri x+1 ga bo’linadigan qo’shiluvchilar yig’indisi ko’rinishida ifodalaymiz:

Shunday qilib, masmla juft ko’rsatkichli ushbu qaytma tenglamani yechishga keltiriladi.
Qaytma tenglamaning yana o’ziga xos bir xususiyati bor. Agar soni qaytma tenglamaning ildizi bo’lsa, u holda soni ham shu tenglamaning ildizi bo’ladi.
4-misol. tenglamani yeching.
Yechish: Tenglamaning har ikkala qismini ga bo’lamiz:

Agar bo’ladi. Natijada t ga nisbatan tenglamaga ega bo’lamiz:

Bu tenglama ikkita tenglamaga ajraladi: t₁=o va 21t²+82t+40=0. Bu tenglamalarni yechib, ildizlarni topamiz: t₁=0,
Agar: 1) t₁=0 bo’lsa, tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlari: x₁=-i, x₂=i.
2) bo’lsa, 7x²+4x+7=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlari:
3) bo’lsa, 3x²+10x+3=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Uning ildizlari:
Javob:
Ushbu

tenglama qaytma tenglama bo’lishi uchun uning koeffitsientlari quyidagicha bog’langan bo’lishi kerak:

Bunday holda berilgan tenglama almashtirish bilan kvadrat tenglamaga keladi.
Ushbu
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m (7)
tenglamani qaytma tenglamaga keltirish uchun uning koeffitsientlari orasida a+b=c+d (yoki a+c=b+d, yoki a+d=b+c) tenglik bajarilishi kerak.
Ushbu
(x+a)⁴+(x+b)⁴=c (8)
ko’rinishdagi tenglama
(9)
almashtirish bilan bikvadrat tenglamaga keltiriladi. Haqiqatan, berilgan tenglamada x+a=t+m, x+b=t-m almashtirishlarni bajarsak, a-b=2m, bo’ladi. Bunday holda . Natijada (8) tenglama t ga nisbatan quyidagi ko’rinishni oladi:
Bu tenglamani soddalashtirgandan keyin esa bikvadrat tenglamani olamiz.
Ushbu
(10)
ko’rinishdagi tenglama
(11)
almashtirish bilan kvadrat tenglamaga keladi. Agar c=0 bo’lsa, u holda (10) tenglama x₁=0 ildizga ega bo’ladi. Qolgan ildizlari x ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltirib topiladi.
Agar bo’lsa, u holda bo’lib, bunday holda (10) tenglama chap qismining surat va maxrajini x ga bo’lib, uni ko’rinishga keltiramiz. Bu tenglamada almashtirish bajarsak, tenglamani olamiz. Oxirgi tenglama shartlarda ct²+(mc+nc-a-b)t+mnc-am-bn=0 kvadrat tenglamaga keladi.
2) Mavzuga doir misollar yechish.
a) Ushbu bikvadrat tenglamani yeching: 20 x⁴+48 x²-5=0.
Yechish: Tenglamada x²=t almashtirish bajaramiz va 20 t²+48t-5=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamaning t_1,2 ildizlarini topamiz:
;
.
Bu yechimlardan foydalanib, x_1,2 ildizlarni topamiz:
1) bo’lganida bo’lib, bundan fffbo’ladi.
2) bo’lganida bo’lib, bundan bo’ladi.
Javob: .

b) Ushbu tenglamani yeching.

Yechish: Tenglama bo’lganda aniqlangan. Tenglamaning har ikkala qismini ga bo’lamiz va

tenglamani olamiz. Oxirgi tenglamada belgilash kiritib, 20t²+48t-5=0 tenglamaga ega bo’lamiz. Uning yechimlari: .
Bu yechimlardan foydalanib, x o’zgaruvchiga qaytamiz:
1) bo’lganda 7x²+9x+14=0 tenglamani olamiz va uning ildizlari
.
2) bo’lganda 3x²-11x+6=0 tenglamani olamiz va uning ildizlari
.
Javob: .
c) Ushbu x⁶-64=0 tenglamani to’liq kvadrat ajratish usuli bilan yeching.
Yechish:(x³)²-8²=0;(x³-8)(x³+8)=0;(x-2)(x²+2x+4)(x+2)(x²-2x+4)=0;
1) x-2=0 tenglamadan x₁=2 yechim olinadi.
2) x+2=0 tenglamadan x₂=-2 yechim olinadi.
3) x²+2x+4=0 tenglamadan yechimlar topiladi.
4) x²-2x+4=0 tenglamadan ildizlarni hosil qilamiz.
Javob:
d) Ushbu x⁴+5x³-12x²+5x+1=0 qaytma tenglamani yeching.
Yechish: -12=0 ; ;
deb almashtirish kiritamiz. Natijada quyidagi kvadrat tenglamani hosil qilamiz: . Bu tenglamaning yechimlarini topamiz:
;
bundan t₁=-7 ; t₂=2.
Bu topilgan qiymatlardan x_1,2,3,4 qiymatlarni topamiz:
1) t₁=-7 bo’lganda bo’lib, x²+7x+1=0 kvadrat tenglamani olamiz. Uning ildizlari
2) t₂=2 bo’lganda bo’lib, x²-2x+1=0 tenglamadan (x-1)²=0 tenglamaga kelamiz va x_3,4=1 ildizlarni olamiz.
Javob:
Xulosa
Ushbu bitiruv malakaviy ishini yozishda ko‘pgina murakkab misol va masalalarni yechish usullari haqida to‘xtalib o‘tildi.Jumladan,Qaytma tenglamalar,ya‘ni boshidan o‘rta hadigacha bo‘lgan koeffitsiyentlar o‘rta haddan keyin teskarisiga takrorlanadigan yuqori darajali tenglamalarni qanday usullarda yechish,kvadrat tenglamani ba‘zi xususiy hollariga oid misollarni yechish, uchinchi darajali tenglamalarni Kardano formulasi yordamida yechish,to‘rtinchi darajali tenglamalarni Ferrari usulida yechish,kvadrat tenglamaga keltiriladigan yuqori darajali tenglamalar, Bezu teoremasi,Gorner sxemasi,ko`phadning ildizlari, algebraik tenglamalarning kompleks ildizlari, butun koeffitsientli ko‘phadning butun va rastional ildizlari, tenglamalarning radikallarda yechilish tushunchasi va tenglamalarni taqribiy yechish haqida asosiy tushunchalar keltirib o‘tilgan va ularga oid misollardan namunalar yechib ko‘rsatildi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   Prezident Islom Karimovning O‗zbekiston Respublikasi mustaqilligining yigirma ikki yilligiga bag‗ishlangan tantanali marosimdagi nutqidan. ―Xalq so‘zi‖,2013,64-son,1-3 betlar.
   
2. 
   Karimov I.A.‖O‘zbekiston buyuk kelajak sari‖ asari.T.:‖O‘zbekiston‖ nashriyoti-1999,289-bet.
   
3. 
   Karimov I.A. ―Sog‘lom bola yili‖ davlat dasturidan.‖Xalq so‘zi‖,2014,39-son,13 betlar
   
4. 
   Usmonov F.R, Isomov R.D, Xo‘jayev B.O:‖Matematikadan qo‘llanma‖ 1-qism Toshkent :―Yangi asr avlodi‖ -2006. 120-131-betlar.